שאלות פתוחות: סיבוב במערכת צירים - כיתה ח'

אוסף שאלות פתוחות על סיבוב במערכת צירים לכיתה ח': סיבוב נקודות וצורות ב-90, 180 ו-270 מעלות סביב ראשית הצירים וגם סביב קודקוד. יש סיבוב של נקודה ברביע הראשון ואחריו הזזה, משולש שמסתובב סביב אחד הקודקודים שלו, שני מלבנים חופפים שצריך לגלות איזה סיבוב מעביר אחד לשני, ושאלות על המרחק שנשמר בסיבוב. השאלות ברמה א', ברמה ב' ובמצוינות. בחרו שאלות לבוחן או לדף עבודה, וקבלו פתרונות מלאים וקובץ Word.

53 שאלותרמה א': 23רמה ב': 18מצוינות: 12

שאלה 1 · מהתמונה חזרה לנקודה המקוריתשאלה קצרה · רמה א'

בשאלה זו כל הסיבובים הם סביב ראשית הצירים.

א.

הנקודה PPP סובבה ב-90∘90^\circ90∘ עם כיוון השעון סביב ראשית הצירים, והתקבלה הנקודה P′(−2,−5)P'(-2,-5)P′(−2,−5). מהם שיעורי הנקודה PPP?

ב.

יעל אומרת: "סיבוב של 270∘270^\circ270∘ נגד כיוון השעון סביב ראשית הצירים מעביר כל נקודה לאותו מקום שאליו מעביר אותה סיבוב של 90∘90^\circ90∘ עם כיוון השעון." האם יעל צודקת? הסבירו.

שאלה 2 · סיבוב של נקודה סביב ראשית הציריםשאלה קצרה · רמה ב'

נתונות הנקודות A(4,1)A(4,1)A(4,1) ו-B(−3,5)B(-3,5)B(−3,5). OOO היא ראשית הצירים.
-6-5-4-3-2-1123456-6-5-4-3-2-1123456ABO

א.

מסובבים את הנקודה AAA ב-90∘90^\circ90∘ נגד כיוון השעון סביב OOO. מהם שיעורי הנקודה A′A'A′ שמתקבלת?

ב.

מסובבים את הנקודה BBB ב-180∘180^\circ180∘ סביב OOO. מהם שיעורי הנקודה B′B'B′ שמתקבלת?

שאלה 3 · סיבוב ואחריו הזזה מחזירים את הנקודהשאלה קצרה · מצוינות

P(a,b)P(a,b)P(a,b) היא נקודה ברביע הראשון (a>0a>0a>0, b>0b>0b>0). מסובבים את PPP ב-90∘90^\circ90∘ נגד כיוון השעון סביב ראשית הצירים, ואחר כך מזיזים את הנקודה שהתקבלה 666 יחידות ימינה. מתברר שחזרנו בדיוק לנקודה PPP.

מצאו את שיעורי הנקודה PPP. הסבירו כל שלב.

שאלה 4 · סיבוב משולש סביב אחד מקודקודיושאלה קצרה · רמה א'

המשולש ABCABCABC שקודקודיו A(2,1)A(2,1)A(2,1), B(5,1)B(5,1)B(5,1), C(2,3)C(2,3)C(2,3) מסובב ב-90∘90^\circ90∘ נגד כיוון השעון סביב הקודקוד AAA (ולא סביב ראשית הצירים).
-2-1123456-112345ABC

מהם שיעורי הקודקודים B′B'B′ ו-C′C'C′ של המשולש שמתקבל? (AAA נשאר במקומו.)

שאלה 5 · מה צריך כדי לתאר סיבובשאלה קצרה · רמה ב'

סיבוב מזיז כל נקודה של הצורה באותה זווית ובאותו כיוון, והמרחק של כל נקודה מנקודת הסיבוב נשמר.

א.

מורה אמרה לכיתה: "סובבו את המשולש ב-90∘90^\circ90∘." התלמידים קיבלו תוצאות שונות זו מזו. אילו שני פרטים חסרים בהוראה של המורה?

ב.

מלבן שצלעותיו 333 ס"מ ו-555 ס"מ מסובבים סביב מרכזו (נקודת המפגש של האלכסונים). מהי זווית הסיבוב הקטנה ביותר (גדולה מ-0∘0^\circ0∘) שאחריה המלבן מונח בדיוק במקומו הקודם? הסבירו למה סיבוב של 90∘90^\circ90∘ לא מספיק.

