שאלות פתוחות: מעריכי מול ליניארי: אומדן והשוואת כמויות לאורך זמן - כיתה י"א 3 יח"ל

מעריכי מול ליניארי לכיתה י"א, 3 יחידות: אומדן והשוואת כמויות לאורך זמן. השאלות מעמידות זו מול זו שתי דרכים לגדול או לקטון - שני קוראים שאחד מוסיף 5 עמודים ביום והשני מכפיל, שתי קופות חיסכון, שתי תוכניות להפחתת פסולת במפעל, שני שירותי סטרימינג ושני אגמים - ושואלות מתי הכמויות שוות ומי מוביל. השאלות ברמה קלה, בינונית וקשה. בחרו מכאן שאלות לבוחן או לדף עבודה, וקבלו פתרון מלא לכל אחת וקובץ Word.

8 שאלותקלה: 1בינונית: 5קשה: 2

שאלה 1 · מעריכי מול ליניארי: אומדן והשוואת כמויות לאורך זמןשאלה קצרה · קלה

דני קרא ביום הראשון 101010 עמודים, ובכל יום קרא 555 עמודים יותר מאשר ביום הקודם. רון קרא ביום הראשון 555 עמודים, ובכל יום קרא פי 222 עמודים מאשר ביום הקודם.

מצאו בכמה עמודים קרא רון יותר מדני ביום הרביעי.

שאלה 2 · מעריכי מול ליניארי: אומדן והשוואת כמויות לאורך זמןשאלה קצרה · בינונית

עידו ורינה חוסכים כסף בקופות. בסוף השבוע הראשון יש בקופה של עידו 505050 שקלים, ובסוף כל שבוע יש בה 505050 שקלים יותר מבסוף השבוע הקודם. בסוף השבוע הראשון יש בקופה של רינה 202020 שקלים, ובכל שבוע הסכום בקופה שלה מוכפל.

מצאו בסוף איזה שבוע יהיה לראשונה בקופה של רינה יותר כסף מאשר בקופה של עידו.

שאלה 3 · שני מודלים שעוברים באותן שתי נקודות: ליניארי ומעריכישאלה קצרה · קשה

בתחילת שנת 2020 גרו ביישוב חדש 20,00020{,}00020,000 תושבים, ובתחילת שנת 2024 גרו בו 30,00030{,}00030,000 תושבים. מתכננים הציעו שני מודלים לתיאור הגידול, ושניהם מתאימים לשני הנתונים האלה:
מודל א': מספר התושבים גדל בכל שנה באותו מספר תושבים (תהליך ליניארי).
מודל ב': מספר התושבים גדל בכל שנה באותו אחוז (תהליך מעריכי).

לפי איזה מודל יהיו ביישוב יותר תושבים בתחילת שנת 2022, ולפי איזה מודל יהיו בו יותר תושבים בתחילת שנת 2027? נמקו בחישוב, ועגלו את מספרי התושבים לשלם.

שאלה 4 · מעריכי מול ליניארי: אומדן והשוואת כמויות לאורך זמןשאלה קצרה · בינונית

מפעל פולט היום 505050 טונות פסולת בשנה. הוצעו לו שתי תוכניות להפחתת הפסולת: לפי תוכנית א' כמות הפסולת השנתית תקטן בכל שנה ב-666 טונות, ולפי תוכנית ב' היא תקטן בכל שנה ב-15%15\%15%. המפעל יקבל מענק אם כעבור 555 שנים יפלוט פחות מ-212121 טונות פסולת בשנה.

קבעו לפי אילו מן התוכניות יקבל המפעל את המענק. נמקו.

שאלה 5 · תוספת קבועה מול אחוז קבוע: מתי העקיפה, ומה האחוז הדרוש לעקיפה מוקדמתשאלת ביניים · קשה

בתחילת שנת 2020 היו לשירות סטרימינג א' 50,00050{,}00050,000 מנויים, ומאז מצטרפים אליו בכל שנה 6,0006{,}0006,000 מנויים (תהליך ליניארי).
בתחילת שנת 2020 היו לשירות סטרימינג ב' 30,00030{,}00030,000 מנויים, ומאז מספר המנויים שלו גדל בכל שנה ב-20%20\%20% (תהליך מעריכי).
נסמן ב-ttt את מספר השנים מתחילת שנת 2020.

