מבחן לדוגמה: וקטורים: פעולות יסוד - כיתה י"ב 5 יח"ל

הוכיחו כי $ABCD$ הוא מקבילית.

קבעו איזה סוג מרובע הוא $ABCD$ (הסוג המדויק ביותר שאפשר להסיק מהנתונים). נמקו.

הוכיחו כי $A$ היא אמצע הקטע $ED$, ומצאו את אורך הקטע $ED$.

הוכיחו כי $\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}$ וכי $\overrightarrow{EB}=\overrightarrow{AC}$, ומצאו את האורכים $|\overrightarrow{DC}|$ ו-$|\overrightarrow{EB}|$.

הוכיחו כי המרובע $EBCD$ הוא טרפז שווה שוקיים, וחשבו את היקפו ואת שטחו.

הביעו את $\overrightarrow{BD'}$ ואת $\overrightarrow{FE}$ באמצעות $\underline u$, $\underline v$, $\underline w$ ו-$t$.

מצאו את $t$ שעבורו $FE$ מאונך לאלכסון $BD'$.

מצאו את המרחק של הנקודה $E$ מהאלכסון $BD'$.

הנקודה $C$ היא ראשית הצירים. $B$ נמצאת על החלק החיובי של ציר ה-$x$, $D$ על החלק החיובי של ציר ה-$y$, ו-$C'$ על החלק החיובי של ציר ה-$z$. מכאן והלאה $t$ הוא פרמטר כלשהו, $0<t<1$.

הביעו באמצעות $\underline u$, $\underline v$ ו-$\underline w$ את הווקטורים $\overrightarrow{AE}$, $\overrightarrow{AN}$ ו-$\overrightarrow{EN}$.

חשבו את אורך הקטע EN.

ממקמים את הפירמידה במערכת צירים כך ש-$A(0,0,0)$, $B(0,6,0)$. הקודקוד D נמצא על החלק החיובי של ציר ה-$x$, והקודקוד S נמצא על החלק החיובי של ציר ה-$z$.

מצאו את שיעורי הנקודות E ו-N.

הראו כי משוואת המישור ENB היא $2x+y-6=0$.

חשבו את המרחק של הקודקוד S ואת המרחק של הקודקוד C מהמישור ENB, וקבעו איזו מבין הפירמידות SENB ו-CENB גדולה יותר בנפחה, ופי כמה.

הסבירו מדוע $DC\parallel AB$ ומדוע $DC\ne AB$, והביעו את $\overrightarrow{BC}$ באמצעות $\underline{u}$ ו-$\underline{v}$.

הביעו את $\overrightarrow{MN}$ באמצעות $\underline{u}$ ו-$\underline{v}$, והסיקו כי $MN\parallel AB$. מצאו את היחס $MN:AB$.

נתון: $AB=12$ ס"מ. חשבו את אורכי הקטעים $DC$ ו-$MN$, והראו כי $MN=\frac{AB+DC}{2}$.

הביעו את $\vec{x}$ ואת $\vec{y}$ באמצעות $\vec{u}$ ו-$\vec{v}$.

הוכיחו כי $\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{BA}$, וכי אם $ABCD$ מקבילית אז $\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OC}$.

הסיקו כי אם $ABCD$ מקבילית, אז $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}$. ציינו באילו חוקים השתמשתם.

נתון: $\overrightarrow{OA}=\underline{a}$, $\overrightarrow{OB}=\underline{b}$, $\overrightarrow{OC}=\underline{c}$, והנקודות $A$, $B$, $C$ אינן על ישר אחד. הנקודה $D$ נבחרה כך ש-$ABCD$ מקבילית. היעזרו בסעיף ב והביעו את $\overrightarrow{OD}$ באמצעות $\underline{a}$, $\underline{b}$ ו-$\underline{c}$, ובדקו כי $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$.

לאיזה כיוון יש להפנות את הסירה כדי לחצות את הנהר בזמן הקצר ביותר? מצאו זמן זה, ואת המרחק שהסירה נסחפת במורד הזרם במהלך החצייה.

כמה זמן תימשך החצייה אם הסירה חייבת להגיע בדיוק לנקודה שמול נקודת היציאה?