שאלות פתוחות: נקודות חיתוך של ישר עם הצירים ושל שני ישרים - כיתה י"א 5 יח"ל

בדף הזה 14 שאלות פתוחות במתמטיקה על נקודות חיתוך של ישר עם הצירים ושל שני ישרים, לתלמידי כיתה י"א 5 יח"ל, מתוך הנושא "הקו הישר (חומר קודם)". השאלות בכמה רמות (קלה, בינונית, קשה), משאלות קצרות לתרגול מיומנות אחת ועד שאלות עם כמה סעיפים. מורים יכולים לבחור מהן שאלות, לבנות מבחן או דף עבודה, להוסיף פתרונות ולהוריד ל-Word.

14 שאלותקלה: 6בינונית: 6קשה: 2

שאלה 1 · היפרבולה עם פרמטר: משיק ומשולש מינימלי עם הציריםשאלה מלאה · קלה

בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה f(x)=ax+2f(x)=\frac ax+2f(x)=xa​+2, המוגדרת בתחום x≠0x\ne0x=0. aaa הוא פרמטר חיובי.

א.

מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של f(x)f(x)f(x).

ב.

הנקודה CCC נמצאת על גרף f(x)f(x)f(x), ושיעור ה-xxx שלה הוא 1.

הראו כי משוואת המשיק לגרף f(x)f(x)f(x) בנקודה CCC היא y=−ax+2a+2y=-ax+2a+2y=−ax+2a+2.

ג.

המשיק חותך את ציר ה-xxx בנקודה AAA ואת ציר ה-yyy בנקודה BBB. OOO היא ראשית הצירים.

מצאו את שיעורי AAA ו-BBB, והראו כי שטח המשולש AOBAOBAOB הוא S=2(a+1)2aS=\frac{2(a+1)^2}{a}S=a2(a+1)2​.

ד.

מצאו את הערך של aaa שבעבורו שטח המשולש AOBAOBAOB מינימלי, ואת השטח המינימלי.

שאלה 2 · פונקציה רציונלית עם פרמטר: משיק ושטח מינימלי של משולששאלה מלאה · בינונית

בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה f(x)=ax+1+4f(x)=\frac{a}{x+1}+4f(x)=x+1a​+4. הפונקציה f(x)f(x)f(x) מוגדרת בתחום x≠−1x\ne-1x=−1. aaa הוא פרמטר חיובי.

א.

מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקציה f(x)f(x)f(x).

ב.

הנקודה CCC נמצאת על גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x), ושיעור ה-xxx שלה הוא 1. דרך הנקודה CCC העבירו משיק לגרף הפונקציה f(x)f(x)f(x).

הביעו באמצעות aaa את משוואת המשיק.

ג.

המשיק חותך את ציר ה-xxx בנקודה AAA ואת הישר x=−1x=-1x=−1 בנקודה BBB. DDD היא נקודה ששיעוריה הם (−1,0)(-1,0)(−1,0).

הביעו באמצעות aaa את שטח המשולש ADBADBADB.

ד.

מצאו את הערך של aaa שבעבורו שטח המשולש ADBADBADB הוא מינימלי.

שאלה 3 · נקודות החיתוך עם הצירים של ישר התלוי בפרמטר, ושטח המשולש עם הציריםשאלה קצרה · קשה

נתון הישר y=−ax+2a+2y=-ax+2a+2y=−ax+2a+2, כאשר aaa הוא פרמטר חיובי.

הישר חותך את ציר ה-xxx בנקודה AAA ואת ציר ה-yyy בנקודה BBB. OOO היא ראשית הצירים.
מצאו את שיעורי AAA ו-BBB, והראו כי שטח המשולש AOBAOBAOB הוא S=2(a+1)2aS=\frac{2(a+1)^2}{a}S=a2(a+1)2​.

שאלה 4 · חיתוך ישר עם ציר ה-x ועם ישר המקביל לציר ה-xשאלה קצרה · קלה

הישר y=2x−6y=2x-6y=2x−6 חותך את ציר ה-xxx בנקודה AAA ואת הישר y=8y=8y=8 בנקודה BBB.

מצאו את שיעורי הנקודות AAA ו-BBB.

שאלה 5 · פונקציה רציונלית עם חזקה שלישית במכנה: משיק ושטח מינימלי של משולששאלה מלאה · בינונית

בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה f(x)=a(x−2)3+2f(x)=\frac{a}{(x-2)^3}+2f(x)=(x−2)3a​+2. הפונקציה f(x)f(x)f(x) מוגדרת בתחום x≠2x\ne2x=2. aaa הוא פרמטר חיובי.

א.

מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקציה f(x)f(x)f(x).

ב.

הנקודה CCC נמצאת על גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x), ושיעור ה-xxx שלה הוא 3. דרך הנקודה CCC העבירו משיק לגרף הפונקציה f(x)f(x)f(x).

הביעו באמצעות aaa את משוואת המשיק.

ג.

המשיק חותך את ציר ה-xxx בנקודה AAA ואת הישר x=2x=2x=2 בנקודה BBB. DDD היא נקודה ששיעוריה הם (2,0)(2,0)(2,0).

