שאלות פתוחות: משפט חפיפה רביעי: שתי צלעות והזווית מול הצלע הגדולה - כיתה י' 5 יח"ל

שאלות פתוחות בנושא משפט החפיפה הרביעי, שתי צלעות והזווית שמול הצלע הגדולה, לכיתה י' 5 יחידות. התלמידים מוכיחים חפיפה במשולשים ישרי זווית ובמשולש שווה שוקיים שבסיסו נמשך לשני הצדדים, מוכיחים שחוצה זווית שהוא גם תיכון יוצר משולש שווה שוקיים, ועובדים עם גבהים שווים ומרובע עם שתי זוויות ישרות. השאלות ברמה קלה, בינונית וקשה. בחרו שאלות למבחן או לדף עבודה, עם פתרונות מלאים וייצוא ל-Word.

21 שאלותקלה: 7בינונית: 9קשה: 5

שאלה 1 · זיהוי משפט החפיפה הרביעישאלה קצרה · קלה

שני הסעיפים שלפניכם אינם תלויים זה בזה.

א.

במשולשים ABCABCABC ו-DEFDEFDEF נתון: AB=DEAB=DEAB=DE, AC=DFAC=DFAC=DF, AB>ACAB>ACAB>AC, ∠ACB=∠DFE=70∘\angle ACB=\angle DFE=70^\circ∠ACB=∠DFE=70∘. נתון גם ∠BAC=45∘\angle BAC=45^\circ∠BAC=45∘. הוכיחו כי △ABC≅△DEF\triangle ABC\cong\triangle DEF△ABC≅△DEF, ומצאו את הזוויות ∠EDF\angle EDF∠EDF ו-∠DEF\angle DEF∠DEF.

ב.

במשולשים KLMKLMKLM ו-PQRPQRPQR נתון: ∠KLM=∠PQR=90∘\angle KLM=\angle PQR=90^\circ∠KLM=∠PQR=90∘, KM=PRKM=PRKM=PR, LM=QRLM=QRLM=QR. האם המשולשים חופפים? נמקו.

שאלה 2 · זווית קהה מול הצלע הגדולהשאלה קצרה · בינונית

במשולש שווה השוקיים ABCABCABC (AB=ACAB=ACAB=AC) הנקודה DDD נמצאת על המשך הבסיס BCBCBC מעבר ל-CCC, והנקודה EEE נמצאת על המשך הבסיס CBCBCB מעבר ל-BBB, כך ש-AD=AEAD=AEAD=AE (ראו סרטוט).
ABCED

הוכיחו כי △ABE≅△ACD\triangle ABE\cong\triangle ACD△ABE≅△ACD, והסיקו כי BE=CDBE=CDBE=CD.

שאלה 3 · חוצה זווית שהוא גם תיכוןשאלה קצרה · קשה

במשולש חד-זווית ABCABCABC הקטע ADADAD הוא חוצה הזווית BACBACBAC, והנקודה DDD היא אמצע הצלע BCBCBC (ראו סרטוט).
ABCD

הוכיחו כי AB=ACAB=ACAB=AC.

שאלה 4 · הגובה לבסיס במשולש שווה שוקיים הוא גם חוצה זווית ותיכוןשאלה קצרה · קלה

במשולש שווה השוקיים ABCABCABC (AB=ACAB=ACAB=AC) הקטע ADADAD הוא הגובה לבסיס BCBCBC (ראו סרטוט).
ABCD

הוכיחו, בלי להסתמך על כך שזוויות הבסיס במשולש שווה שוקיים שוות, כי הגובה ADADAD הוא גם חוצה זווית הראש ∠BAC\angle BAC∠BAC וגם התיכון לבסיס BCBCBC.

שאלה 5 · מרובע עם שתי זוויות ישרות נגדיותשאלת ביניים · בינונית

במרובע הקמור ABCDABCDABCD נתון: ∠DAB=∠BCD=90∘\angle DAB=\angle BCD=90^\circ∠DAB=∠BCD=90∘, AB=CDAB=CDAB=CD. מעבירים את האלכסון BDBDBD (ראו סרטוט).
ABCD

א.

הוכיחו כי △ABD≅△CDB\triangle ABD\cong\triangle CDB△ABD≅△CDB.

ב.

הוכיחו כי AB∥DCAB\parallel DCAB∥DC וכי AD∥BCAD\parallel BCAD∥BC.

ג.

