שאלות פתוחות: זיהוי משולשים דומים במעגל לפי זוויות היקפיות - כיתה י' 5 יח"ל

בדף הזה 7 שאלות פתוחות במתמטיקה על זיהוי משולשים דומים במעגל לפי זוויות היקפיות, לתלמידי כיתה י' 5 יח"ל, מתוך הנושא "דמיון משולשים במעגל". השאלות בכמה רמות (קלה, בינונית, קשה), משאלות קצרות לתרגול מיומנות אחת ועד שאלות עם כמה סעיפים. מורים יכולים לבחור מהן שאלות, לבנות מבחן או דף עבודה, להוסיף פתרונות ולהוריד ל-Word.

7 שאלותקלה: 2בינונית: 3קשה: 2

שאלה 1 · מרובע חסום: זיהוי משולשים דומים לפי זוויות היקפיותשאלה קצרה · קלה

המרובע ABCDABCDABCD חסום במעגל. הנקודה EEE נמצאת על האלכסון ACACAC כך ש-∠ABE=∠DBC\angle ABE=\angle DBC∠ABE=∠DBC, כמתואר בסרטוט.
ABCDE

הוכיחו כי △ABE∼△DBC\triangle ABE\sim\triangle DBC△ABE∼△DBC.

שאלה 2 · שני מעגלים נחתכים: משולשים דומים לכל ישר דרך נקודת החיתוךשאלה קצרה · בינונית

שני מעגלים נחתכים בנקודות AAA ו-BBB. ישר העובר דרך AAA חותך את המעגל השמאלי בנקודה CCC ואת המעגל הימני בנקודה DDD. ישר אחר העובר דרך AAA חותך את המעגל השמאלי בנקודה KKK ואת המעגל הימני בנקודה LLL. הנקודה AAA נמצאת בין CCC ל-DDD ובין KKK ל-LLL, כמתואר בסרטוט.
ABCDKL

הוכיחו כי △BCD∼△BKL\triangle BCD\sim\triangle BKL△BCD∼△BKL.

שאלה 3 · שני מיתרים מקצות הקוטרשאלה קצרה · קשה

ABABAB הוא קוטר במעגל. הנקודות CCC ו-DDD נמצאות על המעגל, באותו צד של ABABAB. המיתרים ACACAC ו-BDBDBD נחתכים בנקודה EEE, ו-FFF היא עקב האנך מ-EEE לקוטר ABABAB, כמתואר בסרטוט.
ABCDEF

הוכיחו כי AE⋅AC+BE⋅BD=AB2AE\cdot AC+BE\cdot BD=AB^2AE⋅AC+BE⋅BD=AB2.

שאלה 4 · דמיון משולשים כשנקודה היא אמצע קשתשאלה קצרה · קלה

המשולש ABCABCABC חסום במעגל. הנקודה DDD היא אמצע הקשת BCBCBC שאינה מכילה את AAA. הקטע ADADAD חותך את הצלע BCBCBC בנקודה EEE, כמתואר בסרטוט.
ABCDE

הוכיחו כי △ABD∼△BED\triangle ABD\sim\triangle BED△ABD∼△BED.
הדרכה: הראו תחילה כי ∠BAD=∠DBC\angle BAD=\angle DBC∠BAD=∠DBC.

שאלה 5 · חוצה זווית הנמשך עד המעגלשאלת ביניים · בינונית

המשולש ABCABCABC חסום במעגל. חוצה הזווית BACBACBAC חותך את הצלע BCBCBC בנקודה DDD ואת המעגל בנקודה EEE, כמתואר בסרטוט. נתון: AB=15AB=15AB=15, AC=12AC=12AC=12.
ABCDE

א.

הוכיחו כי △ABE∼△ADC\triangle ABE\sim\triangle ADC△ABE∼△ADC.

ב.

נתון: AD=10AD=10AD=10. מצאו את AEAEAE ואת DEDEDE.

ג.

מצאו את BDBDBD, את DCDCDC ואת BCBCBC.

שאלה 6 · גובה וקוטר: רדיוס המעגל החוסם ושטח המשולששאלת ביניים · קשה

המשולש החד-זווית ABCABCABC חסום במעגל שרדיוסו RRR. ADADAD הוא הגובה לצלע BCBCBC, ו-AEAEAE הוא קוטר במעגל, כמתואר בסרטוט.
ABCDE

א.

הוכיחו כי △ABD∼△AEC\triangle ABD\sim\triangle AEC△ABD∼△AEC.

ב.

נתון: AB=13AB=13AB=13, AC=15AC=15AC=15, AD=12AD=12AD=12. מצאו את RRR.

ג.

הוכיחו כי בכל משולש חד-זווית כמו בשאלה מתקיים S△ABC=AB⋅AC⋅BC4RS_{\triangle ABC}=\frac{AB\cdot AC\cdot BC}{4R}S△ABC​=4RAB⋅AC⋅BC​, ובדקו את השוויון בנתוני סעיף ב.

שאלה 7 · משולש שווה-שוקיים חסום: דמיון ואורך השוקשאלה קצרה · בינונית

המשולש שווה-השוקיים ABCABCABC (AB=ACAB=ACAB=AC) חסום במעגל. הנקודה EEE נמצאת על הקשת BCBCBC שאינה מכילה את AAA. המיתר AEAEAE חותך את הצלע BCBCBC בנקודה DDD, ומעבירים את הקטע BEBEBE, כמתואר בסרטוט. נתון: AD=4AD=4AD=4, DE=5DE=5DE=5.
ABCDE

הוכיחו כי △ABD∼△AEB\triangle ABD\sim\triangle AEB△ABD∼△AEB, ומצאו את ABABAB.