מבחן מיצ"ב במתמטיקה לכיתה ה' (נוסח 2012) - עם פתרונות מלאים

התשובה: 6,773

מחברים במאונך, מספרה לספרה, ומתחילים מהאחדות:

• אחדות: $6+7=13$. כותבים 3 ומעבירים 1 לעשרות.

• עשרות: $1+5+1=7$ (ה-1 האחרון הוא מה שהעברנו).

• מאות: $3+4=7$.

• אלפים: $4+2=6$.

יוצא 6,773.

בדיקה בעזרת אומדן: בערך $4{,}300+2{,}500=6{,}800$, וזה קרוב לתשובה.

התשובה: 6,443

מחסרים במאונך ומתחילים מהאחדות:

• אחדות: $5-2=3$.

• עשרות: 0 פחות 6 – אי אפשר. פורטים מאה אחת לעשר עשרות: במקום המאות נשארות 7 מאות, ובעשרות יש עכשיו 10. $10-6=4$.

• מאות: $7-3=4$.

• אלפים: 6 נשאר 6.

יוצא 6,443.

בדיקה: $6{,}443+362=6{,}805$ ✓

קצות האלכסונים הם ארבעת הקודקודים של המרובע.

מחברים כל קצה לשני הקצוות "השכנים" שלו מסביב, וכך מקבלים ארבע צלעות:

מהקצה השמאלי של הקו האופקי לקצה התחתון של הקו הנטוי, משם לקצה הימני של הקו האופקי, משם לקצה העליון של הקו הנטוי, וחזרה לקצה השמאלי.

שימו לב: לא מחברים את שני הקצוות של אותו אלכסון – זה כבר האלכסון עצמו.

מה הבודק מחפש: ארבע צלעות שמחברות את קצות האלכסונים, כך שהקטעים הנתונים הם האלכסונים של המרובע.

התשובה: מקבילית.

סופרים משבצות: האלכסון האופקי ארוך 8 משבצות, והאלכסון הנטוי עובר בדיוק באמצע שלו (4 משבצות מכל צד). גם האלכסון הנטוי נחצה לשני חלקים שווים בנקודת המפגש.

מרובע שהאלכסונים שלו חוצים זה את זה הוא מקבילית. ואכן, הצלעות הנגדיות שקיבלנו מקבילות זו לזו.

למה לא "טרפז."? בטרפז יש רק זוג אחד של צלעות מקבילות, ואז האלכסונים לא חוצים זה את זה. כאן יש שני זוגות של צלעות מקבילות.

למה לא "דלתון."? בדלתון האלכסונים מאונכים זה לזה (נפגשים בזווית ישרה). כאן האלכסון הנטוי לא מאונך לאופקי.

למה לא "מעוין."? גם במעוין האלכסונים מאונכים, וכל ארבע הצלעות שוות. כאן הצלעות לא שוות: שתיים ארוכות ושתיים קצרות.

התשובה: 1,748

מפרקים את 46 ל-40 ול-6:

$38\times6=228$

$38\times40=1{,}520$

מחברים: $1{,}520+228=1{,}748$.

(במאונך: שורה ראשונה 228, שורה שנייה 1,520, וסכומן 1,748.)

התשובה: 400

5,600 הם 56 מאות.

$56:14=4$, כי $14\times4=56$.

לכן $5{,}600:14=4$ מאות $=400$.

בדיקה: $14\times400=5{,}600$ ✓

טעות נפוצה: לכתוב 40 – לשכוח את האפסים.

התשובה: 21

לפי סדר הפעולות, חילוק לפני חיבור:

$36:4=9$

ואחר כך מחברים: $12+9=21$.

טעות נפוצה: לחבר קודם $12+36=48$ ואז לחלק $48:4=12$. זה לא נכון, כי החיבור לא בא לפני החילוק.

התשובה: 15 שנים.

מחשבים כמה שנים עברו משנת 1958 עד שנת 2017:

$2017-1958=59$ שנים.

בשנת 2017 סבתא הייתה בת 74. לפני 59 שנים היא הייתה צעירה ב-59 שנים:

$74-59=15$.

דרך נוספת: מוצאים את שנת הלידה: $2017-74=1943$. ואז $1958-1943=15$.

תשובה לדוגמה (ציון מלא):

"משנת 1958 עד שנת 2017 עברו $2017-1958=59$ שנים. בכל שנה הגיל גדל ב-1, ולכן בשנת 1958 סבתא הייתה צעירה ב-59 שנים: $74-59=15$."

