דילוג לתוכן המרכזי
GuyAI

שאלות פתוחות: חיבור וקטורים: כלל המשולש וכלל המקבילית - כיתה י"ב 5 יח"ל

שאלות פתוחות על חיבור וקטורים בכלל המשולש ובכלל המקבילית לכיתה י"ב, 5 יחידות. רוב השאלות בנויות על גופים במרחב: תיבה עם אורכי מקצועות נתונים, קובייה, פירמידה שבסיסה מקבילית, וגם משושה משוכלל במישור. התלמידים מבטאים וקטורים בין קודקודים ונקודות על המקצועות כסכום של שלושה וקטורי בסיס, ובחלק מהשאלות גם מחשבים אורכים. הרמות נעות מקלה דרך בינונית ועד קשה. המורה יכול לסמן כמה שאלות ולהרכיב מהן מבחן או דף עבודה, כולל פתרונות מלאים וייצוא לוורד.

30 שאלותקלה: 8בינונית: 15קשה: 7

שאלה 1 · וקטורים בתיבה: מנקודה על אלכסון לאנך למישורשאלה מלאה · קלה

נתונה תיבה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D' שהבסיס שלה, ABCDABCD, הוא מלבן (ראו סרטוט). אורכי המקצועות: AB=12AB=12, AD=6AD=6, AA′=9AA'=9. הנקודה EE נמצאת על המקצוע DD′DD' כך ש-DE:ED′=1:2DE:ED'=1:2, הנקודה FF נמצאת על האלכסון BD′BD' ומתקיים: BF→=t⋅BD′→\overrightarrow{BF}=t\cdot\overrightarrow{BD'}, 0<t<10<t<1. נסמן: AB→=u‾\overrightarrow{AB}=\underline u, AD→=v‾\overrightarrow{AD}=\underline v, AA′→=w‾\overrightarrow{AA'}=\underline w.

ABCDA'B'C'D'EF
א.

הביעו את הווקטורים BD′→\overrightarrow{BD'} ו-DE→\overrightarrow{DE} באמצעות u‾\underline u, v‾\underline v, w‾\underline w.

ב.

הראו כי FE→=(t−1)u‾+(1−t)v‾+(13−t)w‾\overrightarrow{FE}=(t-1)\underline u+(1-t)\underline v+\left(\frac13-t\right)\underline w.

ג.

נתון כי FEFE מקביל למישור הבסיס ABCDABCD.

מצאו את tt. הסבירו מדוע מקדם w‾\underline w ב-FE→\overrightarrow{FE} חייב להתאפס.

ד.

הנקודה CC היא ראשית הצירים. הנקודה BB נמצאת על ציר ה-xx בכיוון החיובי שלו, הנקודה DD נמצאת על ציר ה-yy בכיוון החיובי שלו, ו-C′C' על ציר ה-zz בכיוון החיובי שלו.

(1)

מצאו את שיעורי הנקודות BB, DD, D′D', EE ו-FF.

(2)

הראו כי משוואת המישור BDEBDE היא 2x+y=122x+y=12, ומצאו את שיעורי הנקודה PP שבה הישר העובר דרך FF ומאונך למישור BDEBDE חותך את הפאה CDD′C′CDD'C'.

שאלה 2 · חיבור וקטורים: כלל המשולש וכלל המקביליתשאלה קצרה · בינונית

ABCDEFABCDEF הוא משושה משוכלל שאורך צלעו 22, ומרכזו OO.

ABCDEFO

חשבו את אורך הווקטור BA→+BC→+BE→\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BE}.

שאלה 3 · וקטורים בתיבה: עקב האנך לאלכסון ואנך שפוגע בפאהשאלה מלאה · קשה

נתונה תיבה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D' שהבסיס שלה, ABCDABCD, הוא מלבן (ראו סרטוט). אורכי המקצועות: AB=8AB=8, AD=6AD=6, AA′=10AA'=10. הנקודה EE היא אמצע המקצוע DD′DD', והנקודה FF נמצאת על האלכסון BD′BD' כך ש-BF→=t⋅BD′→\overrightarrow{BF}=t\cdot\overrightarrow{BD'}, 0<t<10<t<1. נסמן: AB→=u‾\overrightarrow{AB}=\underline u, AD→=v‾\overrightarrow{AD}=\underline v, AA′→=w‾\overrightarrow{AA'}=\underline w.

