שאלות פתוחות: התאמת גרף או טבלה לתהליך מעריכי ולתהליך ליניארי - כיתה י"א 3 יח"ל

התאמת גרף או טבלה לתהליך מעריכי או לתהליך ליניארי, שאלות לכיתה י"א 3 יחידות. התלמידים מחליטים מתוך טבלה אם כמות המים במכל או מספר ההורדות של אפליקציה משתנים באופן ליניארי או מעריכי, ומתאימים גרפים לשתי תוכניות חיסכון, לשתי שכונות ולשני ניסויי חיידקים. יש גם שאלה על השאלת ספרים בעמדה עצמית לעומת הספרנים. השאלות ברמה קלה, בינונית וקשה. אפשר לבחור מהן בוחן או דף עבודה, עם פתרונות מלאים ואפשרות הורדה ל-Word.

44 שאלותקלה: 14בינונית: 28קשה: 2

שאלה 1 · התאמת גרף או טבלה לתהליך מעריכי ולתהליך ליניארישאלה קצרה · קלה

מספר ההורדות החודשי של אפליקציה משתנה בתהליך ליניארי או בתהליך מעריכי. בחודש שבו הושקה האפליקציה (t=0t=0t=0) היו לה 2,0002{,}0002,000 הורדות, בחודש t=1t=1t=1 היו לה 3,0003{,}0003,000 הורדות, ובחודש t=2t=2t=2 היו לה 4,5004{,}5004,500 הורדות.

א.

קבעו איזה מן התהליכים מתאים לנתונים. נמקו.

ב.

כמה הורדות יהיו לאפליקציה בחודש t=4t=4t=4?

שאלה 2 · התאמת גרף או טבלה לתהליך מעריכי ולתהליך ליניארישאלה קצרה · בינונית

בטבלה שלפניכם כמות המים (בליטרים) במכל בתחילת כל יום:
יום000111222333
כמות המים2,0002{,}0002,0001,8001{,}8001,8001,6201{,}6201,6201,4581{,}4581,458
הכמות ממשיכה להשתנות באותו אופן.

יום	$0$	$1$	$2$	$3$
כמות המים	$2{,}000$	$1{,}800$	$1{,}620$	$1{,}458$

א.

הראו כי כמות המים במכל משתנה בתהליך מעריכי, ומצאו בכמה אחוזים היא קטנה בכל יום.

ב.

בתחילת איזה יום תהיה לראשונה כמות המים במכל פחות מ-1,2001{,}2001,200 ליטרים?

שאלה 3 · התאמת גרף או טבלה לתהליך מעריכי ולתהליך ליניארישאלה קצרה · קשה

יואב ונטע הפקידו כל אחד 3,0003{,}0003,000 שקלים בתוכניות חיסכון שונות. בתוכנית של יואב מתווספים לסכום 240240240 שקלים בכל שנה. בתוכנית של נטע הסכום גדל בכל שנה באחוז קבוע. כעבור שנתיים היה בשתי התוכניות אותו סכום.

מצאו בכמה אחוזים גדל הסכום בתוכנית של נטע בכל שנה. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

שאלה 4 · התאמת גרף או טבלה לתהליך מעריכי ולתהליך ליניארישאלה קצרה · קלה

בשני ניסויים הכמות ההתחלתית היא 111 אלף חיידקים. בניסוי אחד מספר החיידקים גדל פי 222 בכל שעה, ובניסוי השני הוא גדל פי 555 בכל שעה. בשרטוט הגרפים I ו-II של שני התהליכים (ttt - הזמן בשעות, yyy - מספר החיידקים באלפים).
III
-0.20.20.40.60.81.01.21.41.624681012

קבעו איזה מן הגרפים מתאר את הניסוי שבו מספר החיידקים גדל פי 555 בכל שעה. נמקו.

