בגרות במתמטיקה 572 - חורף 2025

זווית היקפית ישרה נשענת על קוטר. לכן אם $\angle APB=90^\circ$, הנקודה $P$ נמצאת על המעגל שהקטע $AB$ הוא קוטר שלו.

(בדרך אלגברית: $\angle APB=90^\circ$ פירושו שהישרים $PA$ ו-$PB$ מאונכים, כלומר מכפלת השיפועים שלהם $-1$ - ומקבלים אותה משוואה.)

מרכז המעגל הוא אמצע הקטע $AB$:

אורך הקוטר הוא $AB=41a-(-9a)=50a$, ולכן הרדיוס $R=25a$.

הנקודות $A$ ו-$B$ עצמן על המעגל אבל אינן מקיימות את התנאי (אין בהן משולש), ולכן הן אינן חלק מהמקום הגאומטרי.

טעות נפוצה: לקחת את כל אורך הקטע $50a$ כרדיוס ולכתוב $2500a^2$ באגף ימין - $AB$ הוא קוטר, והרדיוס הוא חצי ממנו.

הבסיס $AB=50a$ קבוע, ולכן השטח הוא הגדול ביותר כשהגובה מ-$P$ לבסיס הוא הגדול ביותר.

$AB$ מונח על ציר ה-$x$, ולכן הגובה הוא $|y_P|$. על המעגל הערך הגדול ביותר של $|y|$ הוא הרדיוס $25a$ (בנקודות $(16a,\pm25a)$).

$a$ חיובי, ולכן $a=0.5$.

טעות נפוצה: לשכוח את ה-$\frac12$ בנוסחת שטח המשולש ($50a\cdot25a=156.25$) ולקבל $a=\frac{1}{\sqrt8}\approx0.354$.

עם $a=\frac12$: המעגל הוא $(x-8)^2+y^2=156.25$ (מרכז $(8,0)$, רדיוס $12.5$).

מוקד הפרבולה הוא אמצע $AB$, הנקודה $(8,0)$. לפרבולה קנונית $y^2=2px$ המוקד הוא $\left(\frac p2,0\right)$, ולכן $\frac p2=8$, $p=16$:

מציבים $y^2=32x$ במשוואת המעגל:

בפרבולה $y^2=32x$ חייב להתקיים $x\ge0$, ולכן $x=4.5$. אז $y^2=32\cdot4.5=144$, וברביע הראשון $y=12$.

$C(4.5,\,12)$.

טעות נפוצה: לכתוב את הפרבולה $y^2=16x$ (להשוות את $p$ לשיעור המוקד במקום את $\frac p2$). אז $(x-8)^2+16x=156.25$ נותן $x^2=92.25$, ומתקבל $C\approx(9.6,\ 12.4)$ - נקודה שאינה על הפרבולה שמוקדה $(8,0)$.

משוואת המשיק לפרבולה $y^2=2px$ בנקודה $(x_0,y_0)$ שעליה: $y_0y=p(x+x_0)$. כאן $p=16$, $C(4.5,12)$:

משיק למעגל המקביל ל-$\ell$ הוא מהצורה $4x-3y+c=0$. ישר משיק למעגל כשהמרחק שלו ממרכז המעגל $(8,0)$ שווה לרדיוס $12.5$:

$c=30.5$ או $c=-94.5$. שני המשיקים: $4x-3y+30.5=0$ ו-$4x-3y-94.5=0$.

המרחק בין ישרים מקבילים $4x-3y+c_1=0$ ו-$4x-3y+c_2=0$ הוא $\frac{|c_1-c_2|}{5}$:

טעות נפוצה: לעבור מ-$y=\frac43x+6$ לצורה כללית בלי לכפול את המספר החופשי: $4x-3y+6=0$. אז המרחקים יוצאים $\frac{|6-30.5|}5=4.9$ ו-$\frac{|6+94.5|}5=20.1$. הצורה הנכונה היא $4x-3y+18=0$.