שאלה 6 · ארבעה סיבובים של נקודה יוצרים ריבועשאלת ביניים · מצוינות

OOO היא ראשית הצירים. מסובבים את הנקודה A(3,1)A(3,1)A(3,1) סביב OOO נגד כיוון השעון ב-90∘90^\circ90∘, ב-180∘180^\circ180∘ וב-270∘270^\circ270∘, ומקבלים את הנקודות BBB, CCC, DDD בהתאמה.

א.

מצאו את שיעורי הנקודות BBB, CCC, DDD.

ב.

הסבירו למה במרובע ABCDABCDABCD כל הצלעות שוות וכל הזוויות ב-OOO בין OAOAOA, OBOBOB, OCOCOC, ODODOD ישרות. חשבו את שטח המרובע ABCDABCDABCD.

ג.

מצאו נקודה על החלק החיובי של ציר ה-xxx כך שאם מסובבים אותה באותה דרך (ב-90∘90^\circ90∘, 180∘180^\circ180∘, 270∘270^\circ270∘ סביב OOO) מתקבל מרובע ששטחו 505050.

שאלה 7 · שני מלבנים חופפים: שיעורי נקודהשאלה קצרה · רמה א'

על מערכת צירים סרטטו שני מלבנים חופפים. הצלע הארוכה של המלבן גדולה פי 3 מהצלע הקצרה.
(-2, 8)(0, 1)P

חשבו את שיעורי נקודה PPP. פרטו את תשובתכם.

שאלה 8 · חצי סיבוב של מלבן סביב ראשית הציריםשאלת ביניים · רמה ב'

המלבן ABCDABCDABCD שקודקודיו A(1,2)A(1,2)A(1,2), B(6,2)B(6,2)B(6,2), C(6,4)C(6,4)C(6,4), D(1,4)D(1,4)D(1,4) מסובב ב-180∘180^\circ180∘ סביב ראשית הצירים, ומתקבל המלבן A′B′C′D′A'B'C'D'A′B′C′D′.
-7-6-5-4-3-2-11234567-5-4-3-2-112345ABCD

א.

מהם שיעורי הקודקודים A′A'A′, B′B'B′, C′C'C′, D′D'D′?

ב.

באיזה רביע נמצא המלבן A′B′C′D′A'B'C'D'A′B′C′D′? הסבירו בעזרת השיעורים.

ג.

חשבו את האורך ואת השטח של כל אחד משני המלבנים. מה אתם מגלים, ולמה?

שאלה 9 · ארבעה משולשים חופפים סביב ראשית הציריםשאלה מלאה · מצוינות

על מערכת צירים מסרטטים את הריבוע KLMNKLMNKLMN שקודקודיו K(−5,−5)K(-5,-5)K(−5,−5), L(5,−5)L(5,-5)L(5,−5), M(5,5)M(5,5)M(5,5), N(−5,5)N(-5,5)N(−5,5). מרכז הריבוע הוא ראשית הצירים OOO.
הנקודה A(2,−5)A(2,-5)A(2,−5) על הצלע KLKLKL, והנקודה D(−5,−2)D(-5,-2)D(−5,−2) על הצלע KNKNKN. המשולש KADKADKAD הוא משולש ישר זווית (הזווית הישרה ב-KKK).
מסובבים את המשולש KADKADKAD סביב OOO נגד כיוון השעון ב-90∘90^\circ90∘, ב-180∘180^\circ180∘ וב-270∘270^\circ270∘, ומקבלים שלושה משולשים נוספים, אחד בכל פינה של הריבוע. הנקודות BBB ו-CCC הן קודקודים של המשולשים האלה, כמו בסרטוט.
KLMNABCDO

א.

בסיבוב של 90∘90^\circ90∘ המשולש KADKADKAD עובר למשולש LBALBALBA. מצאו את שיעורי הנקודה BBB, והסבירו למה הקודקוד DDD עובר בדיוק לנקודה AAA.

ב.

מצאו את שיעורי הנקודה CCC (הקודקוד שאליו עובר AAA בסיבוב של 180∘180^\circ180∘).

ג.

הסבירו למה ארבע הצלעות של המרובע ABCDABCDABCD שוות זו לזו.

ד.

חשבו את שטח המרובע ABCDABCDABCD בשתי דרכים: פעם בעזרת שטח הריבוע KLMNKLMNKLMN ושטחי המשולשים, ופעם בעזרת אורך הצלע ADADAD. (ידוע ש-ABCDABCDABCD הוא ריבוע.)

