בגרות במתמטיקה 572 - קיץ 2024 מועד ב'

אלכסוני המעוין חוצים זה את זה, ומרכז המעוין בראשית. $AC=10$, ולכן $A(5,0)$ ו-$C(-5,0)$.

$B$ על החלק החיובי של ציר ה-$y$: נסמן $B(0,b)$, $b>0$.

משוואת הישר דרך נקודות החיתוך עם הצירים: $\frac x5+\frac yb=1$, כלומר $bx+5y-5b=0$.

מרחק הראשית מהישר:

$b>0$, ולכן $b=\frac52$, ו-$B(0,2.5)$.

טעות נפוצה: לשכוח את התנאי $b>0$ ולקחת $b=-\frac52$. מתקבל $y=\frac12x-2\frac12$ - זו משוואת הצלע $AD$, לא $AB$. $B$ על החלק החיובי של ציר ה-$y$.

במעוין, נקודת מפגש האלכסונים נמצאת במרחק שווה מכל ארבע הצלעות (האלכסונים חוצים את הזוויות). לכן מרכז המעגל החסום הוא מפגש האלכסונים - ראשית הצירים.

הרדיוס הוא המרחק מהמרכז לצלע, והוא נתון: $r=\sqrt5$.

טעות נפוצה: לכתוב $x^2+y^2=\sqrt5$. בצד ימין של משוואת המעגל נמצא $r^2$, לא $r$.

רדיוס לנקודת ההשקה מאונך למשיק. לכן $OM\perp AB$.

שיפוע $AB$ הוא $-\frac12$, ולכן שיפוע $OM$ הוא $2$, והישר $OM$: $y=2x$.

$M$ היא נקודת החיתוך של $OM$ עם $AB$:

בדיקה: $1^2+2^2=5$, כלומר $M$ על המעגל.

טעות נפוצה: לקחת לישר $OM$ את השיפוע $\frac12$ (ההופכי בלי החלפת סימן). שיפועים של ישרים מאונכים מקיימים $m_1\cdot m_2=-1$.

$M(1,2)$, ולכן $K(1,0)$ ו-$a=1$. הנקודה $E$ נמצאת על הישר $x=-1$.

$G$ נמצאת על האנך האמצעי לקטע $EK$, ולכן $GE=GK$.

$G$ נמצאת גם על הישר המקביל לציר ה-$x$ שעובר דרך $E$, ולכן $GE$ הוא קטע אופקי: האורך שלו הוא המרחק של $G$ מהישר $x=-1$.

כלומר $G$ נמצאת במרחק שווה מהנקודה $K(1,0)$ ומהישר $x=-1$ - זו ההגדרה של פרבולה שמוקדה $K$ ומדריכה $x=-1$.

נסמן $G(x,y)$:

טעות נפוצה: לחשב את $GE$ כמרחק מ-$G$ לנקודה קבועה על הישר (למשל $(-1,0)$). $E$ זזה על הישר, ו-$GE$ אופקי - זה המרחק מהישר, $|x+1|$.

$y^2=4\cdot16=64$, ו-$N$ ברביע הראשון, ולכן $N(16,8)$.

מרחק המרכזים:

$ON=8\sqrt5>\sqrt5$, כלומר $N$ מחוץ למעגל החסום. יש שתי אפשרויות השקה:

השקה מבחוץ: $R+r=ON$, ולכן $R=8\sqrt5-\sqrt5=7\sqrt5$, $R^2=245$.

השקה מבפנים (המעגל החסום בתוך המעגל החדש): $R-r=ON$, ולכן $R=8\sqrt5+\sqrt5=9\sqrt5$, $R^2=405$.

טעות נפוצה: לחשב $R^2=ON^2-r^2=320-5=315$ (כמו בפיתגורס) במקום $R=ON-r$, ולקבל $(x-16)^2+(y-8)^2=315$ - מעגל שאינו משיק. קודם מחסרים את הרדיוסים ורק אז מעלים בריבוע: $(7\sqrt5)^2=245$.