שני האגפים אי-שליליים, ולכן אפשר להעלות בריבוע. ריבוע אורך של וקטור הוא המכפלה הסקלרית שלו בעצמו:

$\underline{u}$ ו-$\underline{v}$ אינם וקטורי אפס, ולכן $\overrightarrow{AE}\perp\overrightarrow{EC}$.

$E$ אמצע $BC$, ולכן $\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{EC}=2\underline{v}$, ו-$\overrightarrow{AE}\cdot\overrightarrow{BC}=2\underline{u}\cdot\underline{v}=0$.

טעות נפוצה: "לצמצם" את סימני הערך המוחלט ולכתוב $\underline{u}+\underline{v}=\underline{u}-\underline{v}$, ומכאן $\underline{v}=0$ - שוויון אורכים אינו שוויון וקטורים. צריך להעלות בריבוע ולפתוח מכפלה סקלרית.

לפי סעיף א, $AE$ הוא גם תיכון (כי $E$ אמצע $BC$) וגם גובה במשולש $ABC$. לכן המשולש שווה שוקיים: $AC=AB$.

$C$ על החלק החיובי של ציר ה-$x$ ו-$A$ בראשית, ולכן $C(10,0,0)$.

בסיס הפירמידה $ABC$ נמצא במישור $z=0$, והגובה $SE$ מאונך לבסיס - כלומר מקביל לציר ה-$z$. לכן $S$ נמצא בדיוק מעל $E$, בגובה 20 (שיעור $z$ חיובי):

טעות נפוצה: לחפש את $S$ מעל מרכז הכובד של המשולש (כמו בפירמידה ישרה) - כאן נתון שהגובה יורד ל-$E$, אמצע $BC$.

$\overrightarrow{SC}=C-S=(10,0,0)-(8,4,20)=(2,-4,-20)$.

כיוון הישר $AC$: $\overrightarrow{AC}=(10,0,0)$, או בקיצור $(1,0,0)$.

טעות נפוצה: לחשב את $F$ כ-$C+\frac14\overrightarrow{CS}$ - היחס $\frac14$ נמדד מ-$S$, ולכן יוצאים מ-$S$.

משוואת המישור $ABS$: שני וקטורים במישור הם $\overrightarrow{AB}=(6,8,0)$ ו-$\overrightarrow{AS}=(8,4,20)$. נחפש נורמל $\underline{n}=(a,b,c)$ שמאונך לשניהם:

מהמשוואה הראשונה $b=-\frac34a$. נבחר $a=4$: $b=-3$, ואז $32-12+20c=0$, $c=-1$. הנורמל $(4,-3,-1)$.

המישור עובר דרך $A(0,0,0)$:

(בדיקה: $B$: $24-24-0=0$; $S$: $32-12-20=0$.)

מציבים את הנקודה הכללית של הישר $(8.5+t,\ 3,\ 15)$:

טעות נפוצה: לבחור נורמל שמאונך רק ל-$\overrightarrow{AB}$ (למשל $(4,-3,0)$) - הנורמל חייב להיות מאונך לשני וקטורים בלתי תלויים במישור.

הבסיסים של שתי הפירמידות ($ABC$ ו-$AEC$) נמצאים במישור $z=0$, ולכן הגובה של כל אחת הוא שיעור ה-$z$ של הקודקוד הרביעי.

ל-$M$ ול-$F$ אותו שיעור $z=15$ (הישר $FM$ מקביל ל-$AC$, שנמצא במישור $z=0$). לכן לשתי הפירמידות אותו גובה, 15.

$AE$ תיכון במשולש $ABC$, ותיכון מחלק משולש לשני משולשים שווי שטח: $S_{AEC}=\frac12S_{ABC}$.

נפח $MABC$ גדול פי 2.

טעות נפוצה: להשוות את הגבהים לפי המרחק של $M$ ושל $F$ מ-$S$ (או לפי מיקומן על המקצועות) - הגובה של פירמידה הוא המרחק מהקודקוד למישור הבסיס, כאן שיעור ה-$z$.