עוד הסברים טובים:

• שנת הלידה: $2017-74=1943$, ולכן בשנת 1958 היא הייתה בת $1958-1943=15$.

• טבלה של שנה וגיל: 2017 – 74; 2000 – 57; 1958 – 15.

מה הבודק מחפש: הסבר שמראה את הקשר בין המספרים של השנים לבין המספרים של הגילים – בתרגילים, במילים או בטבלה.

התשובה: ביום ב'.

כל דמות היא 30 ילדים. כמה דמויות הן 180 ילדים? $180:30=6$ דמויות.

ביום ב' יש בדיוק 6 דמויות, ולכן ביום ב' ביקרו 180 ילדים.

התשובה: ב-120 ילדים.

ביום ו' יש 7 דמויות: $7\times30=210$ ילדים.

ביום ד' יש 3 דמויות: $3\times30=90$ ילדים.

ההפרש: $210-90=120$ ילדים.

דרך קצרה: יש 4 דמויות יותר ביום ו', ו-$4\times30=120$.

טעות נפוצה: לענות 4 – זה ההפרש בדמויות, לא בילדים.

התשובה: 90 ילדים בממוצע.

• יום א': 2 דמויות $=60$ ילדים.

• יום ג': 4 דמויות $=120$ ילדים.

• יום ד': 3 דמויות $=90$ ילדים.

ממוצע = הסכום חלקי מספר הימים:

$60+120+90=270$

$270:3=90$ ילדים.

דרך נוספת: בממוצע יש $(2+4+3):3=3$ דמויות ביום, ו-$3\times30=90$.

תשובה אפשרית: $60=5\times3\times4$.

קודם מחלקים: $60:5=12$. כלומר שתי המשבצות יחד צריכות לתת מכפלה 12.

זוגות של מספרים שמכפלתם 12: $3\times4$, $2\times6$, $1\times12$.

כל אחד מהזוגות האלה (בכל סדר) נכון. למשל $5\times3\times4=15\times4=60$ ✓

התשובה: $60=5\times2\times2\times3$ (בכל סדר).

מספר ראשוני הוא מספר שמתחלק רק ב-1 ובעצמו (2, 3, 5, 7, ...).

$60:5=12$, ועכשיו מפרקים את 12 לגורמים ראשוניים:

$12=2\times6=2\times2\times3$.

לכן $60=5\times2\times2\times3$. בדיקה: $5\times2=10$, $10\times2=20$, $20\times3=60$ ✓

שימו לב: 1 אינו מספר ראשוני, ולכן $5\times1\times3\times4$ לא מתאים (וגם 4 אינו ראשוני).

התשובה: המשולש אבג.

הקו אד עומד ישר על הבסיס, ולכן בנקודה ד יש זווית ישרה.

במשולש אבג מסתכלים על הזווית שבקודקוד ג: הצלע גב יוצאת שמאלה לאורך הבסיס, והצלע גא עולה באלכסון ימינה (5 משבצות ימינה ו-5 למעלה). הזווית ביניהן היא 135° – יותר מזווית ישרה. לכן המשולש אבג קהה-זווית.

בשאר המשולשים שבסרטוט (אגד, אבד, אדה, אבה, אגה) אין זווית קהה.

מה הבודק מחפש: צביעה של המשולש אבג בלבד (ולא של שתי צלעות או של שטח שאינו משולש).

התשובה: המשולש אגד.

ראו את הסרטוט שבפתרון סעיף א.

הקו אד מאונך לבסיס, ולכן כל משולש שאחת מצלעותיו היא אד והצלע השנייה על הבסיס יוצאת מ-ד – הוא ישר-זווית. יש שניים כאלה: אגד ואדה.

עכשיו סופרים משבצות:

• במשולש אגד: אד = 5 משבצות (גובה), גד = 5 משבצות (מ-5 עד 10). שני הניצבים שווים – המשולש שווה-שוקיים ✓

• במשולש אדה: אד = 5 משבצות, דה = 3 משבצות. הניצבים לא שווים – לא שווה-שוקיים.

• גם במשולש אבד הזווית ב-ד ישרה, אבל בד = 7 משבצות ואד = 5 – לא שווים.

לכן המשולש המבוקש הוא אגד.

התשובה: $\frac{11}{15}$

צריך מכנה משותף ל-3 ול-5: המספר 15.

$\frac{1}{3}=\frac{5}{15}$, ו-$\frac{2}{5}=\frac{6}{15}$.