הביעו באמצעות aaa את שטח המשולש ADBADBADB.

ד.

מצאו את הערך של aaa שבעבורו שטח המשולש ADBADBADB הוא מינימלי.

שאלה 6 · משולש בין שני ישרים לבין ישר אופקי: מציאת הישר לפי השטחשאלת ביניים · קשה

נתונים הישרים ℓ1: y=2x−2\ell_1:\ y=2x-2ℓ1​: y=2x−2 ו-ℓ2: y=−x+10\ell_2:\ y=-x+10ℓ2​: y=−x+10. הישרים נחתכים בנקודה AAA.
הישר y=ky=ky=k נמצא מתחת לנקודה AAA. הוא חותך את הישר ℓ1\ell_1ℓ1​ בנקודה BBB ואת הישר ℓ2\ell_2ℓ2​ בנקודה CCC.

א.

מצאו את שיעורי הנקודה AAA.

ב.

הביעו באמצעות kkk את שיעורי הנקודות BBB ו-CCC ואת אורך הקטע BCBCBC.

ג.

נתון כי שטח המשולש ABCABCABC הוא 12 יח"ר. מצאו את kkk.

שאלה 7 · חיתוך מודרך: ישר עם הצירים, ושני ישרים זה עם זהשאלה קצרה · קלה

שני הסעיפים שלפניכם אינם תלויים זה בזה.

א.

מצאו את נקודות החיתוך של הישר 3x−2y=123x-2y=123x−2y=12 עם הצירים. (הדרכה: על ציר ה-xxx מתקיים y=0y=0y=0, ועל ציר ה-yyy מתקיים x=0x=0x=0.)

ב.

מצאו את נקודת החיתוך של הישרים y=x+1y=x+1y=x+1 ו-y=−2x+7y=-2x+7y=−2x+7. (הדרכה: השוו בין שני הביטויים של yyy.)

שאלה 8 · נקודות החיתוך של ישר עם הצירים ונקודת החיתוך של שני ישריםשאלה קצרה · בינונית

שני הסעיפים שלפניכם אינם תלויים זה בזה.

א.

ישר עובר דרך הנקודות (−2,9)(-2,9)(−2,9) ו-(6,−3)(6,-3)(6,−3). מצאו את נקודות החיתוך של הישר עם הצירים.

ב.

מצאו את נקודת החיתוך של הישרים 2x+3y=72x+3y=72x+3y=7 ו-5x−2y=85x-2y=85x−2y=8.

שאלה 9 · מרובע שנוצר משני ישרים ומהציריםשאלת ביניים · בינונית

הישר ℓ1: y=−32x+12\ell_1:\ y=-\frac32x+12ℓ1​: y=−23​x+12 חותך את ציר ה-xxx בנקודה AAA, והישר ℓ2: y=34x+3\ell_2:\ y=\frac34x+3ℓ2​: y=43​x+3 חותך את ציר ה-yyy בנקודה CCC. הישרים ℓ1\ell_1ℓ1​ ו-ℓ2\ell_2ℓ2​ נחתכים בנקודה BBB. OOO היא ראשית הצירים (ראו סרטוט).
OABC

א.

מצאו את שיעורי הנקודות AAA ו-CCC.

ב.

מצאו את שיעורי הנקודה BBB.

ג.

חשבו את שטח המרובע OABCOABCOABC.

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

פונקציה רציונלית עם פרמטר: משיק ושטח מינימלי של משולש · בגרות 571 קיץ 2025 מועד א', שאלה 8
בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה $f(x)=\frac{a}{(x-1)^2}+6$ . הפונקציה $f(x)$ מוגדרת בתחום $x\ne1$ . $a$ הוא פרמטר חיובי.

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (4)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

טרפז ישר זווית עם שיפוע כפרמטר (שאלה מלאה · קלה)
המרובע $ABCO$ הוא טרפז ישר זווית ( $\angle C=90^\circ$ , $AB\parallel OC$ ). משוואת הצלע $AB$ היא $y=-mx+6$ …
דמיון משולשים במעגל ובמערכת צירים (שאלה קצרה · קלה)
הישר $y=-2x+6$ חותך את ציר ה- $x$ בנקודה $A$ ואת ציר ה- $y$ בנקודה $D$ . הנקודה $C$ נמצאת על הישר ברביע השני.…
משולש ישר זווית במערכת צירים: דמיון, שיעורי נקודות וזוויות (שאלה מלאה · בינונית)
במשולש ישר זווית $ABC$ ( $\angle ABC=90^\circ$ ) הקודקוד $B$ מונח על ציר ה- $x$ והקודקוד $A$ מונח על ציר ה- $y$ .…
משולש ישר זווית ואנך לציר ה-y: דמיון, שיעורי נקודות וזוויות (שאלה מלאה · קלה)
במשולש ישר זווית $ABC$ ( $\angle BAC=90^\circ$ ) הקודקוד $A$ מונח על ציר ה- $y$ והקודקוד $B$ מונח על ציר ה- $x$ .…