דילוג לתוכן המרכזי
GuyAI

שאלות פתוחות: חיסור וקטורים והווקטור הנגדי - כיתה י"ב 5 יח"ל

שאלות פתוחות על חיסור וקטורים והווקטור הנגדי לכיתה י"ב, 5 יחידות. יש כאן הבעת אלכסונים של מקבילית ושל משושה משוכלל כהפרש של שני וקטורים, שאלות על אורכי סכום והפרש של וקטורים כשנתונים אורכים בלבד, והוכחה כללית עם נקודה כלשהי במישור או במרחב. חלק מהשאלות עוסקות בפירמידה משולשת או בפירמידה שבסיסה ריבוע ומקצוע צדדי שהוא גובה. השאלות מחולקות לרמה קלה, בינונית וקשה. מתאים לבוחן קצר או לדף תרגול בכיתה; לכל שאלה פתרון מלא, ואת הבחירה אפשר לייצא לוורד.

25 שאלותקלה: 11בינונית: 11קשה: 3

שאלה 1 · חיסור וקטורים והווקטור הנגדישאלה קצרה · קלה

ABCDEFABCDEF הוא משושה משוכלל (ראו שרטוט). נסמן AB→=u→\overrightarrow{AB}=\vec{u} ו-AF→=v→\overrightarrow{AF}=\vec{v}.

uvABCDEF
א.

הביעו באמצעות u→\vec{u} ו-v→\vec{v} את הווקטורים DB→\overrightarrow{DB} ו-DF→\overrightarrow{DF}.

ב.

מצאו את הווקטור DF→−DB→\overrightarrow{DF}-\overrightarrow{DB}, והראו כי הוא שווה לווקטור BF→\overrightarrow{BF}.

שאלה 2 · חיסור וקטורים והווקטור הנגדישאלה קצרה · בינונית

במקבילית ABCDABCD נתון: AB=5AB=5, AD=8AD=8, והאלכסון BD=7BD=7. נסמן AB→=u→\overrightarrow{AB}=\vec{u} ו-AD→=v→\overrightarrow{AD}=\vec{v}.

א.

מצאו את הזווית בין הווקטורים u→\vec{u} ו-v→\vec{v}.

ב.

מצאו את אורך האלכסון ACAC.

שאלה 3 · נקודות המקיימות שוויון של הפרש וקטורים במקביליתשאלה קצרה · קשה

ABCDABCD היא מקבילית, ו-PP היא נקודה כלשהי (במישור או במרחב).

קבעו לכל אחד מהשוויונות אילו נקודות PP מקיימות אותו. נמקו.

(1) PA→−PB→=CD→\overrightarrow{PA}-\overrightarrow{PB}=\overrightarrow{CD}

(2) PA→−PB→=DC→\overrightarrow{PA}-\overrightarrow{PB}=\overrightarrow{DC}

שאלה 4 · וקטורים בפירמידה: אורך וקטור, מישור ויחס נפחים (בלי פרמטר)שאלה מלאה · קלה

בסרטוט שלפניכם פירמידה SABCD שבסיסה ABCD הוא ריבוע שאורך צלעו 6. המקצוע AS הוא גובה בפירמידה, ו-AS=6AS=6. הנקודה E היא אמצע המקצוע SD. הנקודה N נמצאת על המקצוע SC כך ש-SN→=13SC→\overrightarrow{SN}=\frac13\overrightarrow{SC}. נסמן: AS→=w‾\overrightarrow{AS}=\underline w, AB→=v‾\overrightarrow{AB}=\underline v, AD→=u‾\overrightarrow{AD}=\underline u.

ABCDSEN
א.

הביעו באמצעות u‾\underline u, v‾\underline v ו-w‾\underline w את הווקטורים AE→\overrightarrow{AE}, AN→\overrightarrow{AN} ו-EN→\overrightarrow{EN}.

ב.

חשבו את אורך הקטע EN.

ג.

ממקמים את הפירמידה במערכת צירים כך ש-A(0,0,0)A(0,0,0), B(0,6,0)B(0,6,0). הקודקוד D נמצא על החלק החיובי של ציר ה-xx, והקודקוד S נמצא על החלק החיובי של ציר ה-zz.