שאלה 5 · התאמת גרף או טבלה לתהליך מעריכי ולתהליך ליניארישאלה קצרה · בינונית

בתחילת שנת 202020202020 גרו בשכונה א' ובשכונה ב' 10,00010{,}00010,000 תושבים בכל אחת. בשכונה א' מספר התושבים גדל ב-1,2001{,}2001,200 תושבים בכל שנה, ובשכונה ב' הוא גדל ב-10%10\%10% בכל שנה.

מצאו בתחילת איזו שנה יהיו לראשונה בשכונה ב' יותר תושבים מאשר בשכונה א'.

שאלה 6 · תהליך מעריכי מול תהליך קבוע: זיהוי, אחוז הגדילה ומתי ההפרש מגיע לערך נתוןשאלת ביניים · קשה

בספרייה עירונית אפשר לשאול ספרים בשתי דרכים - בעמדת השאלה עצמית או אצל הספרנים.
נמצא כי בשנים 2015-2022 מספר הספרים שהושאלו בעמדת ההשאלה העצמית גדל באחוז קבוע בכל שנה, ומספר הספרים שהושאלו אצל הספרנים לא השתנה.
לפניכם שני גרפים I-II שכל אחד מהם מתאר את מספר הספרים שהושאלו בספרייה בדרך אחת מן הדרכים, לפי השנה.
בתחילת שנת 2019 מספר הספרים שהושאלו בעמדת ההשאלה העצמית היה שווה למספר הספרים שהושאלו אצל הספרנים. על הציר האנכי מסומנים הערכים 36,751 (נקודת ההתחלה של גרף I, בתחילת שנת 2015) ו-50,000 (הגובה של גרף II).
III
‫השנה‬‫מספר הספרים‬20152016201720182019202020212022202350,00036,751

א.

קבעו איזה מן הגרפים I-II מתאר את מספר הספרים שהושאלו בעמדת ההשאלה העצמית.

ב.

מצאו בכמה אחוזים גדל בכל שנה מספר הספרים שהושאלו בעמדת ההשאלה העצמית.

ג.

מצאו כעבור כמה זמן מתחילת שנת 2019 היה מספר הספרים שהושאלו בעמדת ההשאלה העצמית גדול ב-8,320 ממספר הספרים שהושאלו אצל הספרנים.

שאלה 7 · גדילה ודעיכה: מכל שמתרוקן ומכל שמתמלאשאלה מלאה · קלה

במפעל יש שני מכלי מים. ביום מסוים החלו לרוקן את מכל א' ולמלא את מכל ב'.
בשעה 8:00 היו במכל א' 2,000 ליטר ובמכל ב' 400 ליטר.
כמות המים במכל א' קטנה בכל שעה ב-20%, וכמות המים במכל ב' גדלה בכל שעה ב-25%.
לפניכם גרף I וגרף II: כל אחד מהם מתאר את כמות המים באחד מן המכלים מן השעה 8:00 עד לשעה 13:00.
‫הזמן (שעות)‬‫כמות המים (ליטר)‬8:0013:002,000400‫גרף II‬‫גרף I‬

א.

קבעו איזה גרף מתאר את כמות המים במכל א' ואיזה גרף מתאר את כמות המים במכל ב'. נמקו.

ב.

מהו מקדם הדעיכה של מכל א', ומהו מקדם הגדילה של מכל ב'?

ג.

חשבו כמה ליטרים של מים היו בכל אחד מן המכלים בשעה 11:00.

ד.

באיזו שעה עגולה הייתה כמות המים במכל ב' לראשונה גדולה מכמות המים במכל א'?

שאלה 8 · גדילה ודעיכה: תרבית חיידקים עם חומר מחטא ותרבית בחממהשאלה מלאה · בינונית

במעבדה גידלו שתי תרביות חיידקים.
ביום מסוים הכניסו חומר מחטא לתרבית א', ואת תרבית ב' העבירו לחממה שבה החיידקים מתרבים.
לפניכם גרף I וגרף II: כל אחד מהם מתאר את מספר החיידקים (באלפים) באחת מן התרביות מן השעה 8:00 עד לשעה 13:00.
‫הזמן (שעות)‬‫חיידקים (באלפים)‬8:0012:003,000500‫גרף I‬‫גרף II‬

א.

