שאלות פתוחות: משפט פיתגורס במרחב: תיבה, קובייה, גליל וחרוט - כיתה ח'

שאלות פתוחות על משפט פיתגורס במרחב לכיתה ח': אלכסון בסיס ואלכסון גוף בתיבה ובקובייה, וקטעים בגליל ובחרוט. יש כובע מסיבה ואוהל בצורת חרוט שבהם מוצאים את הקו היוצר, כוס עפרונות בצורת גליל עם החתך הצירי שלה, תיבה עם מידות נתונות, קובייה שאורך המקצוע שלה הוא a, וטענות על אלכסונים. השאלות ברמה א', ברמה ב' ובמצוינות. מכאן אפשר להרכיב מבחן או דף עבודה, ולכל שאלה פתרון מלא וייצוא ל-Word.

31 שאלותרמה א': 12רמה ב': 11מצוינות: 8

שאלה 1 · סרט לשפת כובע מסיבה בצורת חרוטשאלה קצרה · רמה א'

כובע מסיבה הוא בצורת חרוט ישר. SSS הוא קודקוד החרוט, OOO הוא מרכז הבסיס, ו-AAA היא נקודה על שפת הכובע (על היקף הבסיס).
גובה הכובע הוא SO=12SO=12SO=12 ס"מ. אורך הקטע מהקודקוד לשפה הוא SA=13SA=13SA=13 ס"מ.
OSA

רוצים להדביק סרט צבעוני לאורך כל שפת הכובע, בדיוק פעם אחת מסביב. כמה ס"מ סרט צריך? השתמשו ב-π≈3.14\pi\approx 3.14π≈3.14 ופרטו את חישוביכם.

שאלה 2 · אלכסון הבסיס ואלכסון הפאה הקדמית בתיבהשאלה קצרה · רמה ב'

לפניכם תיבה ABCDEFGHABCDEFGHABCDEFGH. בסיס התיבה הוא המלבן ABCDABCDABCD.
נתון: AB=12AB=12AB=12 ס"מ, BC=9BC=9BC=9 ס"מ, וגובה התיבה AE=5AE=5AE=5 ס"מ.
הקטע ACACAC הוא אלכסון של הבסיס, והקטע AFAFAF הוא אלכסון של הפאה הקדמית ABFEABFEABFE.
ABCDEFGH

א.

חשבו את אורך האלכסון ACACAC.

ב.

חשבו את אורך האלכסון AFAFAF.

שאלה 3 · תמיד, לפעמים או אף פעם: אלכסונים בתיבהשאלה קצרה · מצוינות

לפניכם תיבה ABCDEFGHABCDEFGHABCDEFGH. ACACAC הוא אלכסון של הבסיס ו-AGAGAG הוא אלכסון של התיבה (אלכסון גוף).
לכל טענה קבעו אם היא נכונה תמיד, לפעמים או אף פעם, ונמקו.
ABCDEFGH

א.

"בכל תיבה, אלכסון התיבה ארוך מכל אחד מאלכסוני הפאות שלה."

ב.

"בתיבה שאורכי כל מקצועותיה הם מספרים שלמים, גם אורך אלכסון התיבה הוא מספר שלם."

שאלה 4 · משולש בתוך גליל: היקף ושטחשאלה קצרה · רמה א'

רדיוס הבסיס של גליל הוא 555 ס"מ, וגובהו 121212 ס"מ.
PPP הוא מרכז הבסיס העליון ו-OOO הוא מרכז הבסיס התחתון. ABABAB הוא קוטר של הבסיס התחתון.
בתוך הגליל מעמידים משולש מקרטון PABPABPAB, כמתואר באיור.
OPAB

חשבו את ההיקף ואת השטח של המשולש PABPABPAB. פרטו את חישוביכם.

שאלה 5 · קש בתוך כוס עפרונות גליליתשאלה קצרה · רמה ב'

לנועה יש כוס עפרונות בצורת גליל. קוטר הבסיס של הכוס הוא 121212 ס"מ, וגובה הכוס 161616 ס"מ.
המלבן ABCDABCDABCD הוא החתך הצירי של הגליל: ABABAB ו-DCDCDC הם קטרים של שני הבסיסים, ו-BCBCBC ו-ADADAD הם קטעים על מעטפת הגליל, באורך הגובה.
הקטע ACACAC הוא אלכסון החתך הצירי. זה הקטע הישר הארוך ביותר שנכנס כולו לתוך הכוס.
ABCD

א.

נועה רוצה להכניס לכוס קש ישר, כך שכולו יהיה בתוך הכוס. מה האורך הגדול ביותר שיכול להיות לקש? חשבו את ACACAC.