מצאו את שיעורי הנקודות E ו-N.

ד.

הראו כי משוואת המישור ENB היא 2x+y−6=02x+y-6=0.

ה.

חשבו את המרחק של הקודקוד S ואת המרחק של הקודקוד C מהמישור ENB, וקבעו איזו מבין הפירמידות SENB ו-CENB גדולה יותר בנפחה, ופי כמה.

שאלה 5 · חיסור וקטורים והווקטור הנגדישאלה קצרה · בינונית

הווקטורים u→\vec{u} ו-v→\vec{v} מקיימים: ∣u→∣=5|\vec{u}|=5, ∣u→+v→∣=8|\vec{u}+\vec{v}|=8 ו-∣u→−v→∣=6|\vec{u}-\vec{v}|=6.

א.

מצאו את ∣v→∣|\vec{v}|.

ב.

מצאו את הזווית בין u→\vec{u} ל-v→\vec{v} (דיוק של מאית המעלה).

שאלה 6 · מקצועות הבסיס של פירמידה משולשת כהפרשי וקטורים מהקודקודשאלת ביניים · קשה

נתונה פירמידה SABCSABC (ראו סרטוט). אורך כל אחד מהמקצועות הצדדיים SASA, SBSB ו-SCSC הוא 44, ונתון: ∠ASB=90∘\angle ASB=90^\circ, ∠BSC=60∘\angle BSC=60^\circ, ∠ASC=120∘\angle ASC=120^\circ. נסמן: SA→=u‾\overrightarrow{SA}=\underline{u}, SB→=v‾\overrightarrow{SB}=\underline{v}, SC→=w‾\overrightarrow{SC}=\underline{w}.

ABCS
א.

הביעו באמצעות u‾\underline{u}, v‾\underline{v} ו-w‾\underline{w} את הווקטורים AB→\overrightarrow{AB}, BC→\overrightarrow{BC} ו-CA→\overrightarrow{CA}.

ב.

חשבו את ∣v‾−u‾∣|\underline{v}-\underline{u}|, ∣w‾−v‾∣|\underline{w}-\underline{v}| ו-∣u‾−w‾∣|\underline{u}-\underline{w}|.

ג.

הוכיחו כי המשולש ABCABC ישר זווית, וחשבו את שטחו.

שאלה 7 · מקצועות צדדיים של פירמידה כהפרשי וקטוריםשאלה קצרה · קלה

בסרטוט שלפניכם פירמידה משולשת SABC.

ABCS

נסמן: AB→=u‾\overrightarrow{AB}=\underline{u}, AC→=v‾\overrightarrow{AC}=\underline{v}, AS→=w‾\overrightarrow{AS}=\underline{w}.

הביעו באמצעות u‾\underline{u}, v‾\underline{v} ו-w‾\underline{w} את הווקטורים SB→\overrightarrow{SB} ו-SC→\overrightarrow{SC}.

שאלה 8 · וקטורים בפירמידה: פרמטר על מקצוע, מישור ויחס נפחיםשאלה מלאה · בינונית

בסרטוט שלפניכם פירמידה SABCD שבסיסה ABCD הוא ריבוע. המקצוע AS הוא גובה בפירמידה. אורך המקצוע AS שווה לאורך צלע הריבוע ABCD. הנקודה E נמצאת על המקצוע SD כך ש-SE=35⋅SDSE=\frac35\cdot SD. הנקודה N מקיימת: SN→=k⋅SC→\overrightarrow{SN}=k\cdot\overrightarrow{SC}. kk הוא פרמטר. נסמן: AS→=w‾\overrightarrow{AS}=\underline w, AB→=v‾\overrightarrow{AB}=\underline v, AD→=u‾\overrightarrow{AD}=\underline u.

ABCDSE
א.

הביעו באמצעות u‾\underline u, v‾\underline v, w‾\underline w ו-kk את הווקטור EN→\overrightarrow{EN}.

ב.

נתון: ∣EN→∣=65⋅∣w‾∣|\overrightarrow{EN}|=\frac{\sqrt6}{5}\cdot|\underline w|.