קבעו איזה גרף מתאר את מספר החיידקים בתרבית א' ואיזה גרף מתאר את מספר החיידקים בתרבית ב'.

ב.

מה היה מספר החיידקים בכל אחת מן התרביות בשעה 8:00?

ג.

מספר החיידקים בתרבית א' קטן בצורה מעריכית. בכל שעה קטן מספר החיידקים ב-20%.

חשבו מה היה מספר החיידקים בתרבית א' בשעה 12:00.

ד.

נתון: בשעה 12:00 מספר החיידקים בשתי התרביות היה שווה.
מספר החיידקים בתרבית ב' גדל בצורה מעריכית.

מצאו פי כמה גדל מספר החיידקים בתרבית ב' בכל שעה.

שאלה 9 · התאמת גרף או טבלה לתהליך מעריכי ולתהליך ליניארישאלה קצרה · קלה

שלושה חברים פתחו בתחילת השנה חשבונות ברשת חברתית.
לרוני היו בתחילת השנה 800 עוקבים, ומספר העוקבים שלו קטן בכל חודש ב-10%.
לדנה היו בתחילת השנה 300 עוקבים, ומספר העוקבים שלה גדל בכל חודש ב-20%.
ליוסי היו בתחילת השנה 500 עוקבים, ומספר העוקבים שלו לא השתנה במשך השנה.
בסרטוט שלפניכם שלושה גרפים, I, II ו-III, המתארים את מספר העוקבים לאורך החודשים.
‫חודשים‬‫מספר העוקבים‬IIIIII

התאימו לכל אחד מהחברים את הגרף המתאר את מספר העוקבים שלו. נמקו.

שאלה 10 · גדילה ודעיכה: דגים בשתי בריכותשאלה מלאה · בינונית

בבריכת דגים א' היו בתחילת העונה 625 דגים.
בכל שבוע גדל מספר הדגים בבריכה זו ב-20%.
בבריכת דגים ב' היו בתחילת העונה 4,096 דגים.
בגלל זיהום המים קטן מספר הדגים בבריכה זו מדי שבוע בצורה מעריכית.
היעזרו בגרפים שלפניכם וענו על הסעיפים הבאים.
גרף 1גרף 2
‫שבועות‬‫מספר הדגים‬012345678

א.

איזה מבין הגרפים 1 או 2 מתאים לבריכה א' ואיזה לבריכה ב'? נמקו.

ב.

(1)

כעבור כמה שבועות מיום המדידה הראשון היה בשתי הבריכות אותו מספר דגים?

(2)

כמה דגים היו בכל אחת מהבריכות בשבוע זה?

ג.

בכמה אחוזים קטן מספר הדגים בבריכה ב' מדי שבוע?

ד.

כדי להציל את הדגים בבריכה ב' הוחלט להעביר דגים מבריכה א' לבריכה ב'.
ההעברה התחילה לאחר שבבריכה א' היו יותר מ-2,000 דגים.

(1)

כעבור כמה שבועות מיום המדידה הראשון החלו בהעברת הדגים?

(2)

כמה דגים בערך היו בשבוע זה בבריכה ב' לפני ההעברה?