$1=1\cdot cis\,0^\circ$. בחילוק בהצגה קוטבית מחלקים את המודולים ומחסרים את הארגומנטים:

(אפשר גם לכתוב $\frac1r\,cis(360^\circ-\theta)$.)

טעות נפוצה: לבלבל עם הצמוד ולכתוב $\frac1w=r\,cis(-\theta)$. הארגומנט אכן מתהפך, אבל גם המודול מתהפך: $\frac1r$.

$OA=|w|=r$ ו-$OB=\left|\frac1w\right|=\frac1r$, ולכן $OA\cdot OB=1$.

הארגומנט של $A$ הוא $\theta$ (ברביע השני), והארגומנט של $B$ הוא $-\theta$, כלומר $360^\circ-\theta$ (ברביע השלישי). הזווית ביניהם:

(כש-$90^\circ<\theta<180^\circ$, הזווית הזאת בין $0^\circ$ ל-$180^\circ$.)

שטח משולש לפי שתי צלעות והזווית שביניהן:

$\sin\angle AOB=\frac{\sqrt2}{2}$, ולכן $\angle AOB=45^\circ$ או $135^\circ$. הזווית חדה: $\angle AOB=45^\circ$.

טעות נפוצה: לקחת את הזווית $AOB$ כהפרש $\theta-(-\theta)=2\theta$ בלי לבדוק שהיא קטנה מ-$180^\circ$ - כך מקבלים $2\theta=45^\circ$, ו-$\theta=22.5^\circ$ אינו בתחום.

משוואה I: $w^8=r^8\,cis(8\theta)$, ולפי נוסחת השורשים:

עם $\theta=157.5^\circ$ הארגומנטים הם $157.5^\circ+45^\circ k$: $22.5^\circ,\ 67.5^\circ,\ 112.5^\circ,\dots$ - כולם מהצורה $22.5^\circ+45^\circ m$.

משוואה II: $w\cdot\bar w=|w|^2=r^2$, ולכן $(w\bar w)^4=r^8$, מספר ממשי חיובי:

הארגומנטים: $0^\circ,45^\circ,90^\circ,\dots,315^\circ$.

אף ארגומנט של I אינו כפולה של $45^\circ$, ולכן אין פתרון משותף: $8+8=16$ נקודות שונות, ו-16 קודקודים.

טעות נפוצה: לחשוב ש-$z^8=w^8$ פירושו רק $z=w$ (או $z=\pm w$) - למשוואה ממעלה 8 יש 8 פתרונות.

מסעיף ג(1): לכל פתרונות משוואה I המודול $\sqrt[8]{r^8}=r$, וגם לכל פתרונות משוואה II המודול $r$.

כל הנקודות במרחק $r$ מהראשית, ולכן כולן על המעגל $|z|=r$.

טעות נפוצה: לחשוב שלפתרונות של II מודול $r^2$ (כי $w\bar w=r^2$) - המודול הוא $\sqrt[8]{(r^2)^4}=r$.

16 הקודקודים על מעגל ברדיוס $r$, והארגומנטים שלהם הם כל הכפולות של $22.5^\circ$ ($0^\circ,22.5^\circ,45^\circ,\dots$) - מצולע משוכלל.

מחלקים אותו ל-16 משולשים שקודקודם בראשית, בכל אחד שתי צלעות $r$ וזווית $22.5^\circ$ ביניהן:

טעות נפוצה: לקחת את הזווית המרכזית של משולש $45^\circ$ (המרווח בין פתרונות של משוואה אחת) - הקודקודים של שתי המשוואות משתלבים, והמרווח $22.5^\circ$.

אנכית: המכנה $1-e^x$ מתאפס כש-$e^x=1$, כלומר $x=0$. המונה שם 1 (שונה מאפס), ולכן $f(x)\to\pm\infty$ ליד $x=0$: אסימפטוטה $x=0$.