ה.

מהי זווית הסיבוב הקטנה ביותר (גדולה מ-0∘0^\circ0∘) סביב OOO שמעבירה את כל הציור (הריבוע הגדול וארבעת המשולשים) בדיוק לעצמו? נמקו.

שאלה 10 · שלושה משולשים ישרי זווית חופפיםשאלה קצרה · רמה א'

על מערכת צירים מסרטטים שלושה משולשים ישרי-זווית חופפים
(0, -6)(25, 0)AB

חשבו את שיעורי נקודה AAA ושיעורי נקודה BBB. פרטו את חישובכם.

עוד 5 שאלות על סיבוב במערכת צירים

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

גלגל ענק מסתובב (שאלה מלאה · רמה ב')
דגם של גלגל ענק מסורטט על מערכת צירים. מרכז הגלגל $O$ נמצא בראשית הצירים, וכל יחידה מייצגת מטר אחד. התא $A$ נמצא בנקודה $(0,6)$ והתא $B$ …
צלב משני מלבנים חופפים (שאלת ביניים · רמה א')
על מערכת צירים מסרטטים מלבן "שוכב" (הצלע הארוכה שלו אופקית). מרכז המלבן (נקודת המפגש של האלכסונים) הוא ראשית הצירים, והצלעות שלו מקבילות…
מלבנים על רשת: חפיפה, הזזה וסיבוב (שאלה מלאה · רמה ב')
נתונים מלבנים: בדקו אם הטענות הבאות נכונות. נמקו את תשובתכם.
הזזה או סיבוב? ארבעה משולשים חופפים (שאלת ביניים · רמה א')
במערכת הצירים ארבעה משולשים חופפים: $ABC$ : $A(1,1)$ , $B(4,1)$ , $C(1,3)$ $DEF$ : $D(-1,-1)$ , $E(-4,-1)$ , $F(-1,-3)$ $GHK$ : $G(6,2)$ , $H(9,2)$ ,…
סיבוב טרפז ישר זווית סביב קודקוד (שאלה מלאה · רמה א')
הטרפז $ABCD$ שקודקודיו $A(1,1)$ , $B(6,1)$ , $C(4,4)$ , $D(1,4)$ הוא טרפז ישר זווית: הבסיסים $AB$ ו- $DC$ אופקיים, והשוק $AD$ אנכית. מסובבים את…

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (38)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