עוד 24 שאלות על התאמת גרף או טבלה לתהליך מעריכי ולתהליך ליניארי

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

גדילה מעריכית: אצות בשתי בריכות (שאלה מלאה · קלה)
בשתי בריכות, בריכה א ובריכה ב, גדלות אצות. השטח שהאצות מכסות בכל בריכה גדל בצורה מעריכית. בתחילת המדידה השטח המכוסה באצות בבריכה א היה קטן…
גדילה מעריכית: שתי תרביות חיידקים שמשתוות (שאלה מלאה · בינונית)
במעבדה מגדלים שתי תרביות חיידקים: תרבית א ותרבית ב. מספר החיידקים בכל אחת מן התרביות גדל בצורה מעריכית. הגידול של שתי התרביות החל בשעה 6:00.…
גדילה ודעיכה: דגים בשני אגמים (שאלה מלאה · קלה)
במדינה מסוימת יש שני אגמים, A ו-B. מספר הדגים באגם A קטן בכל שנה באחוז קבוע, ומספר הדגים באגם B גדל בכל שנה באחוז קבוע. הגרפים I-II שלפניכם…
גדילה ודעיכה: מנויים לעיתון מודפס ולעיתון דיגיטלי (שאלה מלאה · בינונית)
מספר המנויים לעיתון מודפס מסוים קטן בכל שנה באחוז קבוע, ומספר המנויים לגרסה הדיגיטלית של העיתון גדל בכל שנה באחוז קבוע. הגרפים I-II שלפניכם…
גדילה: תשלום על חניה באפליקציה (שאלה מלאה · קלה)
בעיר מסוימת אפשר לשלם על חניה בשתי דרכים - באפליקציה בטלפון או במדחן. בשנים 2018-2024 מספר התשלומים באפליקציה גדל באחוז קבוע בכל שנה, ומספר…
גדילה ודעיכה: מיינות ודרורים (שאלה מלאה · בינונית)
באזור מסוים מספר המיינות (מין ציפור פולש) גדל בכל שנה באחוז קבוע, ומספר הדרורים קטן בכל שנה באחוז קבוע. הגרפים I-II שלפניכם מתארים את מספר…
גדילה ודעיכה: שעון ואופנוע (שאלה מלאה · קלה)
המחיר של שעון יוקרה גדל בכל שנה באחוז קבוע, והמחיר של אופנוע קטן בכל שנה באחוז קבוע. הגרפים I-II שלפניכם מתארים את המחיר של כל אחד מהם, לפי…
גדילה: השאלת ספרים בעמדה עצמית (שאלה מלאה · בינונית)
בספרייה עירונית אפשר לשאול ספרים בשתי דרכים - בעמדת השאלה עצמית או אצל הספרנים. נמצא כי בשנים 2015-2022 מספר הספרים שהושאלו בעמדת ההשאלה…
התאמת גרף או טבלה לתהליך מעריכי ולתהליך ליניארי (שאלה קצרה · קלה)
בשמורת טבע עקבו אחרי שתי אוכלוסיות במשך 8 שנים: מספר הצבאים גדל בכל שנה באחוז קבוע, ומספר העופות מזן מסוים קטן בכל שנה באחוז קבוע. הגרפים…
גדילה ודעיכה: יצירת אמנות וסירת מנוע (שאלה מלאה · בינונית)
הערך של יצירת אמנות גדל בכל שנה באחוז קבוע, והערך של סירת מנוע קטן בכל שנה באחוז קבוע. הגרפים I-II שלפניכם מתארים את הערך של כל אחד מן…
גדילה מעריכית מול גודל קבוע: משתמשים באפליקציות (שאלה מלאה · קלה)
מספר המשתמשים באפליקציה א' גדל בצורה מעריכית. מספר המשתמשים באפליקציה ב' נשאר קבוע. לפניכם שני גרפים (גרף 1 וגרף 2) המתארים את מספר המשתמשים…
גדילה ודעיכה: מחירי מגרשים (שאלה מלאה · בינונית)
מחיר המגרש של רונית עולה ב- $4\%$ בכל שנה. בתחילת שנת 2018 היה מחיר המגרש של רונית 750,000 שקלים.