ב.

חשבו את שטח החתך הצירי ABCDABCDABCD.

שאלה 6 · קובייה: ריבועי האלכסונים בעזרת המקצועשאלת ביניים · מצוינות

לפניכם קובייה ABCDEFGHABCDEFGHABCDEFGH. נסמן ב-aaa את אורך המקצוע שלה.
ACACAC הוא אלכסון של הבסיס, ו-AGAGAG הוא אלכסון הקובייה.
ABCDEFGH

א.

בטאו באמצעות aaa את AC2AC^2AC2 ואת AG2AG^2AG2.

ב.

מהו היחס AG2:AC2AG^2:AC^2AG2:AC2? האם הוא תלוי בגודל הקובייה? הסבירו.

ג.

אלכסון של קובייה אחרת הוא 666 ס"מ. חשבו את שטח הפנים של הקובייה, בלי לחשב את אורך המקצוע.

שאלה 7 · אוהל בצורת חרוטשאלת ביניים · רמה א'

בקייטנה הקימו אוהל בצורת חרוט ישר. SSS הוא ראש האוהל, OOO הוא מרכז רצפת האוהל, ו-AAA היא נקודה בשולי הרצפה.
רדיוס רצפת האוהל הוא OA=1.5OA=1.5OA=1.5 מ'. אורך הבד מראש האוהל עד שולי הרצפה הוא SA=2.5SA=2.5SA=2.5 מ'.
בכל החישובים השתמשו ב-π≈3.14\pi\approx 3.14π≈3.14.
OSA

א.

חשבו את גובה האוהל SOSOSO. האם מדריך שגובהו 1.851.851.85 מ' יכול לעמוד זקוף במרכז האוהל?

ב.

חשבו את נפח האוויר באוהל, במ"ק.

ג.

באוהל שני, באותו גובה כמו האוהל הראשון, אורך הבד מהראש עד שולי הרצפה הוא 2.92.92.9 מ'. יואב אמר: "שטח הרצפה של האוהל השני גדול יותר מפי 222 משטח הרצפה של הראשון". חשבו את רדיוס הרצפה של האוהל השני, וקבעו אם יואב צודק.

שאלה 8 · שרשרת אורות במחסןשאלת ביניים · רמה ב'

מחסן הוא בצורת תיבה ABCDEFGHABCDEFGHABCDEFGH. הרצפה היא המלבן ABCDABCDABCD, והתקרה היא המלבן EFGHEFGHEFGH.
אורך הרצפה AB=8AB=8AB=8 מ', רוחבה BC=6BC=6BC=6 מ', וגובה המחסן CG=2.5CG=2.5CG=2.5 מ'.
רוצים למתוח שרשרת אורות ישרה מהפינה AAA שברצפה אל הפינה GGG שבתקרה.
ABCDEFGH

א.

חשבו את אורך אלכסון הרצפה ACACAC.

ב.

המקצוע CGCGCG מאונך לרצפה, ולכן ∠ACG=90∘\angle ACG=90^\circ∠ACG=90∘. היעזרו בתוצאה של סעיף א וחשבו את אורך השרשרת AGAGAG. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

ג.

דני הציע לא למתוח את השרשרת באוויר, אלא להניח אותה על הרצפה מ-AAA עד CCC, ומשם לעלות לאורך פינת הקיר עד GGG. כמה מטרים יותר שרשרת צריך בהצעה של דני?

שאלה 9 · אלכסונים של שורות קוביותשאלה מלאה · מצוינות

יש לנו קוביות זהות שאורך המקצוע של כל אחת 111 ס"מ. מצמידים קוביות פאה אל פאה ובונים תיבות.
באיור: שורה של 333 קוביות שיוצרת תיבה ABCDEFGHABCDEFGHABCDEFGH שמידותיה AB=3AB=3AB=3 ס"מ, BC=1BC=1BC=1 ס"מ, CG=1CG=1CG=1 ס"מ.
בכל סעיף מחשבים את אלכסון התיבה בשני שלבים: קודם ריבוע אלכסון הבסיס AC2AC^2AC2, ואחר כך ריבוע אלכסון התיבה AG2AG^2AG2.
ABCDEFGH

א.

חשבו את AG2AG^2AG2 ואת AGAGAG עבור קובייה אחת בודדת (תיבה 1×1×11\times 1\times 11×1×1). השאירו את התשובה עם שורש.

ב.

חשבו את AG2AG^2AG2 עבור שורה של 222 קוביות ועבור שורה של 333 קוביות (האיור).

ג.