מצאו את הערך של kk.

הציבו k=25k=\frac25, וענו על הסעיפים ג-ד. ממקמים את הפירמידה במערכת צירים כך ש-A(0,0,0)A(0,0,0), B(0,10,0)B(0,10,0). הקודקוד D נמצא על החלק החיובי של ציר ה-xx, והקודקוד S נמצא על החלק החיובי של ציר ה-zz.

ג.
(1)

מצאו את שיעורי הנקודות N ו-E.

(2)

מצאו את משוואת המישור ENB.

ד.

האם נפח הפירמידה SENB גדול מנפח הפירמידה CENB, קטן ממנו או שווה לו? נמקו את תשובתכם.

שאלה 9 · וקטורים בתיבה: פרמטר על אלכסון, מישור ויחס נפחיםשאלה מלאה · בינונית

בסרטוט שלפניכם תיבה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D' שבסיסה ABCDABCD הוא ריבוע. אורך המקצוע AA′AA' גדול פי 2 מאורך צלע הריבוע. הנקודה EE נמצאת על המקצוע BB′BB' כך ש-BE=14⋅BB′BE=\frac14\cdot BB'. הנקודה NN מקיימת: AN→=k⋅AC′→\overrightarrow{AN}=k\cdot\vec{AC'}. kk הוא פרמטר. נסמן: AB→=u‾\overrightarrow{AB}=\underline u, AD→=v‾\overrightarrow{AD}=\underline v, AA′→=w‾\vec{AA'}=\underline w.

ABCDA'B'C'D'E
א.

הביעו באמצעות u‾\underline u, v‾\underline v, w‾\underline w ו-kk את הווקטור EN→\overrightarrow{EN}.

ב.

נתון: ∣EN→∣=216⋅∣u‾∣|\overrightarrow{EN}|=\frac{\sqrt{21}}{6}\cdot|\underline u|.

מצאו את הערך של kk.

הציבו k=13k=\frac13, וענו על הסעיפים ג-ד. ממקמים את התיבה במערכת צירים כך ש-A(0,0,0)A(0,0,0), B(6,0,0)B(6,0,0). הקודקוד DD נמצא על החלק החיובי של ציר ה-yy, והקודקוד A′A' נמצא על החלק החיובי של ציר ה-zz.

ג.
(1)

מצאו את שיעורי הנקודות NN ו-EE.

(2)

מצאו את משוואת המישור ENDEND.

ד.

האם נפח הפירמידה AENDAEND גדול מנפח הפירמידה C′ENDC'END, קטן ממנו או שווה לו? נמקו את תשובתכם.

שאלה 10 · ניצבות של שני וקטורים מתוך שוויון אורכי הסכום וההפרששאלה קצרה · בינונית

הווקטורים u→\vec{u} ו-v→\vec{v} יוצאים מאותה נקודה ואינם קולינאריים. נתון: ∣u→+v→∣=∣u→−v→∣|\vec{u}+\vec{v}|=|\vec{u}-\vec{v}|.

הראו כי u→⊥v→\vec{u}\perp\vec{v}.

עוד 1 שאלות על חיסור וקטורים והווקטור הנגדי

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

  1. זווית ואלכסון במקבילית מתוך הפרש וסכום של וקטורים (שאלת ביניים · בינונית)

    במקבילית ABCDABCD נתון: AB=3AB=3, AD=8AD=8, ואורך האלכסון BDBD הוא 77. נסמן: AB→=u‾\overrightarrow{AB}=\underline{u}, AD→=v‾\overrightarrow{AD}=\underline{v} (ראו סרטוט).

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (13)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

כל האתר במבט אחד

קיצורי דרך לכל הכלים, הבגרויות והקורסים

GuyAI הוא המורה הפרטי המתקדם בישראל, המבוסס על מודלי הבינה המלאכותית החזקים בעולם בשילוב הידע הפדגוגי של GOOL. המערכת מספקת פתרונות לכל המקצועות ולכל הרמות - מיסודי ועד אקדמיה, וממתמטיקה ועד היסטוריה.