חיסור וקטורים שיוצאים מאותה נקודה: $\overrightarrow{BF}=\overrightarrow{SF}-\overrightarrow{SB}=\underline v-\underline w$.

$F$ אמצע $BC$, ולכן $\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{BF}=2\underline v-2\underline w$.

$E$ אמצע האלכסון $BD$ (אלכסוני ריבוע חוצים זה את זה) ו-$F$ אמצע $BC$, ולכן $EF$ קטע אמצעים במשולש $BCD$: $EF\parallel DC$ ו-$EF=\frac12DC$, באותו כיוון.

$\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{SF}-\overrightarrow{SE}=\underline v-\underline u$, ולכן $\overrightarrow{DC}=2\overrightarrow{EF}=2\underline v-2\underline u$.

טעות נפוצה: לכתוב $\overrightarrow{BF}=\overrightarrow{SB}-\overrightarrow{SF}$ ולקבל $\overrightarrow{BC}=2\underline w-2\underline v$. וקטור מ-$B$ ל-$F$ הוא "סוף פחות התחלה": $\overrightarrow{SF}-\overrightarrow{SB}$.

נפרק את $\underline w$ דרך $E$: $\underline w=\overrightarrow{SE}+\overrightarrow{EB}=\underline u+\overrightarrow{EB}$.

$SE$ גובה, ולכן הוא מאונך לכל ישר בבסיס, ובפרט $\underline u\perp\overrightarrow{EB}$, כלומר $\underline u\cdot\overrightarrow{EB}=0$.

טעות נפוצה: לכתוב $\underline u\cdot\underline u=|\underline u|=8$ ולקבל $\underline u\cdot\underline w=8$. מכפלה סקלרית של וקטור בעצמו היא ריבוע האורך: $|\underline u|^2=64$.

הזווית בין ישר למישור היא הזווית בין הישר להיטל שלו על המישור. $SE$ מאונך לבסיס, ולכן ההיטל של $SB$ הוא $EB$, והזווית היא $\angle SBE$.

אורך צלע הבסיס:

אלכסון הריבוע $5\sqrt2\cdot\sqrt2=10$, ו-$EB$ הוא חצי אלכסון: $EB=5$.

במשולש ישר הזווית $SEB$:

טעות נפוצה: לקחת את צלע הריבוע $5\sqrt2$ במקום חצי האלכסון ולקבל $\tan\alpha=\frac8{5\sqrt2}$, כלומר $48.5^\circ$. ההיטל של $SB$ מגיע ממרכז הבסיס $E$ לקודקוד $B$.

המישור מקביל לציר $z$, ולכן הנורמל שלו מאונך ל-$(0,0,1)$: $\vec n=(a,b,0)$.

הנורמל מאונך גם ל-$\overrightarrow{BA}$, שמונח בבסיס:

המישור: $4x+3y+d=0$, ו-$E(0,4,5)$ עליו: $0+12+d=0$, $d=-12$.

טעות נפוצה: לבחור נורמל $(0,0,1)$ "כי המישור קשור לציר $z$". נורמל $(0,0,1)$ שייך למישור המאונך לציר $z$; למישור המקביל לציר $z$ רכיב ה-$z$ של הנורמל הוא 0.

$B$ נמצא במישור הבסיס: $4\cdot3+3y-12=0$, ולכן $y=0$.

נסמן $B(3,0,z)$. מסעיף ג: $EB=5$.

$B(3,0,5)$.

טעות נפוצה: להשתמש באורך הצלע ($5\sqrt2$) במקום ב-$EB$ ולהשוות $|\overrightarrow{EB}|^2=50$ - מתקבלים שני ערכים של $z$ ואף אחד מהם אינו קודקוד. $E$ מרכז הריבוע, והמרחק ממנו לקודקוד הוא חצי אלכסון.

$z^6=-729i$. מספר מדומה טהור עם חלק מדומה שלילי נמצא על החלק השלילי של הציר המדומה: $-729i=729\,cis270^\circ$.