אופקית, כש-$x\to-\infty$: $e^x\to0$, ולכן:

אסימפטוטה $y=-1$ (משמאל).

כש-$x\to\infty$: $e^x\to\infty$ ו-$\frac1{1-e^x}\to0$, ולכן $f(x)\to\infty$ - אין אסימפטוטה אופקית מימין.

טעות נפוצה: לקבוע $y=0$ כאסימפטוטה כי "$e^x\to0$" - שוכחים שהשבר שואף ל-$\frac11=1$, ולא ל-0.

ציר ה-$y$: צריך $x=0$, והוא מחוץ לתחום ההגדרה - אין חיתוך.

ציר ה-$x$: נציב $t=e^x$ ($t>0$, $t\ne1$):

הדיסקרימיננטה $1-4=-3<0$ - אין פתרון. לכן אין חיתוך גם עם ציר ה-$x$.

טעות נפוצה: לכפול במכנה ולקבל $t-t^2-1=0$, ואז לטעות בסימן ולכתוב $t^2-t-1=0$, שיש לה פתרון חיובי $t=\frac{1+\sqrt5}{2}$.

$\frac1{1-e^x}=(1-e^x)^{-1}$, והנגזרת שלו (כלל השרשרת): $-(1-e^x)^{-2}\cdot(-e^x)=\frac{e^x}{(1-e^x)^2}$. לכן:

$e^x>0$, ולכן $f'(x)=0$ כש-$(1-e^x)^2=1$: $1-e^x=1$ (אז $e^x=0$, אין פתרון) או $1-e^x=-1$, כלומר $e^x=2$, $x=\ln2$.

סימן $f'$ לפי $1-\frac1{(1-e^x)^2}$: חיובי כש-$|1-e^x|>1$ ושלילי כש-$|1-e^x|<1$.

נקודת מינימום $(\ln2,\,3)$.

טעות נפוצה: טעות סימן בהצבה: $f(\ln2)=2-\frac1{1-2}$ מחושב כ-$2-1=1$, ומתקבל $\min(\ln2,\ 1)$. $\frac1{1-2}=-1$, ולכן $f(\ln2)=2+1=3$.

מרכזים את מה שמצאנו: תחום $x\ne0$; אסימפטוטות $x=0$ ו-$y=-1$ (משמאל); אין חיתוך עם הצירים; מינימום $(\ln2,3)$; יורדת עבור $x<0$ ועבור $0<x<\ln2$, עולה עבור $x>\ln2$.

ענף שמאלי ($x<0$): מתחיל צמוד לאסימפטוטה $y=-1$ ויורד ל-$-\infty$ כש-$x\to0^-$ (שם $1-e^x\to0^+$, ו-$-\frac1{1-e^x}\to-\infty$). הוא כולו מתחת ל-$y=-1$.

ענף ימני ($x>0$): יורד מ-$+\infty$ (כש-$x\to0^+$, $1-e^x\to0^-$) למינימום $(\ln2,3)$, ואחר כך עולה ל-$\infty$.

טעות נפוצה: לצייר את הענף השמאלי מעל האסימפטוטה $y=-1$. עבור $x<0$ מתקיים $f(x)+1=-\frac{e^{2x}}{1-e^x}<0$, כלומר הענף כולו מתחת ל-$y=-1$ (למשל $f(-1)\approx-1.21$).

הלוגריתם מוגדר רק לביטוי חיובי:

(הבסיס $e>1$, ולכן כיוון אי-השוויון נשמר.)

טעות נפוצה: לדרוש $e^x-1\ge0$ ולכלול את $x=0$ - $\ln0$ אינו מוגדר.

נגזרת של $\ln u(x)$ היא $\frac{u'(x)}{u(x)}$:

מצד שני:

שני הביטויים שווים, ולכן $g'(x)=f(x)-e^x$ לכל $x>0$.