נתון: AB=5AB=5AB=5, BD=13BD=13BD=13. חשבו את ההיקף ואת השטח של המרובע ABCDABCDABCD.

שאלה 6 · שתי צלעות והגובה לצלע השלישיתשאלת ביניים · קשה

במשולשים ABCABCABC ו-A′B′C′A'B'C'A′B′C′ נתון: AB=A′B′AB=A'B'AB=A′B′, AC=A′C′AC=A'C'AC=A′C′. AHAHAH הוא הגובה לצלע BCBCBC, A′H′A'H'A′H′ הוא הגובה לצלע B′C′B'C'B′C′, ונתון AH=A′H′AH=A'H'AH=A′H′. הזוויות ∠B\angle B∠B, ∠C\angle C∠C, ∠B′\angle B'∠B′, ∠C′\angle C'∠C′ חדות, ולכן HHH נמצאת בין BBB ל-CCC, ו-H′H'H′ נמצאת בין B′B'B′ ל-C′C'C′ (ראו סרטוט).
ABCHA'B'C'H'

א.

הוכיחו כי △ABH≅△A′B′H′\triangle ABH\cong\triangle A'B'H'△ABH≅△A′B′H′, והסיקו כי BH=B′H′BH=B'H'BH=B′H′.

ב.

הוכיחו כי △ABC≅△A′B′C′\triangle ABC\cong\triangle A'B'C'△ABC≅△A′B′C′.

ג.

נתון: AB=13AB=13AB=13, AC=20AC=20AC=20, AH=12AH=12AH=12. חשבו את אורך הצלע B′C′B'C'B′C′ ואת שטח המשולש A′B′C′A'B'C'A′B′C′.

שאלה 7 · שני גבהים שווים - המשולש שווה שוקייםשאלה קצרה · קלה

במשולש חד-זווית ABCABCABC הקטע BEBEBE הוא הגובה לצלע ACACAC, והקטע CDCDCD הוא הגובה לצלע ABABAB (הנקודה DDD על ABABAB, הנקודה EEE על ACACAC). נתון: BE=CDBE=CDBE=CD (ראו סרטוט).
ABCDE

הוכיחו כי AB=ACAB=ACAB=AC (כלומר: אם במשולש שני גבהים שווים זה לזה, המשולש שווה שוקיים).

שאלה 8 · מרובע עם שתי זוויות ישרות ושתי צלעות שוותשאלת ביניים · בינונית

במרובע ABCDABCDABCD נתון: ∠ABC=∠ADC=90∘\angle ABC=\angle ADC=90^\circ∠ABC=∠ADC=90∘ ו-AB=ADAB=ADAB=AD. ACACAC הוא אלכסון במרובע (ראו סרטוט).
ABCD

א.

הוכיחו כי BC=DCBC=DCBC=DC.

ב.

הוכיחו כי ACACAC חוצה את הזווית ∠BCD\angle BCD∠BCD ואת הזווית ∠BAD\angle BAD∠BAD.

ג.

נתון: AB=6AB=6AB=6 ס"מ, AC=10AC=10AC=10 ס"מ. חשבו את היקף המרובע ABCDABCDABCD.

שאלה 9 · אמצע הצלע קובע מי הצלע הגדולה: שני משולשים שווי שוקייםשאלת ביניים · קשה

במשולש ABCABCABC הנקודה NNN היא אמצע הצלע BCBCBC, והנקודה KKK נמצאת על BCBCBC בין NNN ל-BBB. הנקודה DDD נמצאת על הצלע ABABAB והנקודה EEE על הצלע ACACAC, כך ש-BK=ECBK=ECBK=EC, KC=BDKC=BDKC=BD ו-∠DKB=∠KEC\angle DKB=\angle KEC∠DKB=∠KEC (ראו סרטוט).
ABCNKDE

א.

הוכיחו כי המשולש DKEDKEDKE שווה שוקיים.

ב.

הוכיחו כי המשולש ABCABCABC שווה שוקיים.

שאלה 10 · שני קטעים מאונכים שאחד חוצה את השנישאלה קצרה · קלה

הקטעים ACACAC ו-BDBDBD נחתכים בנקודה MMM. נתון: BDBDBD חוצה את ACACAC (כלומר MMM היא אמצע ACACAC), AC⊥BDAC\perp BDAC⊥BD ו-CD=ABCD=ABCD=AB (ראו סרטוט).
ABCDM

הוכיחו כי MB=MDMB=MDMB=MD.