נסמן $z=r\,cis\theta$. לפי דה-מואבר $z^6=r^6cis(6\theta)$:

עבור $k=0,1,\dots,5$:

טעות נפוצה: לכתוב $-729i=729\,cis90^\circ$ ולקבל $\theta=15^\circ+60^\circ k$. הסימן השלילי מעביר את הנקודה לחלק התחתון של הציר המדומה: $270^\circ$.

שבר מתאפס כשהמונה מתאפס והמכנה לא. המונה מתאפס בששת הפתרונות של א(1).

המכנה מתאפס כאשר $z^2=9i=9\,cis90^\circ$:

שני אלה פוסלים, ונשארים: $3cis105^\circ$, $3cis165^\circ$, $3cis285^\circ$, $3cis345^\circ$.

טעות נפוצה: למצוא רק פתרון אחד של $z^2=9i$, $3cis45^\circ$, ולהשאיר חמישה פתרונות. ל-$z^2=9i$ שני פתרונות נגדיים, $3cis45^\circ$ ו-$3cis225^\circ$, ושניהם נפסלים.

כל הקודקודים על מעגל ברדיוס 3. $285^\circ=105^\circ+180^\circ$ ו-$345^\circ=165^\circ+180^\circ$, ולכן שני האלכסונים הם קטרים: שווים וחוצים זה את זה - המרובע מלבן.

הזווית המרכזית בין $105^\circ$ ל-$165^\circ$ היא $60^\circ$: המשולש עם הראשית שווה צלעות, והצלע $3$.

הזווית המרכזית בין $165^\circ$ ל-$285^\circ$ היא $120^\circ$: לפי משפט הקוסינוסים

טעות נפוצה: לחשב את המרובע כאילו הוא ריבוע (צלע $3\sqrt2$, שטח 18). הזוויות המרכזיות אינן $90^\circ$ - הן $60^\circ$ ו-$120^\circ$ לסירוגין.

סיבוב סביב הראשית בזווית $\alpha$ נגד כיוון השעון הוא כפל של כל מספר ב-$cis\alpha$.

במכפלה של ארבעה מספרים מכפילים את המודולים ומחברים את הארגומנטים:

עבור $\alpha=45^\circ$: $81\,cis1080^\circ=81\,cis0^\circ=81$.

טעות נפוצה: להוסיף $\alpha$ פעם אחת בלבד לארגומנט של המכפלה ולקבל $81\,cis945^\circ=81\,cis225^\circ$. כל אחד מארבעת הקודקודים מסתובב, ולכן המכפלה מסתובבת ב-$4\alpha$.

המכפלה: $81\,cis(900^\circ+4\alpha)=81\,cis(180^\circ+4\alpha)$.

מספר מדומה טהור (שונה מ-0) נמצא על הציר המדומה: הארגומנט $90^\circ+180^\circ k$.

בתחום $0^\circ<\alpha<90^\circ$: $k=1$ נותן $22.5^\circ$, ו-$k=2$ נותן $67.5^\circ$.

טעות נפוצה: לדרוש רק ארגומנט $90^\circ$ (בלי $+180^\circ k$) ולמצוא ערך אחד. גם ארגומנט $270^\circ$ נותן מספר מדומה טהור.

$\alpha=22.5^\circ$: $81\,cis(180^\circ+90^\circ)=81\,cis270^\circ=-81i$.

$\alpha=67.5^\circ$: $81\,cis(180^\circ+270^\circ)=81\,cis450^\circ=81\,cis90^\circ=81i$.

טעות נפוצה: לשכוח את ה-$180^\circ$ שמגיע מהמכפלה המקורית ($900^\circ$) ולקבל את הסימנים הפוכים.

כאשר $x\to-\infty$: $e^x\to0$ מהר יותר מכל גידול של $x$, ולכן $xe^x\to0$. כאשר $x\to\infty$: $xe^x\to\infty$.

לכן ל-$k(x)$ אסימפטוטה $y=0$ כאשר $x\to-\infty$.

