בגרות במתמטיקה 572 - חורף 2022 מועד נבצרים

$M$ נמצא על הישר $y=x-1$, ולכן נסמן $M(x_0,\ x_0-1)$.

מרכז המעגל החסום נמצא במרחק שווה (הרדיוס) מכל צלעות המשולש, ובפרט מהישרים $AB$ ו-$AC$:

כדי לפתוח את הערכים המוחלטים משתמשים בכך ש-$M$ וראשית הצירים נמצאות שתיהן בתוך המשולש, ולכן באותו צד של כל צלע.

מציבים את הראשית: $2\cdot0+0-13=-13<0$ ו-$-0+2\cdot0+4=4>0$. לכן גם ב-$M$: $3x_0-14<0$ ו-$x_0+2>0$:

$M(3,2)$, והרדיוס הוא המרחק מ-$M$ לצלע $AC$:

משוואת המעגל: $(x-3)^2+(y-2)^2=5$.

טעות נפוצה: לפתוח את שני הערכים המוחלטים באותו סימן, $3x_0-14=x_0+2$, ולקבל $M(8,7)$ ו-$(x-8)^2+(y-7)^2=20$ - זה מעגל שמשיק לישרים $AB$ ו-$AC$, אבל מרכזו מחוץ למשולש.

$BM$ מאונך לציר ה-$x$, ולכן ל-$B$ אותו שיעור $x$ כמו ל-$M$: $x_B=3$.

$B$ על הישר $AB$: $2\cdot3+y-13=0$, ולכן $y=7$ ו-$B(3,7)$.

הצלע $BC$ עוברת דרך $B$ ומשיקה למעגל. ישר דרך $B$ בשיפוע $m$: $y-7=m(x-3)$, כלומר $mx-y+7-3m=0$.

(הישר האנכי $x=3$ עובר דרך המרכז $M$, ולכן אינו משיק.)

תנאי ההשקה - המרחק מהמרכז $M(3,2)$ לישר שווה לרדיוס:

השיפוע $-2$ שייך לצלע $AB$ עצמה ($y=-2x+13$), שגם היא עוברת דרך $B$ ומשיקה למעגל. לכן לצלע $BC$ שיפוע $2$:

טעות נפוצה: לבחור את השיפוע $m=-2$ ולענות $y=-2x+13$ - זו משוואת הצלע $AB$, לא $BC$.

הקודקוד $A$ - חיתוך $AB$ ו-$AC$: מ-$-x+2y+4=0$ מקבלים $x=2y+4$, ומציבים ב-$2x+y-13=0$: $4y+8+y-13=0$, $y=1$, $x=6$. $A(6,1)$.

הקודקוד $C$ - חיתוך $BC$ ו-$AC$: $-x+2(2x+1)+4=0$, $3x+6=0$, $x=-2$, $y=-3$. $C(-2,-3)$.

שיפוע $AB$ הוא $-2$ ושיפוע $AC$ הוא $\frac12$. המכפלה $-2\cdot\frac12=-1$, ולכן $AB\perp AC$: המשולש ישר-זווית ב-$A$.

במשולש ישר-זווית מרכז המעגל החוסם הוא אמצע היתר $BC$:

ל-$M(3,2)$ ול-$O\left(\frac12,2\right)$ אותו שיעור $y$, ולכן המרחק ביניהם: $MO=3-\frac12=2.5$.

טעות נפוצה: לבלבל בין מרכז המעגל החוסם לנקודת מפגש התיכונים $\left(\frac73,\frac53\right)$, ולקבל מרחק $\frac{\sqrt5}{3}$ - מרכז המעגל החוסם נמצא במרחק שווה מהקודקודים, ובמשולש ישר-זווית זה אמצע היתר.

$F$ מוגדרת בעזרת וקטורים שיוצאים מ-$D'$, ולכן הולכים מ-$D$ ל-$D'$ ומשם ל-$F$: $\overrightarrow{DF}=\vec{DD'}+\vec{D'F}$.