א.

כתבו ביטוי למספר המנויים של כל אחד מן השירותים כעבור ttt שנים, ומצאו לאיזה שירות היו יותר מנויים בתחילת שנת 2023.

ב.

בתחילת איזו שנה היו לשירות ב' לראשונה יותר מנויים מאשר לשירות א'?

ג.

מנהלי שירות ב' רצו שכבר בתחילת שנת 2025 יהיו לשירות ב' יותר מנויים מאשר לשירות א' (שירות א' ומספר המנויים של שירות ב' בתחילת 2020 ללא שינוי). מהו אחוז הגדילה השנתי הקטן ביותר, במספר שלם של אחוזים, שהיה מאפשר זאת?

שאלה 6 · מעריכי מול ליניארי: אומדן והשוואת כמויות לאורך זמןשאלה קצרה · בינונית

מספר החברים באגודת ספורט נספר בתחילת כל שנה. התוצאות בארבע השנים הראשונות:
שנה1234
מספר חברים3,0003{,}0003,0003,3003{,}3003,3003,6303{,}6303,6303,9933{,}9933,993
יושב הראש אמד שבכל שנה מצטרפים כ-330330330 חברים, ולכן בשנה ה-111111 (כעבור 101010 שנים מהספירה הראשונה) יהיו 3,000+10⋅330=6,3003{,}000+10\cdot330=6{,}3003,000+10⋅330=6,300 חברים.

שנה	1	2	3	4
מספר חברים	$3{,}000$	$3{,}300$	$3{,}630$	$3{,}993$

מצאו את מספר החברים בשנה ה-111111 לפי תהליך מעריכי שמתאים לנתוני הטבלה, ובכמה הוא גדול מהאומדן של יושב הראש. עגלו לשלם.

שאלה 7 · מעריכי מול ליניארי: אומדן והשוואת כמויות לאורך זמןשאלה קצרה · בינונית

בשעה 8:00 התחילו לרוקן שתי בריכות. בבריכה א' היו 1,0001{,}0001,000 מ"ק מים, וכמות המים בה קטנה בכל שעה ב-10%10\%10%. בבריכה ב' היו 900900900 מ"ק מים, ובכל שעה יוצאים ממנה 505050 מ"ק מים, עד שהיא מתרוקנת.

קבעו באיזו בריכה יהיו יותר מים כעבור 333 שעות, ובאיזו בריכה יהיו יותר מים כעבור 151515 שעות. נמקו.

שאלה 8 · שני אגמים: ירידה במספר קבוע מול ירידה באחוז קבועשאלת ביניים · בינונית

בתחילת המעקב היו בכל אחד משני אגמים, אגם א' ואגם ב', 12,00012{,}00012,000 דגים. באגם א' מספר הדגים קטן בכל שנה ב-1,0001{,}0001,000 דגים (תהליך ליניארי), ובאגם ב' מספר הדגים קטן בכל שנה ב-10%10\%10% (תהליך מעריכי).

א.

העתיקו והשלימו את הטבלה. עגלו לשלם.
שנים מתחילת המעקב000111222333444555
מספר הדגים באגם א'12,00012{,}00012,000
מספר הדגים באגם ב'12,00012{,}00012,000

ב.

לפי הטבלה, מצאו בכמה דגים קטן מספר הדגים באגם ב' בשנה הראשונה, בשנה השנייה ובשנה השלישית. מאיזו שנה אגם ב' מאבד בכל שנה פחות דגים מאגם א'?

ג.

בתום כמה שנים יהיו לראשונה באגם ב' יותר דגים מאשר באגם א'? הסבירו בעזרת סעיף ב מדוע מאותה שנה ואילך יהיו באגם ב' יותר דגים מאשר באגם א'.

שנים מתחילת המעקב	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
מספר הדגים באגם א'	$12{,}000$
מספר הדגים באגם ב'	$12{,}000$