ABCDA'B'C'D'EF
א.

הביעו את BD′→\overrightarrow{BD'} ואת FE→\overrightarrow{FE} באמצעות u‾\underline u, v‾\underline v, w‾\underline w ו-tt.

ב.

מצאו את tt שעבורו FEFE מאונך לאלכסון BD′BD'.

ג.

מצאו את המרחק של הנקודה EE מהאלכסון BD′BD'.

ד.

הנקודה CC היא ראשית הצירים. BB נמצאת על החלק החיובי של ציר ה-xx, DD על החלק החיובי של ציר ה-yy, ו-C′C' על החלק החיובי של ציר ה-zz. מכאן והלאה tt הוא פרמטר כלשהו, 0<t<10<t<1.

(1)

הסבירו מדוע המישור EFBDEFBD אינו תלוי ב-tt, ומצאו את משוואתו.

(2)

מן הנקודה FF מעבירים ישר המאונך למישור EFBDEFBD. מצאו את כל ערכי tt שעבורם הישר הזה חותך את הפאה CDD′C′CDD'C' (כולל שפת הפאה).

שאלה 4 · וקטורים בתיבה: נקודה במישור ומרחק ממישור (עם אורכים נתונים)שאלה מלאה · קלה

בסרטוט שלפניכם תיבה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D'. נסמן: AB→=u‾\overrightarrow{AB}=\underline u, AD→=v‾\overrightarrow{AD}=\underline v, AA′→=w‾\vec{AA'}=\underline w. הנקודה EE היא אמצע המקצוע DD′DD'.

AA'DD'BB'CC'E
א.

הביעו את EA→\overrightarrow{EA} ו-EC→\overrightarrow{EC} באמצעות u‾\underline u, v‾\underline v ו-w‾\underline w.

ב.

הנקודה MM מקיימת: DM→=49u‾−19v‾+29w‾\overrightarrow{DM}=\frac49\underline u-\frac19\underline v+\frac29\underline w.

הביעו את EM→\overrightarrow{EM} באמצעות u‾\underline u, v‾\underline v ו-w‾\underline w.

ג.
(1)

הראו כי EM→=19EA→+49EC→\overrightarrow{EM}=\frac19\overrightarrow{EA}+\frac49\overrightarrow{EC}.

(2)

האם הנקודה MM נמצאת במישור AECAEC? נמקו את תשובתכם.

ד.

נתון: ∣u‾∣=2|\underline u|=2, ∣v‾∣=4|\underline v|=4, ∣w‾∣=4|\underline w|=4.

הראו כי DM→\overrightarrow{DM} מאונך ל-EA→\overrightarrow{EA} ול-EC→\overrightarrow{EC}, והסיקו כי DM→\overrightarrow{DM} מאונך למישור AECAEC.

ה.

חשבו את המרחק בין הנקודה DD ובין המישור AECAEC.

שאלה 5 · חיבור וקטורים: כלל המשולש וכלל המקביליתשאלה קצרה · בינונית

נתונה קובייה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D' שאורך מקצועה 33. הבסיס הוא ABCDABCD, והקודקודים A′A', B′B', C′C', D′D' נמצאים מעל AA, BB, CC, DD בהתאמה. נסמן: AB→=u‾\overrightarrow{AB}=\underline{u}, AD→=v‾\overrightarrow{AD}=\underline{v}, AA′→=w‾\overrightarrow{AA'}=\underline{w}.

uvwABCDA'B'C'D'

הביעו את הווקטור AC→+AB′→+AD′→\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB'}+\overrightarrow{AD'} באמצעות u‾\underline{u}, v‾\underline{v} ו-w‾\underline{w}, וחשבו את אורכו.