טעות נפוצה: לכתוב $\vec{D'A}=\underline w-\underline u$ ו-$\vec{D'C}=\underline w-\underline v$ (נקודת ההתחלה פחות נקודת הסיום) ולקבל $\overrightarrow{DF}=-t\underline u-\frac14\underline v+\left(\frac54+t\right)\underline w$.

מכפלות וקטורי הבסיס: $\underline u^2=\underline v^2=4^2=16$ (צלעות המעוין שוות), $\underline u\cdot\underline v=4\cdot4\cdot\cos120^\circ=-8$.

המנסרה ישרה, ולכן $DD'$ מאונך לבסיס: $\underline u\cdot\underline w=\underline v\cdot\underline w=0$. הגובה לא נתון, ונסמן $\underline w^2=h^2$.

$DF$ מאונך למישור $ACD'$, ולכן מאונך לשני וקטורים לא מקבילים במישור: $\vec{D'A}=\underline u-\underline w$ ו-$\vec{D'C}=\underline v-\underline w$.

מחסרים את המשוואה השנייה מהראשונה, והאיבר עם $h^2$ מתבטל:

(אפשר גם ישר: $\overrightarrow{AC}=\underline v-\underline u$ נמצא במישור, ו-$\overrightarrow{DF}\cdot\overrightarrow{AC}=-8t-16t+4+2=6-24t=0$.)

טעות נפוצה: לדרוש $\overrightarrow{DF}\cdot\overrightarrow{DA}=0$ במקום $\overrightarrow{DF}\cdot\vec{D'A}=0$ ולקבל $16t-2=0$, $t=\frac18$ - הווקטור $\overrightarrow{DA}$ אינו נמצא במישור $ACD'$.

מציבים $t=\frac14$ במשוואה הראשונה מסעיף ב:

גובה המנסרה $|\underline w|=2$.

שטח הבסיס (מעוין): $S=4\cdot4\cdot\sin120^\circ=16\cdot\frac{\sqrt3}{2}=8\sqrt3$.

טעות נפוצה: לחשב את שטח המעוין כמו שטח משולש, $\frac12\cdot4\cdot4\cdot\sin120^\circ=4\sqrt3$, ולקבל $V=8\sqrt3$ - המעוין מורכב משני משולשים כאלה.

$D=(0,0,0)$. $|\overrightarrow{DA}|=4$ ו-$A$ על החלק החיובי של ציר ה-$x$: $A=(4,0,0)$, ולכן $\underline u=(4,0,0)$.

$\underline v=\overrightarrow{DC}=(-2,\sqrt{12},0)$ (בדיקה: $|\underline v|=\sqrt{4+12}=4$, $\underline u\cdot\underline v=-8$).

לפי סעיף ג $|\underline w|=2$ ו-$D'$ על החלק החיובי של ציר ה-$z$: $\underline w=(0,0,2)$.

לפי סעיפים א ו-ב, עם $t=\frac14$: $\overrightarrow{DF}=\frac14\underline u+\frac14\underline v+\frac12\underline w$:

$D$ בראשית, ולכן $F\left(\frac12,\frac{\sqrt3}{2},1\right)$.

בדיקה: $\overrightarrow{DF}\cdot\vec{D'A}=\left(\frac12,\frac{\sqrt3}{2},1\right)\cdot(4,0,-2)=2-2=0$.

טעות נפוצה: להשתמש בשיעורי הווקטור $\vec{D'F}=\frac14\vec{D'A}+\frac14\vec{D'C}=\left(\frac12,\frac{\sqrt3}{2},-1\right)$ כשיעורי $F$ - זה הווקטור מ-$D'$, וצריך להוסיף אליו את $D'(0,0,2)$.

נסמן $w=z+i$. המשוואה היא $w^2=2+2\sqrt3i$.

נציב $w=x+yi$ ($x,y$ ממשיים): $x^2-y^2+2xyi=2+2\sqrt3i$.