דעיכה מעריכית: מחירם של שני מחשבים (שאלה מלאה · קלה)
שני מחשבים, מחשב א' ומחשב ב', נקנו באותו היום. המחיר של מחשב א' ביום הקנייה היה נמוך מהמחיר של מחשב ב'. הגרפים שלפניכם מתארים את המחירים של…
התאמת גרף או טבלה לתהליך מעריכי ולתהליך ליניארי (שאלה קצרה · בינונית)
ליאת הפקידה בחיסכון 20,000 שקלים, והסכום בחיסכון גדל ב- $6\%$ בכל שנה. באותו יום קנה נועם אופנוע ב-30,000 שקלים, וערך האופנוע יורד ב- $10\%$ …
התאמת שלושה גרפים לגדילה, לדעיכה ולמספר קבוע (שאלה קצרה · קלה)
שלושה חברים פתחו בתחילת השנה חשבונות ברשת חברתית. לרוני היו בתחילת השנה 800 עוקבים, ומספר העוקבים שלו קטן בכל חודש ב-10%. לדנה היו בתחילת…
גדילה ודעיכה: ערך של ציור וערך של טרקטור (שאלה מלאה · בינונית)
ערך הציור שבגלריה של מאיה עולה ב- $6\%$ בכל שנה. בתחילת שנת 2017 היה ערך הציור 200,000 שקלים.
גדילה ודעיכה: קירור וחימום של שני חומרים - קריאה מגרף (שאלה מלאה · בינונית)
במעבדה מסוימת התבצע ניסוי על שני חומרים: חומר א' וחומר ב'. את חומר א' קיררו כך שבכל דקה הטמפרטורה ירדה באופן מעריכי. את חומר ב' חיממו כך…
גדילה ודעיכה: שתי תרביות חיידקים - קריאה מגרף (שאלה מלאה · בינונית)
במעבדה גידלו שתי תרביות חיידקים: תרבית א' ותרבית ב'. לתרבית א' הוסיפו אנטיביוטיקה, ומספר החיידקים בה קטן באופן מעריכי בכל שעה. תרבית ב' גדלה…
גדילה מעריכית מול גודל קבוע: התפחת בצק (שאלה מלאה · בינונית)
להכנת עוגות משתמשים בשני סוגים של בצקים: בצק שמרים ובצק פריך. בצק השמרים עובר תהליך התפחה והנפח שלו גדל בצורה מעריכית. הנפח של הבצק הפריך…
גדילה מעריכית מול גודל קבוע: חיידקים בשתי צלחות (שאלה מלאה · בינונית)
במעבדה מגדלים חיידקים בשתי צלחות. בצלחת א' מוסיפים חומר מעכב, ומספר החיידקים בה אינו משתנה ונשאר קבוע. בצלחת ב' מספר החיידקים גדל בצורה…
דעיכה מעריכית: ירידת מחירם של שתי מכוניות - קריאה מגרף (שאלה מלאה · בינונית)
שתי מכוניות, מכונית א' ומכונית ב', נקנו באותו היום. המחיר של מכונית א' ביום הקנייה היה נמוך מהמחיר של מכונית ב' ביום הקנייה. הגרפים שלפניך…
דעיכה מעריכית: ערך של שתי מכונות - קריאה מגרף (שאלה מלאה · בינונית)
שתי מכונות, מכונה א' ומכונה ב', נקנו לבית דפוס באותו היום. המחיר של מכונה א' ביום הקנייה היה גבוה מהמחיר של מכונה ב'. הגרפים שלפניכם מתארים…
בחירת סרטוט מתאים לגדילה ולדעיכה עם נקודות התחלה שונות (שאלה קצרה · בינונית)
מחיר המגרש של רונית עולה ב- $4\%$ בכל שנה. בתחילת שנת 2018 היה מחיר המגרש של רונית 750,000 שקלים. מחיר המגרש של אמיר יורד בכל שנה באחוז קבוע.…
גרף של דעיכה וגרף של גדילה: זיהוי, חישוב, אחוז הגדילה ושנה מבוקשת (שאלת ביניים · בינונית)
מספר המנויים לעיתון מודפס מסוים קטן בכל שנה באחוז קבוע, ומספר המנויים לגרסה הדיגיטלית של העיתון גדל בכל שנה באחוז קבוע. הגרפים I-II שלפניכם…