שאלה 6 · וקטורים בתיבה: מציאת עקב האנך, מרחק ושיקוף במישורשאלה מלאה · קשה

בסרטוט שלפניכם תיבה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D'. נסמן: AD→=u‾\overrightarrow{AD}=\underline u, AB→=v‾\overrightarrow{AB}=\underline v, AA′→=w‾\vec{AA'}=\underline w. נתון: ∣u‾∣=1|\underline u|=1, ∣v‾∣=2|\underline v|=2, ∣w‾∣=2|\underline w|=2. הנקודה EE היא אמצע המקצוע BB′BB'. MM היא הנקודה במישור AECAEC שעבורה BM→\overrightarrow{BM} מאונך למישור AECAEC.

AA'DD'BB'CC'E
א.

הביעו את EA→\overrightarrow{EA} ו-EC→\overrightarrow{EC} באמצעות u‾\underline u, v‾\underline v ו-w‾\underline w.

ב.

הביעו את BM→\overrightarrow{BM} באמצעות u‾\underline u, v‾\underline v ו-w‾\underline w.

ג.

חשבו את המרחק בין הנקודה BB ובין המישור AECAEC.

ד.

הנקודה NN היא השיקוף של הנקודה BB ביחס למישור AECAEC. הביעו את AN→\overrightarrow{AN} באמצעות u‾\underline u, v‾\underline v ו-w‾\underline w, וקבעו אם NN נמצאת בתוך התיבה. נמקו.

שאלה 7 · סכומי וקטורים לאורך מסלולים בפירמידה שבסיסה מקביליתשאלה קצרה · קלה

נתונה פירמידה SABCDSABCD שבסיסה ABCDABCD הוא מקבילית (ראו סרטוט).

ABCDS

בכל אחד מהמקרים, מצאו וקטור שנקודת ההתחלה ונקודת הסיום שלו הן קודקודים של הפירמידה, ושווה לסכום:

(1) SA→+AB→+BC→\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}

(2) SC→+BA→\overrightarrow{SC}+\overrightarrow{BA}

(3) AB→+BS→+SD→+DA→\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BS}+\overrightarrow{SD}+\overrightarrow{DA}

שאלה 8 · וקטורים בתיבה: נקודה על אלכסון אחר, הקבלה לבסיס ואנך למישורשאלה מלאה · בינונית

נתונה תיבה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D' שהבסיס שלה, ABCDABCD, הוא מלבן (ראו סרטוט). הנקודה EE נמצאת על המקצוע BB′BB' כך ש-BE:EB′=1:3BE:EB'=1:3, הנקודה FF נמצאת על האלכסון DB′DB' ומתקיים: DF→=t⋅DB′→\overrightarrow{DF}=t\cdot\overrightarrow{DB'}, 0<t<10<t<1 הוא פרמטר. נסמן: AB→=u‾\overrightarrow{AB}=\underline u, AD→=v‾\overrightarrow{AD}=\underline v, AA′→=w‾\overrightarrow{AA'}=\underline w.

ABCDA'B'C'D'EF
א.

הביעו את הווקטורים DB′→\overrightarrow{DB'} ו-FE→\overrightarrow{FE} באמצעות: u‾\underline u, v‾\underline v, w‾\underline w ו-tt, אם יש צורך.

ב.

נתון כי FEFE מקביל למישור הבסיס ABCDABCD.

מצאו את tt.

ג.

הנקודה CC היא ראשית הצירים. הנקודה DD נמצאת על ציר ה-xx בכיוון החיובי שלו, והנקודה BB נמצאת על ציר ה-yy בכיוון החיובי שלו. נתון: F(12,6,3)F(12,6,3).

מצאו את ∣u‾∣|\underline u|, ∣v‾∣|\underline v|, ∣w‾∣|\underline w|.

ד.

מן הנקודה FF העבירו ישר המאונך למישור EFDBEFDB. ישר זה חותך את הפאה CDD′C′CDD'C' בנקודה PP.

מצאו את שיעורי הנקודה PP.

שאלה 9 · הזווית בין שני וקטורים כשאורך סכומם שווה לאורך כל אחד מהםשאלה קצרה · קשה

u‾\underline{u} ו-v‾\underline{v} הם וקטורים שונים מווקטור האפס, ונתון: ∣u‾∣=∣v‾∣=∣u‾+v‾∣|\underline{u}|=|\underline{v}|=|\underline{u}+\underline{v}|.