השוואת החלק הממשי והמדומה: $x^2-y^2=2$ ו-$2xy=2\sqrt3$, כלומר $xy=\sqrt3$.

בנוסף $|w|^2=|w^2|$: $x^2+y^2=|2+2\sqrt3i|=\sqrt{4+12}=4$.

מחברים: $2x^2=6$, $x^2=3$; מחסרים: $2y^2=2$, $y^2=1$. מאחר ש-$xy=\sqrt3>0$, ל-$x$ ול-$y$ אותו סימן:

$w=\sqrt3+i$ או $w=-\sqrt3-i$.

$z=w-i$: $z_1=\sqrt3$, $z_2=-\sqrt3-2i$.

טעות נפוצה: לעצור ב-$w$ ולענות $z=\pm\left(\sqrt3+i\right)$ - אלה הפתרונות עבור $z+i$, וצריך עוד להחסיר $i$.

החלקים הממשיים של הפתרונות: $\sqrt3$ ו-$-\sqrt3$, ולכן $a_1=-\sqrt3$, $a_2=\sqrt3$.

I: $|z-ia_1|=|z-(-\sqrt3i)|=\sqrt3$ - כל הנקודות שמרחקן מ-$-\sqrt3i$, כלומר מהנקודה $(0,-\sqrt3)$, הוא $\sqrt3$: מעגל שמרכזו $(0,-\sqrt3)$ ורדיוסו $\sqrt3$.

II: $|z-\sqrt3i|=\sqrt3$ - מעגל שמרכזו $(0,\sqrt3)$ ורדיוסו $\sqrt3$.

מרחק כל מרכז מהראשית שווה לרדיוס, ולכן שני המעגלים עוברים דרך הראשית. המרכזים על הציר המדומה, ולכן בראשית המעגלים משיקים לציר הממשי ומשיקים זה לזה.

טעות נפוצה: לקרוא את $|z-ia_1|$ כמרחק מהנקודה $a_1$ על הציר הממשי, ולסרטט מעגלים שמרכזיהם $(-\sqrt3,0)$ ו-$(\sqrt3,0)$ - המספר $ia_1=-\sqrt3i$ נמצא על הציר המדומה.

נקודה על הישר $y=x$: $z=x+xi$.

חיתוך עם מעגל II, $x^2+(y-\sqrt3)^2=3$: $x^2+(x-\sqrt3)^2=3$, כלומר $2x^2-2\sqrt3x=0$, ולכן $x=0$ (הראשית) או $x=\sqrt3$: $w_1=\sqrt3+\sqrt3i$.

חיתוך עם מעגל I, $x^2+(y+\sqrt3)^2=3$: $2x^2+2\sqrt3x=0$, ולכן $x=0$ או $x=-\sqrt3$: $w_2=-\sqrt3-\sqrt3i$.

לכל מרוכב $w\cdot\overline w=|w|^2$: $|w_1|^2=3+3=6$, $|w_2|^2=6$. לכן:

לפי משפט דה-מואבר, השורשים מסדר שלישי:

$z_0=\sqrt[3]{36}$, $z_1=\sqrt[3]{36}\,\mathrm{cis}\,120^\circ=\sqrt[3]{36}\left(-\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i\right)$, $z_2=\sqrt[3]{36}\,\mathrm{cis}\,240^\circ=\sqrt[3]{36}\left(-\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i\right)$.

טעות נפוצה: לחשב $w\cdot\overline w=|w|=\sqrt6$ (במקום $|w|^2$), לקבל $z^3=6$ ולענות $z=\sqrt[3]{6}\,\mathrm{cis}\,(120^\circ k)$.

$\ln x$ מוגדר עבור $x>0$.

המכנה מתאפס כאשר $\ln x=a$, כלומר $x=e^a$.

תחום ההגדרה: $x>0$, $x\neq e^a$.