$m(x)=2e^x-1$: כאשר $x\to-\infty$, $2e^x\to0$ ו-$m(x)\to-1$. כאשר $x\to\infty$, $m(x)\to\infty$.

לכן ל-$m(x)$ אסימפטוטה $y=-1$ כאשר $x\to-\infty$.

טעות נפוצה: לטעון ש-$xe^x\to-\infty$ כאשר $x\to-\infty$ "כי $x$ שואף למינוס אינסוף". הגורם $e^x$ שואף ל-0 מהר יותר, והמכפלה שואפת ל-0.

$e^x>0$ תמיד, ולכן הסימן של $k'$ הוא הסימן של $1+x$: שלילי עבור $x<-1$, חיובי עבור $x>-1$.

$k$ יורדת עבור $x<-1$ ועולה עבור $x>-1$ (מינימום ב-$(-1,-\frac1e)$).

$m'(x)=2e^x>0$ לכל $x$, ולכן $m$ עולה לכל $x$ ואין לה תחום ירידה.

טעות נפוצה: לגזור $xe^x$ כ-$e^x$ (לגזור רק את הגורם המעריכי) ולקבוע ש-$k$ עולה תמיד. זו מכפלה - צריך כלל המכפלה.

$k(0)=0\cdot e^0=0$: הנקודה $(0,0)$.

$m(0)=2e^0-1=2-1=1$: הנקודה $(0,1)$.

טעות נפוצה: להציב $e^0=0$ ולקבל $m(0)=-1$. $e^0=1$.

$k$: מתקרבת ל-$y=0$ מלמטה משמאל, יורדת עד המינימום $(-1,-\frac1e)$, עולה דרך $(0,0)$ ושואפת לאינסוף.

$m$: מתקרבת ל-$y=-1$ משמאל, עולה כל הזמן, עוברת דרך $(0,1)$.

משמאל $k$ מעל $m$ ($0>-1$); ב-$x=0$ $k$ מתחת ל-$m$ ($0<1$); בהמשך $k$ שוב עוברת מעל $m$. כך נוצרות שתי נקודות החיתוך $c<0$ ו-$d>0$.

טעות נפוצה: לצייר את $m$ מתחת ל-$k$ משמאל לציר ה-$y$ לכל אורך הדרך. ב-$x=0$ $m$ מעל $k$, ולכן יש חיתוך גם משמאל לציר ה-$y$.

ב-$x=1$ המכנה מתאפס והמונה $e-1\ne0$: אסימפטוטה אנכית $x=1$.

כאשר $x\to-\infty$: המונה שואף ל-$-1$ והמכנה ל-$-\infty$, ולכן $f(x)\to0$: אסימפטוטה $y=0$.

כאשר $x\to\infty$: $e^x$ גדל מהר יותר מ-$x-1$, ולכן $f(x)\to\infty$ - אין אסימפטוטה אופקית מימין.

טעות נפוצה: להסיק $y=1$ "כי המקדמים המובילים 1 ו-1", כמו בפונקציה רציונלית. $e^x$ אינו פולינום, והגבולות בשני הכיוונים שונים.

$f(x)=0$ כאשר המונה מתאפס (והמכנה לא): $e^x-1=0$, $e^x=1$, $x=0$.

טעות נפוצה: לפתור $e^x=1$ כ-$x=1$. $e^1=e$; $e^x=1$ רק עבור $x=0$ - וממילא $x=1$ מחוץ לתחום.

לפי כלל המנה:

המונה הוא $xe^x-(2e^x-1)=k(x)-m(x)$.

$f'(x)=0$ בדיוק כאשר $k(x)=m(x)$ (המכנה חיובי בתחום). לפי הנתון יש לכך בדיוק שני פתרונות, $c$ ו-$d$, ושניהם בתחום ($k(1)=e\ne m(1)=2e-1$).

טעות נפוצה: בכלל המנה לכתוב $e^x-(e^x-1)(x-1)$ - להחליף את סדר האיברים במונה. זה $u'v-uv'$: קודם נגזרת המונה כפול המכנה.