מבחן לדוגמה: פונקציות חזקה ופולינומים - כיתה י' 5 יח"ל

בלי לחשב את הערכים, סדרו את המספרים $f(-2)$, $f(1.5)$, $f(-1)$, $f(0.5)$ מהקטן לגדול. נמקו.

נתון $a<b<0$. קבעו איזה מהמספרים גדול יותר: $f(a)$ או $f(b)$. נמקו.

פתרו את המשוואה $f(x)=16$.

היעזרו בסעיף א ופתרו את המשוואה $f(x-3)=16$.

פתרו את המשוואה $f(x^2-5)=16$.

מצאו את שיעורי הנקודות $A$, $B$, $C$ ו-$D$, והסבירו מדוע גם $C$ ו-$D$ נמצאות על הגרף של $f$.

הוכיחו שהמרובע $ABCD$ הוא מקבילית.

חשבו את שטח המקבילית $ABCD$.

מצאו את $b$.

עבור הערך של $b$ שמצאתם, כתבו את $f$ כמכפלת גורמים ממעלה ראשונה, ומצאו את תחומי החיוביות ואת תחומי השליליות שלה.

נגדיר $g(x)=(x+2)\cdot f(x)$. מצאו את האפסים של $g$ ואת הריבוי של כל אחד מהם, קבעו בכל אפס אם הגרף של $g$ חוצה את ציר ה-$x$ או נוגע בו, ופתרו את אי-השוויון $g(x)<0$.

$f(x)=-2x^5+3x^2-7$

$g(x)=5x^3+x^4-20$

כמה שורשים ממשיים יש ל-$p$? לכל שורש, ציינו תחום שבו הוא נמצא. נמקו.

מצאו את כל השורשים הממשיים של הפולינום $p(x)=x^3-4x^2-5x$, והסבירו מדוע אין לו שורשים נוספים.

הראו שלפולינום $q(x)=x^4+2x^2+3$ אין שורשים ממשיים.

הראו ש-$f(x)=(x^2-13)^2-144$, ומצאו את כל השורשים הממשיים של $f$.

היעזרו בייצוג מסעיף א, ומצאו את הערך המינימלי של $f$ ואת ערכי $x$ שבהם הוא מתקבל.

היעזרו בסעיפים הקודמים, ומצאו כמה שורשים ממשיים שונים יש לכל אחד מהפולינומים: $g(x)=f(x)+144$, $h(x)=f(x)+150$, $k(x)=f(x)-25$. מצאו את השורשים.