כתבו ביטוי אלגברי ל-AG2AG^2AG2 בשורה של nnn קוביות.

ד.

עדי טוענת: "אם נוסיף עוד ועוד קוביות לשורה, בסוף נגיע לשורה שאורך האלכסון שלה הוא מספר שלם". האם עדי צודקת? הסבירו.

ה.

עכשיו מסדרים 444 קוביות כלוח: 222 שורות של 222 קוביות, בגובה של קובייה אחת. חשבו את אורך האלכסון של התיבה שנוצרה. האם נכון לומר: "לתיבה שבנויה מקוביות כאלה אף פעם אין אלכסון שאורכו מספר שלם"?

שאלה 10 · קופסת בושם בתוך קופסת פח גליליתשאלת ביניים · רמה א'

קופסת פח היא בצורת גליל שרדיוס בסיסו 444 ס"מ וגובהו 666 ס"מ.
בתוך קופסת הפח מונחת בדיוק קופסת בושם בצורת תיבה ABCDEFGHABCDEFGHABCDEFGH שבסיסה ריבוע ABCDABCDABCD וגובהה 666 ס"מ, כמו גובה הגליל.
ארבעת קודקודי הבסיס ABCDABCDABCD נמצאים על היקף הבסיס של הגליל, ואלכסוני הריבוע עוברים דרך מרכז הבסיס OOO.
OABCDEFGH

א.

מהו אורך האלכסון ACACAC של בסיס קופסת הבושם? נמקו.

ב.

חשבו את שטח הבסיס של קופסת הבושם ואת נפחה.

ג.

חשבו את אורך האלכסון AGAGAG של קופסת הבושם. הסבירו מדוע הוא שווה לאורך הקטע הישר הארוך ביותר שאפשר להכניס לקופסת הפח.