צורה גזורה שמכסה צורה אחרת (שאלת ביניים · רמה ב')
נועה סרטטה על דף משבצות את המחומש $ABCDE$ (בצורת בית) וגזרה אותו. אחר כך הניחה את הצורה שגזרה על המחומש…
טרפזים חופפים במערכת צירים (שאלה מלאה · רמה א')
במערכת הצירים מסורטט הטרפז $ABCD$ (הבסיסים שלו $AB$ ו- $DC$ ). מיכל התחילה לסרטט טרפז $KLMP$ שחופף לטרפז $ABCD$ ,…
חיתוך מלבן לשני חלקים חופפים (שאלה מלאה · מצוינות)
המלבן $ABCD$ מסורטט במערכת צירים: $A(0,0)$ , $B(6,0)$ , $C(6,4)$ , $D(0,4)$ . חותכים אותו לשני חלקים לאורך קווי…
איזה חיתוך נותן שני חלקים חופפים? (שאלה קצרה · רמה ב')
שלושה תלמידים קיבלו כל אחד מלבן של $6$ משבצות על $2$ משבצות, וכל אחד חתך את המלבן שלו לשני חלקים לאורך קווי…
חיתוך ישר של מלבן לשני חלקים (שאלה קצרה · רמה א')
במלבן $ABCD$ נתון: $AB=8$ ס"מ, $BC=6$ ס"מ. הנקודה $M$ היא אמצע הצלע $AB$ , והנקודה $N$ היא אמצע הצלע $DC$ .…
כמה מלבנים חופפים אפשר לסרטט מנקודה אחת? (שאלת ביניים · מצוינות)
במערכת הצירים מסורטט המלבן $ABCD$ : $A(-6,2)$ , $B(-3,2)$ , $C(-3,4)$ , $D(-6,4)$ . מסומנת גם הנקודה $P(2,-1)$ . בכל…
עוגה מרובעת שנחתכה לארבעה חלקים (שאלת ביניים · רמה ב')
עוגה בצורת ריבוע של $4$ על $4$ משבצות נחתכה לארבעה חלקים לאורך קווי המשבצות, כמו בסרטוט. כל חלק נקרא לפי האות…
סיבוב טרפז יוצר מקבילית (שאלה מלאה · רמה ב')
במערכת הצירים מסורטט הטרפז $ABCD$ : $A(0,0)$ , $B(6,0)$ , $C(4,4)$ , $D(1,4)$ . הבסיסים הם $AB$ ו- $DC$ . הנקודה…
מחוג הדקות מסתובב (שאלה קצרה · רמה ב')
מחוג הדקות של שעון מסתובב סביב מרכז השעון, עם כיוון השעון. בכל $60$ דקות הוא משלים סיבוב שלם, כלומר מסתובב…
סיבוב נקודות סביב ראשית הצירים (שאלה קצרה · רמה ב')
במערכת הצירים מסומנות הנקודות $A(3,1)$ ו- $B(-4,3)$ וראשית הצירים $O(0,0)$ .
מוצאים את הנקודה המקורית; עם כיוון השעון או נגדו (שאלה קצרה · רמה א')
$O$ היא ראשית הצירים.
סימטריה סיבובית: משולש שווה צלעות וחישוק (שאלה קצרה · רמה א')
צורה סימטרית לסיבוב אם יש סיבוב סביב נקודה, בזווית קטנה מ- $360^\circ$ , שמחזיר אותה בדיוק למקומה.
תמיד, לפעמים או אף פעם: טענות על סיבוב (שאלה קצרה · מצוינות)
לכל טענה קבעו אם היא נכונה תמיד, לפעמים או אף פעם. נמקו. אם הטענה נכונה לפעמים, תנו דוגמה שבה היא נכונה ודוגמה…
איזו צורה מתקבלת בחצי סיבוב סביב O? (שאלה קצרה · רמה ב')
במערכת צירים מסורטט משולש. אחת מצלעותיו מונחת על הציר האנכי, מעל הנקודה $O$ .
חצי סיבוב של משולש סביב הנקודה P (שאלה קצרה · רמה ב')
מסובבים את המשולש שבציור, במישור עליו הוא מונח, חצי סיבוב מסביב לנקודה $P$ .
חצי סיבוב סביב T: עם כיוון השעון או נגדו (שאלה קצרה · רמה ב')
חצי סיבוב סביב הנקודה $T$ במישור מופעל על הצורה שבציור.
סיבוב משולש ישר זווית סביב הראשית (שאלת ביניים · רמה ב')
במערכת הצירים משולש $ABC$ שקודקודיו $A(2,1)$ , $B(6,1)$ , $C(6,4)$ . הזווית $\angle ABC$ ישרה. מסובבים את המשולש…
חלק פאזל בצורת טרפז מסתובב סביב קודקוד (שאלת ביניים · רמה א')
במשחק מחשב מסובבים חלקי פאזל על לוח משבצות. אחד החלקים הוא טרפז ישר זווית $ABCD$ שקודקודיו $A(-2,1)$ ,…
מזהים את הסיבוב: מרכז, זווית וכיוון (שאלת ביניים · רמה א')
במערכת הצירים המרובע $ABCD$ : $A(-2,2)$ , $B(2,2)$ , $C(1,4)$ , $D(-1,5)$ , והתמונה שלו אחרי סיבוב: המרובע…