מצאו את הזווית בין u‾\underline{u} ל-v‾\underline{v}. נמקו.

שאלה 10 · וקטורים בתיבה: נקודה במישור אלכסוני, אנך ומרחקשאלה מלאה · בינונית

בסרטוט שלפניכם תיבה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D'. נסמן: AB→=u‾\overrightarrow{AB}=\underline u, AD→=v‾\overrightarrow{AD}=\underline v, AA′→=w‾\vec{AA'}=\underline w. הנקודה EE נמצאת על המקצוע CC′CC' כך ש-CE→=34CC′→\overrightarrow{CE}=\frac34\vec{CC'}.

AA'BB'CC'DD'E
א.

הביעו את EB→\overrightarrow{EB} ו-ED→\overrightarrow{ED} באמצעות u‾\underline u, v‾\underline v ו-w‾\underline w.

ב.

הנקודה MM מקיימת: CM→=−49u‾−19v‾+13w‾\overrightarrow{CM}=-\frac49\underline u-\frac19\underline v+\frac13\underline w.

הביעו את EM→\overrightarrow{EM} באמצעות u‾\underline u, v‾\underline v ו-w‾\underline w.

ג.

נתון: EM→=a⋅EB→+b⋅ED→\overrightarrow{EM}=a\cdot\overrightarrow{EB}+b\cdot\overrightarrow{ED}. aa ו-bb הם פרמטרים.

(1)

מצאו את הערך של aa ואת הערך של bb.

(2)

האם הנקודה MM נמצאת במישור BDEBDE? נמקו את תשובתכם.

ד.

נתון כי ∣w‾∣=4|\underline w|=4 והווקטור CM→\overrightarrow{CM} מאונך למישור BDEBDE.

מצאו את הערך של ∣u‾∣|\underline u| ואת הערך של ∣v‾∣|\underline v|.

ה.

חשבו את המרחק בין הנקודה CC ובין המישור BDEBDE.

עוד 4 שאלות על חיבור וקטורים: כלל המשולש וכלל המקבילית

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

  1. אורך וקטור מתוך אורך הסכום והזווית: שתי אפשרויות (שאלת ביניים · קשה)

    u‾\underline{u} ו-v‾\underline{v} הם שני וקטורים שהזווית ביניהם היא 120∘120^\circ, ו-∣u‾∣=5|\underline{u}|=5. נסמן ∣v‾∣=x|\underline{v}|=x (x>0x>0).…

  2. וקטורים בפירמידה: נקודה במישור, אנך למישור ומרחק הקודקוד מהמישור (שאלה מלאה · בינונית)

    בסרטוט שלפניכם פירמידה SABCDSABCD שבסיסה ABCDABCD הוא מלבן. המקצוע SASA מאונך למישור הבסיס. נסמן: AB→=u‾\overrightarrow{AB}=\underline u,…

  3. אורך הסכום של שני וקטורים והזווית שלו עם אחד מהם (שאלה קצרה · בינונית)

    נתונים שני וקטורים u‾\underline{u} ו-v‾\underline{v}: ∣u‾∣=3|\underline{u}|=3, ∣v‾∣=5|\underline{v}|=5, והזווית ביניהם היא 60∘60^\circ.

  4. סכום של אלכסון וצלע במקבילית ואורכו (שאלת ביניים · בינונית)

    במקבילית ABCDABCD נתון: AB=4AB=4, AD=6AD=6, ∠DAB=60∘\angle DAB=60^\circ. הנקודה EE מקיימת CE→=AD→\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{AD} (ראו סרטוט).

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (14)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

  • חיסור וקטורים (שאלה קצרה · בינונית)

    ABCDEFABCDEF הוא משושה משוכלל (הקודקודים לפי הסדר) שמרכזו OO. נסמן OA→=a→\overrightarrow{OA}=\vec{a} ו-OB→=b→\overrightarrow{OB}=\vec{b}.