$\frac{5}{15}+\frac{6}{15}=\frac{11}{15}$.

טעות נפוצה: לחבר מונים ומכנים – $\frac{1+2}{3+5}=\frac{3}{8}$. זה לא נכון.

התשובה: $2\frac{5}{8}$

כותבים את 5 כ-$4\frac{8}{8}$ (פורטים שלם אחד לשמיניות).

$4\frac{8}{8}-2\frac{3}{8}$: שלמים $4-2=2$, שמיניות $8-3=5$.

יוצא $2\frac{5}{8}$.

דרך נוספת: מ-$2\frac{3}{8}$ עד 3 חסרות $\frac{5}{8}$, ומ-3 עד 5 חסרים 2. יחד $2\frac{5}{8}$.

התשובה: 1

$1.30$ ו-$1.3$ הם אותו מספר – אפס בסוף החלק העשרוני לא משנה את הערך.

$1.3-0.3=1$.

(במאונך: $1.30-0.30=1.00=1$.)

טעות נפוצה: לחסר 3 מ-30 ולקבל $1.27$.

התשובה: 3

$\frac{1}{10}=0.1$, ולכן $2\frac{1}{10}=2.1$.

$2.1+0.9=3$.

או בשברים: $0.9=\frac{9}{10}$, ו-$2\frac{1}{10}+\frac{9}{10}=2\frac{10}{10}=3$.

התשובה: 8 בנות.

$\frac{1}{5}$ מ-40: $40:5=8$ בנות.

התשובה: פי 4.

מספר הבנים: $40-8=32$.

$32:8=4$, כלומר מספר הבנים גדול פי 4 ממספר הבנות.

טעות נפוצה: לענות 24 – זה ההפרש ($32-8$), ולא "פי כמה".

תשובה לדוגמה (ציון מלא):

"הבנות הן $\frac{1}{5}$ מהילדים, ולכן הבנים הם $\frac{4}{5}$. ארבע חמישיות זה פי 4 מחמישית אחת, ולכן יש פי 4 בנים."

הסבר טוב נוסף: "יש 8 בנות ו-$40-8=32$ בנים. $8\times4=32$ (או $32:8=4$), ולכן הבנים פי 4."

מה הבודק מחפש: הסבר שמראה את הקשר הכפלי – בין השברים $\frac{4}{5}$, $\frac{1}{5}$ והמספר 4, או בין המספרים 32, 8 ו-4.

התשובה הנכונה: $\frac{9}{8}$.

כותבים כל שבר כמספר מעורב:

$\frac{9}{8}=1\frac{1}{8}$, $\frac{8}{7}=1\frac{1}{7}$, $\frac{7}{6}=1\frac{1}{6}$, $\frac{6}{5}=1\frac{1}{5}$.

בכולם יש שלם אחד, ולכן משווים רק את החלק שאחרי השלם: $\frac{1}{8}$, $\frac{1}{7}$, $\frac{1}{6}$, $\frac{1}{5}$.

כשמחלקים שלם ליותר חלקים, כל חלק קטן יותר. לכן $\frac{1}{8}$ הוא הקטן ביותר, ו-$\frac{9}{8}$ הוא המספר הקטן ביותר.

למה לא $\frac{6}{5}$? המונה והמכנה שלו הם המספרים הקטנים ביותר, אבל דווקא הוא הגדול ביותר: $1\frac{1}{5}$.

למה לא $\frac{8}{7}$ או $\frac{7}{6}$? הם $1\frac{1}{7}$ ו-$1\frac{1}{6}$, ושניהם גדולים מ-$1\frac{1}{8}$.

תשובה לדוגמה (ציון מלא):

"$\frac{9}{8}=1\frac{1}{8}$, $\frac{8}{7}=1\frac{1}{7}$, $\frac{7}{6}=1\frac{1}{6}$, $\frac{6}{5}=1\frac{1}{5}$. בכולם יש שלם אחד ועוד חלק אחד. כשמחלקים שלם ל-8 חלקים, כל חלק קטן יותר מאשר כשמחלקים אותו ל-7, 6 או 5 חלקים. לכן $1\frac{1}{8}$ הוא הקטן ביותר."

הסברים טובים נוספים:

• על ישר המספרים: כל המספרים נמצאים קצת אחרי 1, ו-$\frac{9}{8}$ הוא הקרוב ביותר ל-1, כי הוא רחוק מ-1 רק שמינית.