כלל לרבע סיבוב סביב הראשית (שאלת ביניים · מצוינות)
מסובבים נקודות ב- $90^\circ$ נגד כיוון השעון סביב ראשית הצירים $O$ .
גלגל ענק בלונה פארק (שאלה מלאה · רמה ב')
בלונה פארק יש גלגל ענק עם $8$ תאים. כל תא מחובר בחישור למרכז הגלגל $O$ , והתאים מפוזרים סביב $O$ במרווחים…
לוגו בצורת שבשבת (שאלה מלאה · רמה א')
מעצבת בונה לוגו בצורת שבשבת במערכת צירים. הכנף הראשונה היא המשולש $OAB$ שקודקודיו $O(0,0)$ , $A(4,0)$ ,…
איפה מרכז הסיבוב? (שאלה מלאה · מצוינות)
סיבוב סביב נקודה כלשהי העביר את הנקודה $A(-1,3)$ אל הנקודה $A'(3,3)$ . לא ידוע מהו מרכז הסיבוב, וגם הזווית…
סיבוב מלבן סביב אחד מקודקודיו (שאלה קצרה · רמה א')
במערכת הצירים המלבן $ABCD$ : $A(1,1)$ , $B(4,1)$ , $C(4,3)$ , $D(1,3)$ .
ריבוע ומלבן חוזרים למקומם (שאלה קצרה · רמה ב')
צורה "חוזרת למקומה" בסיבוב, אם אחרי הסיבוב היא מכסה בדיוק את אותו מקום שבו הייתה. $O$ היא נקודת מרכז הצורה…
פתית שלג: באילו זוויות הוא חוזר למקומו? (שאלת ביניים · רמה א')
לפתית שלג יש $6$ זרועות זהות, שיוצאות מהמרכז $O$ ומפוזרות סביבו במרווחים שווים. מסובבים את הפתית סביב $O$ .
צורה מריבועים: באילו סיבובים סביב המרכז היא חוזרת למקומה? (שאלת ביניים · מצוינות)
הצורה שבמערכת הצירים בנויה מארבעה ריבועים שצלעם $2$ יחידות, והנקודה $M(3,2)$ היא המרכז שלה. קודקודי הצורה:…
מה לא זז, באיזו זווית ולאיזה כיוון? (שאלה קצרה · רמה ב')
המשולש $OAB$ , שקודקודיו $O(0,0)$ , $A(5,0)$ , $B(2,3)$ , הסתובב סביב נקודה, והתקבל המשולש $OA'B'$ , שקודקודיו…
דגל שהסתובב: מתארים את הסיבוב (שאלה קצרה · רמה א')
דגל בצורת המשולש $PQR$ , שקודקודיו $P(1,1)$ , $Q(1,4)$ , $R(3,3)$ , הסתובב, והתקבל המשולש $PQ'R'$ , שקודקודיו…
חסר נתון בתיאור הסיבוב (שאלה קצרה · מצוינות)
הנקודה $A(4,2)$ מסתובבת סביב הנקודה $P(1,2)$ .
איפה מרכז הסיבוב? בודקים שלוש נקודות (שאלת ביניים · רמה א')
המשולש $ABC$ , שקודקודיו $A(2,1)$ , $B(4,1)$ , $C(2,2)$ , הסתובב ב- $90^\circ$ נגד כיוון השעון סביב נקודה שאינה…
רבע סיבוב סביב P: איזה ציור מתאים? (שאלה קצרה · רמה א')
לפניכם צורה ונקודה $P$ בקצה התחתון שלה. הקווים המקווקווים עוברים דרך $P$ , אחד אופקי ואחד אנכי, ועוזרים לראות…
איזה ציור אי אפשר לקבל בסיבוב סביב P? (שאלה קצרה · מצוינות)
לפניכם דגל. הנקודה $P$ היא הקצה התחתון של העמוד. הקווים המקווקווים עוברים דרך $P$ . לפניכם ארבעה ציורים. בכל…
מגף מסתובב סביב נקודה מחוץ לו (שאלת ביניים · רמה א')
לפניכם צורה של מגף ונקודה $P$ מחוץ לו, יחידה אחת מימין לקצה הבוהן של המגף. הקווים המקווקווים עוברים דרך $P$ .…
שכפול האייקונים: שיקוף, הזזה וסיבוב של טרפז (שאלה מלאה · רמה א')
"שכפול האייקונים" מעצבת גרפית בונה אייקונים למשחק מחשב. היא משתמשת בצורה בסיסית של טרפז ישר זווית (צורה א')…
שני הסימנים התהפכו: שיקוף או סיבוב? (שאלה קצרה · רמה א')
המשולש $PQR$ שקודקודיו $P(1,1)$ , $Q(4,1)$ , $R(1,3)$ עבר טרנספורמציה, והתקבל המשולש שקודקודיו $P'(-1,-1)$ ,…
טענות על זיהוי טרנספורמציה לפי שיעורים (שאלה קצרה · מצוינות)
בכל סעיף נמקו את תשובתכם.
דמות במשחק: שלוש תמונות, שלוש טרנספורמציות (שאלת ביניים · רמה א')
במשחק מחשב הדמות היא המשולש $ABC$ : $A(1,1)$ , $B(3,1)$ , $C(1,4)$ , והזווית $\angle A$ ישרה. המתכנת הפעיל על…