שאלות פתוחות: חזרה: משפטי החפיפה צ.ז.צ, ז.צ.ז, צ.צ.צ בהוכחות - כיתה י' 5 יח"ל

שאלות פתוחות לחזרה על משפטי החפיפה צ.ז.צ, ז.צ.ז ו-צ.צ.צ בהוכחות לכיתה י' 5 יחידות. ההוכחות עוסקות בנקודות על שוקי זווית, בשני משולשים על אותו בסיס שצלעותיהם נחתכות, במעוין עם מעגל שמרכזו בקודקוד, בשני ריבועים שקודקוד של אחד במרכז השני, בשני מעגלים משיקים, ובמשולשים שווי צלעות שבנויים על צלעות של משולש. רוב השאלות ברמה קשה. מכאן אפשר להרכיב מבחן בהוכחות, עם פתרון מלא לכל שאלה וקובץ Word.

7 שאלותקלה: 1בינונית: 2קשה: 4

שאלה 1 · חפיפה לפי צ.ז.צ עם זווית משותפתשאלה קצרה · קלה

הנקודות AAA ו-BBB נמצאות על שוק אחת של זווית שקודקודה OOO, והנקודות CCC ו-DDD נמצאות על השוק השנייה, כך ש-AAA בין OOO ל-BBB ו-CCC בין OOO ל-DDD. נתון: OA=OCOA=OCOA=OC, AB=CDAB=CDAB=CD. הקטעים ADADAD ו-CBCBCB נחתכים בנקודה EEE (ראו סרטוט).
OABCDE

הוכיחו כי AD=CBAD=CBAD=CB.

שאלה 2 · חפיפה לפי צ.צ.צ ומשולש שווה שוקייםשאלה קצרה · בינונית

המשולשים ABCABCABC ו-ABDABDABD נמצאים באותו צד של הקטע ABABAB. נתון: AC=BDAC=BDAC=BD, AD=BCAD=BCAD=BC. הקטעים ACACAC ו-BDBDBD נחתכים בנקודה EEE (ראו סרטוט).
ABCDE

הוכיחו כי EA=EBEA=EBEA=EB וכי EC=EDEC=EDEC=ED.

שאלה 3 · מעגל שמרכזו בקודקוד מעוין משיק לצלעשאלה קצרה · קשה

ABCDABCDABCD הוא מעוין שהזווית BBB שלו חדה. הנקודה EEE היא עקב הגובה מהקודקוד AAA לצלע BCBCBC. משרטטים מעגל שמרכזו AAA ורדיוסו AEAEAE.
ABCDE

הוכיחו כי הישר CDCDCD משיק למעגל.

שאלה 4 · ריבוע שקודקודו במרכז ריבוע: חפיפה ושטחשאלת ביניים · בינונית

אורך צלע הריבוע ABCDABCDABCD הוא 7, ואלכסוניו נפגשים בנקודה OOO. הנקודה OOO היא קודקוד של ריבוע OEFGOEFGOEFG. הצלע OGOGOG חותכת את הצלע BCBCBC בנקודה HHH, והצלע OEOEOE חותכת את הצלע CDCDCD בנקודה KKK, כמתואר בסרטוט.
ABCDOEFGHK

א.

הוכיחו כי ∠DOK=∠COH\angle DOK=\angle COH∠DOK=∠COH.

ב.

הוכיחו כי △OKD≅△OHC\triangle OKD\cong\triangle OHC△OKD≅△OHC, והסיקו כי DK=CHDK=CHDK=CH.

ג.

הראו ששטח המרובע OHCKOHCKOHCK שווה לשטח המשולש OCDOCDOCD, ומצאו את שטח המרובע OHCKOHCKOHCK.

שאלה 5 · משיקים משותפים לשני מעגלים: זווית ישרה בין חוצי זוויותשאלה קצרה · קשה

שני מעגלים משיקים זה לזה מבחוץ בנקודה AAA (ראו סרטוט). OOO הוא מרכז המעגל השמאלי ו-QQQ הוא מרכז המעגל הימני. מעבירים בנקודה AAA משיק משותף לשני המעגלים. BBB ו-CCC הן נקודות ההשקה של ישר נוסף שמשיק לשני המעגלים (BBB על המעגל שמרכזו OOO). שני המשיקים נחתכים בנקודה MMM.
OABMCQ

הוכיחו כי הזווית ∢OMQ\sphericalangle OMQ∢OMQ ישרה.

שאלה 6 · שתי צלעות והתיכון לצלע השלישיתשאלה קצרה · קשה

במשולשים ABCABCABC ו-A′B′C′A'B'C'A′B′C′ נתון: AB=A′B′AB=A'B'AB=A′B′, AC=A′C′AC=A'C'AC=A′C′. AMAMAM הוא התיכון לצלע BCBCBC במשולש ABCABCABC, A′M′A'M'A′M′ הוא התיכון לצלע B′C′B'C'B′C′ במשולש A′B′C′A'B'C'A′B′C′, ונתון AM=A′M′AM=A'M'AM=A′M′ (ראו סרטוט).
ABCA'B'C'MM'

הוכיחו כי △ABC≅△A′B′C′\triangle ABC\cong\triangle A'B'C'△ABC≅△A′B′C′. (הדרכה: המשיכו את AMAMAM מעבר ל-MMM עד לנקודה EEE כך ש-ME=AMME=AMME=AM, ובאותו אופן את A′M′A'M'A′M′ עד לנקודה E′E'E′.)

שאלה 7 · משולשים שווי צלעות על צלעות משולששאלת ביניים · קשה

על הצלעות ABABAB ו-ACACAC של המשולש ABCABCABC בנו, מחוץ למשולש, את המשולשים שווי הצלעות ABDABDABD ו-ACEACEACE. הקטעים DCDCDC ו-BEBEBE נחתכים בנקודה FFF, והקטע DCDCDC חותך את הצלע ABABAB בנקודה PPP (ראו סרטוט).
ABCDEFP

א.

הוכיחו כי △DAC≅△BAE\triangle DAC\cong\triangle BAE△DAC≅△BAE.

ב.

הסיקו כי DC=BEDC=BEDC=BE וכי ∠ADC=∠ABE\angle ADC=\angle ABE∠ADC=∠ABE.

ג.

הוכיחו כי ∠BFC=120∘\angle BFC=120^\circ∠BFC=120∘.