שאלות פתוחות: דמיון בהוכחות משולבות: מרובעים, קטע אמצעים וחפיפה - כיתה י' 5 יח"ל

בדף הזה 7 שאלות פתוחות במתמטיקה על דמיון בהוכחות משולבות: מרובעים, קטע אמצעים וחפיפה, לתלמידי כיתה י' 5 יח"ל, מתוך הנושא "דמיון משולשים". השאלות בכמה רמות (קלה, בינונית, קשה), משאלות קצרות לתרגול מיומנות אחת ועד שאלות עם כמה סעיפים. מורים יכולים לבחור מהן שאלות, לבנות מבחן או דף עבודה, להוסיף פתרונות ולהוריד ל-Word.

7 שאלותקלה: 2בינונית: 3קשה: 2

שאלה 1 · מרובע עם צלעות מקבילות ואלכסון חוצה זוויתשאלה קצרה · קלה

במרובע ABCDABCDABCD הצלע CDCDCD מקבילה לצלע ABABAB, והאלכסון DBDBDB חוצה את הזווית ADCADCADC. האלכסונים נפגשים בנקודה EEE.
ABCDE

א.

הוכיחו כי AB=ADAB=ADAB=AD. היעזרו בזוויות מתחלפות בין המקבילים ABABAB ו-CDCDCD.

ב.

הוכיחו כי המשולשים AEBAEBAEB ו-CEDCEDCED דומים.

שאלה 2 · מעוין וישר דרך קודקוד: מכפלת קטעיםשאלה קצרה · בינונית

ABCDABCDABCD הוא מעוין. ישר העובר דרך הקודקוד CCC חותך את המשך הצלע ABABAB (מעבר ל-BBB) בנקודה PPP, ואת המשך הצלע ADADAD (מעבר ל-DDD) בנקודה QQQ (ראו סרטוט).
ABCDPQ

הוכיחו: PB⋅DQ=AB2PB\cdot DQ=AB^2PB⋅DQ=AB2.

שאלה 3 · מקבילית וישר מקודקוד: מכפלת קטעים על הישרשאלה קצרה · קשה

ABCDABCDABCD היא מקבילית. הנקודה EEE נמצאת על הצלע ABABAB. הישר DEDEDE חותך את האלכסון ACACAC בנקודה FFF, ואת המשך הצלע CBCBCB (מעבר ל-BBB) בנקודה GGG (ראו סרטוט).
ABCDEFG

הוכיחו: FD2=FE⋅FGFD^2=FE\cdot FGFD2=FE⋅FG.

שאלה 4 · קטע אמצעים ומקבילית: הוכחת דמיון בצעד אחדשאלה קצרה · קלה

בכל סעיף נתון מצב אחר.

א.

במשולש ABCABCABC הנקודה MMM היא אמצע הצלע ABABAB, והנקודה NNN היא אמצע הצלע ACACAC. הוכיחו כי △AMN∼△ABC\triangle AMN\sim\triangle ABC△AMN∼△ABC, ומצאו את יחס הדמיון. היעזרו במשפט קטע האמצעים במשולש.

ב.

ABCDABCDABCD היא מקבילית. הנקודה EEE נמצאת על הצלע CDCDCD, והישר AEAEAE חותך את המשך הצלע BCBCBC (מעבר ל-CCC) בנקודה FFF. הוכיחו כי △ADE∼△FCE\triangle ADE\sim\triangle FCE△ADE∼△FCE. היעזרו בכך ש-AD∥BCAD\parallel BCAD∥BC.

שאלה 5 · ריבוע בין הצירים: זוויות, דמיון ויחס קטעיםשאלת ביניים · בינונית

נתון ריבוע ABCDABCDABCD. הצלע ABABAB עוברת דרך ראשית הצירים, OOO. הצלע ADADAD חותכת את ציר ה-xxx בנקודה EEE. הקודקוד CCC מונח על החלק החיובי של ציר ה-yyy (ראו סרטוט).
הזוויות AOEAOEAOE, EOCEOCEOC ו-BOCBOCBOC יוצרות יחד זווית שטוחה, ו-∠EOC=90∘\angle EOC=90^\circ∠EOC=90∘, ולכן ∠AOE+∠BOC=90∘\angle AOE+\angle BOC=90^\circ∠AOE+∠BOC=90∘.
ABCDEO

א.

הוכיחו: ∠AEO=∠BOC\angle AEO=\angle BOC∠AEO=∠BOC.

ב.

הוכיחו: ΔOAE∼ΔCBO\Delta OAE\sim\Delta CBOΔOAE∼ΔCBO.

ג.

נתון: הנקודה OOO היא אמצע הצלע ABABAB.
הראו כי OE=12OCOE=\frac12OCOE=21​OC.

שאלה 6 · מקבילית ואמצעי צלעות: חלוקת האלכסון לשלושה חלקים שוויםשאלת ביניים · קשה

ABCDABCDABCD היא מקבילית. EEE היא אמצע הצלע ABABAB, ו-FFF היא אמצע הצלע CDCDCD. האלכסון ACACAC חותך את הקטע DEDEDE בנקודה PPP ואת הקטע BFBFBF בנקודה QQQ (ראו סרטוט).
ABCDEFPQ

א.

הוכיחו: △APE∼△CPD\triangle APE\sim\triangle CPD△APE∼△CPD, והסיקו כי AP=13ACAP=\frac13ACAP=31​AC.

ב.

הוכיחו: △APE≅△CQF\triangle APE\cong\triangle CQF△APE≅△CQF, והסיקו כי AP=PQ=QCAP=PQ=QCAP=PQ=QC.

ג.

נתון: שטח המקבילית ABCDABCDABCD הוא 606060. חשבו את שטח המרובע DPBQDPBQDPBQ.

שאלה 7 · טרפז: קטע דרך נקודת חיתוך האלכסונים במקביל לבסיסיםשאלה קצרה · בינונית

בטרפז ABCDABCDABCD (AB∥DCAB\parallel DCAB∥DC) נתון: AB=14AB=14AB=14, DC=6DC=6DC=6. האלכסונים נחתכים בנקודה OOO. דרך OOO העבירו ישר המקביל לבסיסים, והוא חותך את השוק ADADAD בנקודה EEE ואת השוק BCBCBC בנקודה FFF.
ABCDOEF

מצאו את אורך הקטע EFEFEF.