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

גדילה ודעיכה: ריקון בריכת מבוגרים ומילוי בריכת ילדים · בגרות 371 חורף 2022, שאלה 1
בקיבוץ יש שתי בריכות שחייה: בריכת מבוגרים ובריכת ילדים. ביום מסוים החליטו לרוקן את בריכת המבוגרים ולמלא את בריכת הילדים. לפניך גרף 1 וגרף 2: כל אחד מהם מתאר את…
גדילה ודעיכה: ארנבים בשתי שמורות טבע · בגרות 371 חורף 2022 מועד נבצרים, שאלה 1
בשמורת טבע א' היו בתחילת השנה 512 ארנבים. בכל חודש גדלה אוכלוסיית הארנבים בשמורה זו ב-25%. בשמורת טבע ב' היו בתחילת השנה 1,953 ארנבים. בגלל מחלה שפגעה בארנבים,…
גדילה מעריכית: שני סוגי בצק שנפחם משתווה · בגרות 371 קיץ 2023 מועד א', שאלה 1
במאפיית "הלחמניה" אופים חלות ועוגות. לשם כך מכינים שני סוגי בצק: בצק לחלות, ובצק לעוגות. הנפח של שני סוגי הבצק גדל בצורה מעריכית. תהליך התפיחה של שני סוגי הבצק…
גדילה ודעיכה: מכוניות חשמליות ומכוניות בנזין · בגרות 371 קיץ 2025 מועד א', שאלה 1
במדינה מסוימת מספר המכוניות החשמליות גדל בכל שנה באחוז קבוע, ומספר מכוניות הבנזין קטן בכל שנה באחוז קבוע. הגרפים I-II שלפניכם מתארים את מספר המכוניות החשמליות…
גדילה: בדיקת דרכונים בעמדה ממוחשבת · בגרות 371 קיץ 2025 מועד ב', שאלה 1
בנמל תעופה יש שתי אפשרויות לבדוק את הדרכונים של הנוסעים - באמצעות עמדה ממוחשבת או באמצעות עובדי הביטחון. נמצא כי בשנים 2010-2016 מספר הנוסעים שדרכונם נבדק…
גדילה ודעיכה: מכונית אספנות ומכונית משפחתית · בגרות 371 חורף 2025, שאלה 5
המחיר של מכונית אספנות גדל בכל שנה באחוז קבוע, והמחיר של מכונית משפחתית קטן בכל שנה באחוז קבוע. הגרפים I-II שלפניכם מתארים את המחיר של כל אחת מן המכוניות, לפי…
גדילה ודעיכה: מחירי דירות · בגרות 371 חורף 2026, שאלה 5
מחיר הדירה של יותם עולה ב- $5\%$ בכל שנה. בתחילת שנת 2017 היה מחיר הדירה של יותם 600,000 שקלים.

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (3)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

ייצוג גרפי של תהליך גדילה או דעיכה (שאלה קצרה · קלה)
בשמורה א' חיו בתחילת המחקר 5,000 ציפורים, ומספרן גדל ב-3% בכל שנה. בשמורה ב' חיו בתחילת המחקר 800 ציפורים,…
ייצוג גרפי של תהליך גדילה או דעיכה (שאלה קצרה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם הגרפים I, II ו-III של שלוש הפונקציות: $A(t)=300\cdot(0.85)^t$ , $B(t)=60\cdot(1.25)^t$ ,…
ייצוג גרפי של תהליך גדילה או דעיכה (שאלה קצרה · קלה)
הפונקציה $f(t)=4\cdot(0.9)^t$ והפונקציה $g(t)=6\cdot(0.8)^t$ מתארות את הכמות (בגרמים) של שני חומרים…