טעות נפוצה: לפתור $\ln x-a=0$ כ-$x=a$ ולכתוב תחום $x>0$, $x\neq a$ - הפתרון של $\ln x=a$ הוא $x=e^a$.

גוזרים לפי נגזרת מנה:

$a>0$ והמכנה חיובי בתחום, ולכן הסימן של $f'$ כסימן $\ln x-a-1$.

$f'=0$ כאשר $\ln x=a+1$, כלומר $x=e^{a+1}$.

עבור $0<x<e^a$ ו-$e^a<x<e^{a+1}$: $\ln x<a+1$, $f'<0$ (יורדת). עבור $x>e^{a+1}$: $f'>0$ (עולה). לכן ב-$x=e^{a+1}$ מינימום.

נקודת הקיצון: $\min\left(e^{a+1},\ ae^{a+1}\right)$.

טעות נפוצה: לכתוב את מונה נגזרת המנה בסדר הפוך, $ax\cdot\frac1x-a(\ln x-a)$, ולקבל אותו $x$ אבל סימנים הפוכים - מקסימום ב-$\left(e^{a+1},ae^{a+1}\right)$.

סימן: המונה $ax>0$, ולכן $f<0$ כאשר $\ln x<a$ ($0<x<e^a$), ו-$f>0$ כאשר $x>e^a$. $f$ לא מתאפסת.

גבולות:

$x\to0^+$: $ax\to0$ ו-$\ln x-a\to-\infty$, ולכן $f\to0$ (מלמטה) - נקודה ריקה $(0,0)$, לא אסימפטוטה.

$x\to e^a$: המכנה שואף ל-0 והמונה $ae^a\neq0$ - אסימפטוטה אנכית $x=e^a$. משמאל המכנה שלילי ו-$f\to-\infty$; מימין חיובי ו-$f\to+\infty$.

$x\to\infty$: $x$ גדל מהר יותר מ-$\ln x$, ולכן $f\to\infty$.

ענף שמאלי: יורד מ-$(0,0)$ ל-$-\infty$. ענף ימני: יורד מ-$+\infty$ עד $\left(e^{a+1},ae^{a+1}\right)$ ועולה ל-$\infty$.

טעות נפוצה: לסרטט אסימפטוטה אנכית $x=0$ כי $\ln x\to-\infty$ שם - $\ln x$ נמצא במכנה, ולכן $f\to0$.

$g=\frac1f$ מוגדרת היכן ש-$f$ מוגדרת ושונה מ-0.

$f$ מוגדרת עבור $x>0$, $x\neq e^a$, ולא מתאפסת (המונה $ax>0$).

תחום ההגדרה של $g$: $x>0$, $x\neq e^a$.

טעות נפוצה: לפשט $g(x)=\frac{\ln x-a}{ax}$ ולכתוב תחום $x>0$ בלבד - $g$ הוגדרה כ-$\frac{1}{f(x)}$, ו-$f$ אינה מוגדרת ב-$x=e^a$.

$g'(x)=-\frac{f'(x)}{f^2(x)}$, ולכן הסימן של $g'$ הפוך לסימן של $f'$, והם מתאפסים באותו מקום.

(או ישירות: $g(x)=\frac{\ln x-a}{ax}$, $g'(x)=\frac{\frac1x\cdot ax-a(\ln x-a)}{a^2x^2}=\frac{a+1-\ln x}{ax^2}$.)

$g$ עולה עבור $0<x<e^a$ ו-$e^a<x<e^{a+1}$, ויורדת עבור $x>e^{a+1}$: מקסימום ב-$x=e^{a+1}$.

טעות נפוצה: לחשוב שסוג הקיצון נשמר במעבר ל-$\frac1f$ ולענות מינימום ב-$\left(e^{a+1},\frac{1}{ae^{a+1}}\right)$ - כש-$f$ יורדת, $\frac1f$ עולה (בתחום שבו $f$ שומרת סימן).

סימן: $g$ שלילית עבור $0<x<e^a$ וחיובית עבור $x>e^a$ (כמו $f$).