  • חיבור וקטורים (שאלה קצרה · קלה)

    ABCDEFABCDEF הוא משושה משוכלל שאורך צלעו 22 ומרכזו OO.

  • כפל וקטור בסקלר (שאלה קצרה · קלה)

    בפירמידה SABCDSABCD שבסרטוט הבסיס ABCDABCD הוא מקבילית. נסמן AB→=u→\overrightarrow{AB}=\vec{u}, AD→=v→\overrightarrow{AD}=\vec{v}…

  • חיסור וקטורים (שאלה קצרה · קשה)

    נתונות ארבע נקודות AA, BB, CC, DD המקיימות: AB→=CD→\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD} וגם AD→=CB→\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{CB}.

  • חיסור וקטורים (שאלה קצרה · קשה)

    נתון משושה משוכלל ABCDEFABCDEF. נסמן: AB→=u→\overrightarrow{AB}=\vec{u}, BC→=v→\overrightarrow{BC}=\vec{v}.

  • חיבור וקטורים (שאלה קצרה · קלה)

    במשולש ABCABC שבשרטוט נסמן: AB→=u→\overrightarrow{AB}=\vec{u}, AC→=v→\overrightarrow{AC}=\vec{v}. הנקודה DD נמצאת על הצלע BCBC כך…

  • חיבור וקטורים (שאלה קצרה · בינונית)

    נתונה מנסרה משולשת ABCA′B′C′ABCA'B'C' שבסיסיה הם ABCABC ו-A′B′C′A'B'C'. נסמן: AB→=u→\overrightarrow{AB}=\vec{u}, AC→=v→\overrightarrow{AC}=\vec{v},…

  • חיבור וקטורים (שאלה קצרה · בינונית)

    נתון מרובע ABCDABCD. הנקודות EE ו-FF הן אמצעי הצלעות ADAD ו-BCBC בהתאמה.

  • חיבור וקטורים (שאלה קצרה · קלה)

    נתון טרפז ABCDABCD שבסיסיו ABAB ו-CDCD, ו-CD=2ABCD=2AB. נסמן: AB→=u→\overrightarrow{AB}=\vec{u}, AD→=v→\overrightarrow{AD}=\vec{v}.

  • חיסור וקטורים (שאלה קצרה · בינונית)

    נתון מלבן ABCDABCD. נתון: AB=6AB=6, BC=8BC=8.

  • תכונות הפעולות: חילוף, קיבוץ ופילוג (שאלה קצרה · קשה)

    בשרטוט משושה משוכלל ABCDEFABCDEF. נסמן: AB→=u→\overrightarrow{AB}=\vec{u}, AF→=v→\overrightarrow{AF}=\vec{v}.

  • זיהוי וקטורים שווים, נגדיים וקולינאריים בגופים (שאלה קצרה · בינונית)

    נתונה תיבה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D' שבסיסה ABCDABCD, והקודקודים A′A', B′B', C′C', D′D' נמצאים מעל AA, BB, CC, DD…

  • אורך וקטור בהצגה אלגברית (שאלה קצרה · קלה)

    במקבילית ABCDABCD נתונים וקטורי האלכסונים: AC→=(6, −1, 5)\overrightarrow{AC}=(6,\ -1,\ 5) ו-BD→=(2, 1, 1)\overrightarrow{BD}=(2,\ 1,\ 1).

  • הבעת וקטור כצירוף לינארי של וקטורים נתונים (שאלה קצרה · בינונית)

    בטרפז ABCDABCD שבשרטוט הבסיס ABAB מקביל לבסיס CDCD, ונתון AB=3CDAB=3CD. הנקודה EE נמצאת על השוק BCBC כך ש-BE=2ECBE=2EC.…

כל האתר במבט אחד

קיצורי דרך לכל הכלים, הבגרויות והקורסים

GuyAI הוא המורה הפרטי המתקדם בישראל, המבוסס על מודלי הבינה המלאכותית החזקים בעולם בשילוב הידע הפדגוגי של GOOL. המערכת מספקת פתרונות לכל המקצועות ולכל הרמות - מיסודי ועד אקדמיה, וממתמטיקה ועד היסטוריה.