שאלות פתוחות: פולינום כמכפלת גורמים: שורשים וריבוי שורש - כיתה י' 5 יח"ל

מצאו את נקודות החיתוך של הגרף של $f$ עם ציר ה-$x$. לכל נקודה קבעו אם הגרף חוצה בה את ציר ה-$x$ או רק נוגע בו. נמקו.

מצאו את נקודת החיתוך של הגרף של $f$ עם ציר ה-$y$.

קבעו איזה מן הביטויים מייצג את הפונקציה $f(x)$, נמקו את קביעתכם:

I. $f(x)=-x(x+5)(x-6)$

II. $f(x)=-(x+5)(x+1)(x-2)(x-6)$

III. $f(x)=(x+5)(x+1)(x-2)(x-6)$

IV. $f(x)=-(x+5)(x-1)(x-2)(x-6)$

נתונה הפונקציה: $g(x)=\sqrt{f(x)}$.

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה $g(x)$.

מצאו את תחומי החיוביות והשליליות של $f(x)$. הבחינו בין $n$ זוגי לבין $n$ אי-זוגי.

נתונות הפונקציות $f(x)=x^2(x-2)$ ו-$g(x)=x^3(x-2)$. לפניכם שני גרפים, I ו-II, אחד של כל פונקציה.

קבעו איזה מן הגרפים מתאר את $f(x)$ ואיזה את $g(x)$. נמקו לפי ההתנהגות של כל גרף ליד $x=0$ ובקצוות.

מצאו את $b$.

עבור הערך של $b$ שמצאתם, כתבו את $f$ כמכפלת גורמים ממעלה ראשונה, ומצאו את תחומי החיוביות ואת תחומי השליליות שלה.

נגדיר $g(x)=(x+2)\cdot f(x)$. מצאו את האפסים של $g$ ואת הריבוי של כל אחד מהם, קבעו בכל אפס אם הגרף של $g$ חוצה את ציר ה-$x$ או נוגע בו, ופתרו את אי-השוויון $g(x)<0$.

הסבירו מדוע אפשר לכתוב $f(x)=a(x+3)^2(x-1)(x-4)$, כאשר $a$ מספר שונה מ-$0$.

מצאו את $a$.

מצאו את תחומי החיוביות ואת תחומי השליליות של $f$.

הסבירו מדוע המעלה של $f$ זוגית ומדוע המקדם המוביל שלו שלילי.

נתון ש-$f$ הוא פולינום ממעלה רביעית. רשמו את $f(x)$ כמכפלת גורמים, ומצאו את המקדם המוביל. בדקו שהתוצאה מתאימה לסעיף א.

נתון הפולינום $g(x)=(x-5)\cdot f(x)$. תארו את ההתנהגות של $g$ כאשר $x\to\infty$ וכאשר $x\to-\infty$, ומצאו את נקודות החיתוך של גרף $g$ עם הצירים. סרטטו סקיצה של גרף $g$.

$f(x)=(2x-1)^3(3-x)^2$

$g(x)=x^2(1-2x)^3(x+4)$

מצאו את נקודות החיתוך של גרף $f$ עם הצירים. לכל נקודת חיתוך עם ציר ה-$x$, קבעו אם הגרף חוצה שם את הציר או רק נוגע בו. נמקו.

מצאו את המעלה ואת המקדם המוביל של $f$, ותארו את ההתנהגות שלו כאשר $x\to\infty$ וכאשר $x\to-\infty$. היעזרו בכך ובסעיף א, וסרטטו סקיצה של גרף $f$.

היעזרו בסקיצה, ומצאו את תחומי החיוביות ואת תחומי השליליות של $f$.

הראו ש-$x=3$ הוא שורש של $f$.

מכיוון ש-$x=3$ הוא שורש, אפשר לרשום $f(x)=(x-3)(x^2+bx+c)$. מצאו את $b$ ואת $c$.

מצאו את כל השורשים הממשיים של $f$. כמה שורשים שונים יש לו? הסבירו מדוע מספר זה קטן מהמעלה של $f$.