עוד 10 שאלות על משפט חפיפה רביעי: שתי צלעות והזווית מול הצלע הגדולה

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

שתי זוויות קהות מול צלעות שוות: $EB = BC$ (שאלה קצרה · בינונית)
במשולש שווה השוקיים $ABC$ ( $AB=AC$ ) הנקודה $E$ נמצאת על המשך הצלע $CB$ מעבר ל- $B$ , והנקודה $D$ נמצאת על המשך הצלע $AC$ מעבר ל- $C$ , כך…
שני משולשים שווי שוקיים על ישר אחד: $K C = D N$ וסכום זוויות (שאלת ביניים · קשה)
במשולש שווה השוקיים $ABC$ ( $AB=AC$ ) הנקודה $K$ נמצאת על הבסיס $BC$ . הנקודה $N$ נמצאת על המשך הבסיס $BC$ מעבר ל- $C$ , והמשולש $CDE$ שווה…
אנכים שווים מאמצע הצלע לשתי הצלעות האחרות (שאלה קצרה · קלה)
במשולש $ABC$ הנקודה $M$ היא אמצע הצלע $BC$ . מ- $M$ מורידים אנכים לצלעות: $MD\perp AB$ ו- $ME\perp AC$ ( $D$ על $AB$ , $E$ על $AC$ ). נתון:…
שני קטעים שווים במשולש ישר זווית: $H E = H F$ (שאלה קצרה · בינונית)
במשולש $EDF$ נתון $\angle EDF=90^\circ$ . הנקודה $N$ נמצאת על הניצב $ED$ והנקודה $M$ על הניצב $DF$ , כך ש- $DM=DN$ ו- $EM=FN$ . הקטעים $EM$ …
זווית קהה שמבטיחה חפיפה, ומשולש שאינו חופף אף שיש בו צלע, צלע וזווית (שאלת ביניים · קשה)
במרובע $ABCD$ הקטע $AC$ הוא אלכסון. הנקודה $E$ נמצאת על המשך הצלע $AD$ מעבר ל- $D$ . נתון: $\angle ADC=\angle ABC$ ו- $BC=CD=CE$ (ראו סרטוט).
מרובע עם צלעות נגדיות שוות ושתי זוויות קהות שוות (שאלה קצרה · קלה)
במרובע $ABCD$ נתון: $AB=CD$ ו- $\angle ABC=\angle CDA$ , ושתי הזוויות האלה קהות. $AC$ הוא אלכסון במרובע (ראו סרטוט).
זווית הראש במשולש שווה שוקיים - בעזרת חפיפה עם זווית קהה (שאלה קצרה · בינונית)
המשולש $ADE$ שווה שוקיים ( $AE=AD$ ). הנקודה $B$ נמצאת על המשך הצלע $DE$ מעבר ל- $E$ , והנקודה $C$ נמצאת על המשך הצלע $AD$ מעבר ל- $D$ . נתון:…
הנתון $C D > BC$ ותפקידו בחפיפה (שאלה קצרה · קלה)
במשולש שווה השוקיים $ABC$ ( $AB=AC$ ) הנקודה $D$ נמצאת על השוק $AB$ והנקודה $E$ על השוק $AC$ , כך ש- $CD=BE$ ו- $CD>BC$ (ראו סרטוט).
אנך ליתר ושני ניצבים שווים: $∠ A E D = 2∠ ECB$ (שאלה קצרה · בינונית)
במשולש ישר הזווית $ABC$ ( $\angle ABC=90^\circ$ ) הנקודה $D$ נמצאת על היתר $AC$ כך ש- $DC=BC$ , והנקודה $E$ נמצאת על הניצב $AB$ כך ש-…
קטע שנחצה בנקודה על הצלע ומסתיים באמצע $A C$ (שאלה קצרה · בינונית)
הנקודה $D$ נמצאת על הצלע $AC$ של המשולש $ABC$ , והנקודה $B$ היא אמצע הקטע $ED$ . נתון: $EC=AB$ ו- $BC=DC$ (ראו סרטוט).

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (1)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

נקודה במרחק שווה משוקי זווית נמצאת על חוצה הזווית (שאלת ביניים · בינונית)
הנקודה $P$ נמצאת בתוך הזווית שקודקודה $A$ . $PB$ ו- $PC$ הם האנכים מהנקודה $P$ לשתי שוקי הזווית (הנקודות $B$ …