• בעזרת מכנה משותף או מונה משותף, עם הסבר על גודל החלקים.

מה הבודק מחפש: הסבר שמתבסס על גודל החלקים: שהשלם זהה בכולם, ושככל שהמכנה גדול יותר החלק ($\frac{1}{8}$, $\frac{1}{7}$...) קטן יותר; או הסבר על המרחק מ-1 על ישר המספרים.

התשובה: 1.5 מטרים.

בשתי השעות יחד הצב התקדם: $7.5+3=10.5$ מטרים.

מה שנשאר: $12-10.5=1.5$ מטרים.

דרך נוספת: $12-7.5=4.5$, ואחר כך $4.5-3=1.5$.

התשובה הנכונה: יותר מ-$\frac{1}{2}$ מהדרך ופחות מ-$\frac{2}{3}$ מהדרך.

כל הדרך היא 12 מטרים. מחשבים כמה מטרים הם כל אחד מהשברים:

• $\frac{1}{3}$ מ-12: $12:3=4$ מטרים.

• $\frac{1}{2}$ מ-12: $12:2=6$ מטרים.

• $\frac{2}{3}$ מ-12: $2\times4=8$ מטרים.

בשעה הראשונה הצב עבר 7.5 מטרים. 7.5 גדול מ-6 וקטן מ-8, ולכן הוא עבר יותר מחצי הדרך ופחות משני שלישים ממנה.

למה לא "פחות מ-$\frac{1}{3}$"? זה פחות מ-4 מטרים, והצב עבר 7.5.

למה לא "בין $\frac{1}{3}$ ל-$\frac{1}{2}$"? זה בין 4 ל-6 מטרים – פחות מ-7.5.

למה לא "יותר מ-$\frac{2}{3}$"? זה יותר מ-8 מטרים. מי שבוחר בזה אולי חיבר את שתי השעות ($10.5$ מטרים) במקום להסתכל רק על השעה הראשונה.

התשובה: $\frac{3}{4}$ ו-$\frac{3}{12}$.

מצמצמים את השברים כדי לראות אותם טוב יותר:

$\frac{3}{12}=\frac{1}{4}$, $\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$, $\frac{3}{4}$ נשאר, ו-$\frac{3}{8}$ נשאר.

$\frac{3}{4}+\frac{1}{4}=\frac{4}{4}=1$ ✓ ולכן מקיפים את $\frac{3}{4}$ ואת $\frac{3}{12}$.

בדיקת זוגות אחרים: $\frac{1}{2}+\frac{3}{8}=\frac{7}{8}$ – פחות מ-1; $\frac{3}{4}+\frac{1}{2}$ – יותר מ-1.

התשובה: $\frac{3}{4}$ ו-$\frac{3}{6}$ (גם $\frac{3}{4}$ ו-$\frac{3}{8}$ נכון).

$\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$, ו-$\frac{3}{4}+\frac{1}{2}=\frac{3}{4}+\frac{2}{4}=\frac{5}{4}=1\frac{1}{4}$ – יותר מ-1 ✓

גם $\frac{3}{4}+\frac{3}{8}=\frac{6}{8}+\frac{3}{8}=\frac{9}{8}=1\frac{1}{8}$ – יותר מ-1 ✓

כל זוג שאין בו את $\frac{3}{4}$ נותן פחות מ-1 (למשל $\frac{3}{6}+\frac{3}{8}=\frac{7}{8}$).

תשובה לדוגמה (ציון מלא):

"בסעיף א מצאנו ש-$\frac{3}{4}+\frac{3}{12}=1$. לכל השברים יש אותו מונה (3), ולכן שבר עם מכנה קטן יותר הוא גדול יותר: $\frac{3}{6}$ גדול מ-$\frac{3}{12}$. אם מחליפים את $\frac{3}{12}$ בשבר גדול ממנו, הסכום עם $\frac{3}{4}$ יהיה גדול מ-1."

הסבר טוב נוסף: "$\frac{3}{6}$ הוא חצי, ו-$\frac{3}{4}$ גדול מחצי. חצי ועוד משהו שגדול מחצי זה יותר משלם."

מה הבודק מחפש: הסבר שמשתמש בהשוואת שברים (ולא בחישוב הסכום): או על סמך סעיף א (מחליפים את $\frac{3}{12}$ בשבר גדול ממנו), או על סמך חצי ($\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$ ו-$\frac{3}{4}$ גדול מ-$\frac{1}{2}$).