עוד 21 שאלות על משפט פיתגורס במרחב: תיבה, קובייה, גליל וחרוט

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

ממגורת תבואה: גליל עם גג בצורת חרוט (שאלה מלאה · רמה ב')
ממגורת תבואה בנויה מגליל ישר שעליו גג בצורת חרוט ישר. לגליל ולגג אותו בסיס עגול. רדיוס הבסיס הוא $3$ מ', וגובה החלק הגלילי הוא $8$ מ'. $S$ …
קוביות בלי מקצוע שלם (שאלה קצרה · מצוינות)
בשני הסעיפים נתונה קובייה $ABCDEFGH$ . $BD$ הוא אלכסון הבסיס, ו- $BH$ הוא אלכסון הקובייה. השאירו שורשים בתשובות.
ארבעה גלילים ומשולשים בתוכם (שאלת ביניים · רמה א')
נתונים 4 גלילים שמידותיהם שוות. בתוך הגלילים משולשים שונים.
אלכסון התיבה מתוך משולש ישר זווית (שאלה קצרה · רמה ב')
בתיבה $ABCDEFGH$ הקטע $AC$ הוא אלכסון הבסיס, והקטע $AG$ הוא אלכסון התיבה. נתון: $AC=9$ ס"מ, וגובה התיבה $CG=12$ ס"מ. המקצוע $CG$ מאונך…
מתכננים קופסה עם אלכסון 9 (שאלת ביניים · מצוינות)
מתכננים קופסת מתנה בצורת תיבה $ABCDEFGH$ . גובה הקופסה $CG=4$ ס"מ, ואלכסון הקופסה $AG=9$ ס"מ. את אורך הבסיס $AB$ ואת רוחבו $BC$ צריך לבחור.
משלוח של מוט וילון באורך 120 ס"מ (שאלה מלאה · רמה א')
חנות שולחת ללקוחות מוט וילון ישר שאורכו $120$ ס"מ. המוט צריך להיכנס כולו לאריזה. באריזה בצורת תיבה הקטע הישר הארוך ביותר הוא אלכסון התיבה,…
ארון במטרים ובסנטימטרים (שאלה קצרה · רמה ב')
ארון נמוך הוא בצורת תיבה $ABCDEFGH$ . בסיס הארון הוא המלבן $ABCD$ . אורך הבסיס $AB=1.2$ מ', רוחבו $BC=90$ ס"מ, וגובה הארון $CG=80$ ס"מ. רוצים…
שתי מדידות, תיבה אחת (שאלת ביניים · מצוינות)
במחסן יש תיבה $ABCDEFGH$ שגובהה $CG=6$ ס"מ ואלכסונה $BH=11$ ס"מ. מידות הבסיס $ABCD$ לא נרשמו.
שחזור הגובה שנמחק (שאלה קצרה · רמה א')
בכרטיס של תיבה $ABCDEFGH$ נשארו שני נתונים: אלכסון הבסיס $AC=24$ ס"מ, ואלכסון התיבה $AG=25$ ס"מ. הגובה $CG$ נמחק. נתון ש-…
שני מסלולים לאותו אלכסון (שאלת ביניים · רמה ב')
בתיבה $ABCDEFGH$ נתון: $AB=8$ ס"מ, $BC=12$ ס"מ, וגובה התיבה $CG=9$ ס"מ. הקטע $CF$ הוא אלכסון של הפאה הצדדית $BCGF$ , והקטע $EC$ הוא אלכסון…
אלכסון שלם, פאות לא שלמות (שאלה מלאה · מצוינות)
בתיבה $ABCDEFGH$ הבסיס $ABCD$ הוא ריבוע: $AB=BC=4$ ס"מ, וגובה התיבה $CG=7$ ס"מ. $AC$ הוא אלכסון הבסיס, ו- $AG$ הוא אלכסון התיבה.
מקצוע הקובייה מתוך אלכסונה (שאלה קצרה · רמה א')
בקובייה $ABCDEFGH$ ידוע ש- $BH^2=48$ (האורכים בס"מ), כאשר $BH$ הוא אלכסון הקובייה ו- $BD$ הוא אלכסון הבסיס. נסמן את אורך המקצוע ב- $a$ .
כמה אלכסוני פאות שונים (שאלה קצרה · רמה ב')
בתיבה $ABCDEFGH$ נתון: $AB=3$ ס"מ, $BC=3$ ס"מ, וגובה התיבה $CG=8$ ס"מ. לתיבה יש שלושה זוגות של פאות נגדיות: הבסיסים ( $ABCD$ ו- $EFGH$ ), הפאות…
אלכסון התיבה משלושה אלכסוני פאות (שאלת ביניים · מצוינות)
בתיבה $ABCDEFGH$ יוצאים מהקודקוד $A$ שלושה אלכסונים של פאות: $AC$ (בבסיס $ABCD$ ), $AF$ (בפאה $ABFE$ ) ו- $AH$ (בפאה $ADHE$ ). $AG$ הוא אלכסון…
ארגז שהמוט נכנס בו בדיוק (שאלת ביניים · רמה א')
ארגז אחסון הוא בצורת תיבה $ABCDEFGH$ . בסיס הארגז הוא המלבן $ABCD$ , וגובהו $CG=15$ ס"מ. מוט שאורכו $25$ ס"מ נכנס לארגז בדיוק לאורך אלכסון…
אלכסונים של קובייה (שאלת ביניים · רמה ב')
בקובייה $ABCDEFGH$ אורך המקצוע $5$ ס"מ. $AC$ הוא אלכסון של הבסיס $ABCD$ , ו- $AG$ הוא אלכסון הקובייה. המקצוע $CG$ מאונך לבסיס, ולכן…
חסמים לאלכסון של קופסת עטים (שאלה מלאה · רמה א')
קופסת עטים היא בצורת תיבה $ABCDEFGH$ . נתון: אורך הבסיס $AB=9$ ס"מ, רוחבו $BC=6$ ס"מ, וגובה הקופסה $AE=2$ ס"מ. $AG$ הוא אלכסון הקופסה.…
אלכסון פאה לא שלם, אלכסון גוף שלם (שאלה קצרה · רמה ב')
בתיבה $ABCDEFGH$ נתון: $AB=2$ ס"מ, $BC=4$ ס"מ, וגובה התיבה $CG=4$ ס"מ. $AC$ הוא אלכסון הבסיס $ABCD$ , ו- $AG$ הוא אלכסון התיבה. המקצוע $CG$ …
תיבה שטוחה: אפשר להתעלם מהגובה? (שאלה קצרה · רמה א')
מגש בצורת תיבה $ABCDEFGH$ . בסיס המגש הוא המלבן $ABCD$ : $AB=12$ ס"מ, $BC=9$ ס"מ. גובה המגש $CG=2$ ס"מ. $AC$ הוא אלכסון הבסיס, ו- $AG$ הוא…
מהנפח אל אלכסון הפאה (שאלה קצרה · רמה ב')
בכל סעיף נתון גוף אחר. הסעיפים לא תלויים זה בזה.
מוט בתוך אקווריום (שאלת ביניים · רמה א')
אקווריום הוא בצורת תיבה $ABCDEFGH$ . בסיס האקווריום הוא המלבן $ABCD$ : $AB=60$ ס"מ, $BC=30$ ס"מ. כשהאקווריום מלא עד הסוף יש בו $72$ ליטר מים…