מבחן מיצ"ב במתמטיקה לכיתה ה' (נוסח 2014) - עם פתרונות מלאים

התשובה: 60,038.

"שישים אלף" = 60,000.

"שלושים ושמונה" = 38.

מחברים: $60{,}000+38=60{,}038$.

שימו לב: אין מאות, ולכן בספרת המאות כותבים 0. המספר הוא 60,038 (חמש ספרות: 6, 0, 0, 3, 8).

טעות נפוצה: לכתוב 6,038 או 60,38 – שוכחים את האפס במקום המאות.

התשובה: 6,895.

מחברים במאונך, מהאחדות:

• אחדות: $8+7=15$. כותבים 5 ומעבירים 1 לעשרות.

• עשרות: $6+2+1=9$.

• מאות: $3+5=8$.

• אלפים: $2+4=6$.

התוצאה: 6,895.

בדיקה באומדן: $2{,}400+4{,}500=6{,}900$ – קרוב ל-6,895 ✓

התשובה הנכונה: $50^\circ$.

זווית א' קטנה יותר מזווית ישרה (פינה של דף). זווית כזאת נקראת זווית חדה, והגודל שלה קטן מ-$90^\circ$.

מבין האפשרויות רק $50^\circ$ קטן מ-$90^\circ$.

למה לא $90^\circ$? זו זווית ישרה. הקרן בסרטוט נוטה הצידה ואינה עומדת זקופה על הקו, ולכן הזווית אינה ישרה.

למה לא $130^\circ$? זו זווית קהה. $130^\circ$ הוא הגודל של הזווית השנייה, מהצד הימני של הקרן ($180^\circ-50^\circ=130^\circ$), ולא של זווית א'.

למה לא $180^\circ$? זו זווית שטוחה – קו ישר. זווית א' היא רק חלק קטן מהקו הישר.

התשובה: צובעים 12 משבצות.

במלבן יש 4 שורות של 5 משבצות: $4\times5=20$ משבצות.

$\frac{1}{5}$ מ-20 הוא $20:5=4$ משבצות.

$\frac{3}{5}$ מ-20 הוא $3\times4=12$ משבצות.

דרך קלה: במלבן יש 5 עמודות, וכל עמודה היא $\frac{1}{5}$ מהמלבן. צובעים 3 עמודות שלמות (בכל אחת 4 משבצות) – בסך הכול 12 משבצות.

אפשר לצבוע כל 12 משבצות, לא חייבים לצבוע אותן זו ליד זו.

התשובה הנכונה: משולש שווה-שוקיים חד-זוויות.

הצלעות: במעוין כל ארבע הצלעות שוות. לכל משולש אפור יש שתי צלעות שהן צלעות של המעוין, ולכן שתי הצלעות האלה שוות. משולש עם שתי צלעות שוות הוא משולש שווה-שוקיים.

הזוויות: הזווית בקודקוד השמאלי של המעוין היא זווית חדה (פינה "חדה" וצרה). שתי הזוויות האחרות של המשולש שוות זו לזו (כי המשולש שווה-שוקיים). סכום הזוויות במשולש הוא $180^\circ$. הזווית החדה קטנה מ-$90^\circ$, ולכן לשתי הזוויות השוות נשאר יותר מ-$90^\circ$ ביחד, אבל פחות מ-$180^\circ$. כל אחת מהן קטנה מ-$90^\circ$. כלומר, כל שלוש הזוויות חדות – זהו משולש חד-זוויות.

למה לא "שווה-שוקיים קהה-זווית"? הזווית למעלה ולמטה במעוין כולו היא קהה, אבל האלכסון חוצה אותה, ולמשולש האפור שייך רק חצי ממנה – וזו זווית חדה.

למה לא "שונה-צלעות חד-זוויות"? שתי צלעות של המשולש הן צלעות של המעוין, והן שוות, ולכן המשולש אינו שונה-צלעות.

למה לא "שונה-צלעות קהה-זווית"? גם הצלעות וגם הזוויות לא מתאימות: יש שתי צלעות שוות, ואין זווית קהה.

התשובה: 32,300 אנשים.

מכל המבקרים מורידים את אלה שטיילו בצפון ובמרכז:

$326{,}800-294{,}500$

מחסרים במאונך: אחדות $0-0=0$, עשרות $0-0=0$, מאות $8-5=3$, אלפים $6-4=2$.

בעשרות האלפים: $2-9$ אי אפשר, ולכן פורטים מאה אלף אחד: $12-9=3$, ובמאות האלפים נשאר $3-1-2=0$.

התוצאה: $32{,}300$.

בדיקה: $294{,}500+32{,}300=326{,}800$ ✓

התשובה הנכונה: 2,409,000 ו-2,509,000.

100,000 הוא מאה אלף. כשמוסיפים 100,000 למספר, ספרת מאות האלפים גדלה ב-1, ושאר הספרות לא משתנות.

ב-2,409,000 ספרת מאות האלפים היא 4. ב-2,509,000 היא 5. כל שאר הספרות זהות.

לכן: $2{,}509{,}000-2{,}409{,}000=100{,}000$ ✓

למה לא 2,399,000 ו-2,400,000? הרבה ספרות משתנות, וזה נראה כמו הפרש גדול, אבל: $2{,}400{,}000-2{,}399{,}000=1{,}000$ – רק אלף.

למה לא 2,377,000 ו-2,387,000? כאן השתנתה ספרת עשרות האלפים (7 ל-8), ולכן ההפרש הוא $10{,}000$.

למה לא 2,409,000 ו-2,410,000? כאן השתנו רק ספרת עשרות האלפים (0 ל-1) וספרת האלפים (9 ל-0), וספרת מאות האלפים נשארה 4. ההפרש הוא רק אלף: $2{,}410{,}000-2{,}409{,}000=1{,}000$.

התשובה: 1,280 ש"ח.

המחיר של הכדורים: $17\times40=680$ ש"ח (כי $17\times4=68$, ומוסיפים אפס).

המחיר של חבלי הקפיצה: $20\times30=600$ ש"ח (כי $2\times3=6$, ומוסיפים שני אפסים).

בסך הכול: $680+600=1{,}280$ ש"ח.

התשובה הנכונה: בערך 2,800 מדבקות.

39 קרוב מאוד ל-40. מעגלים: 39 ≈ 40.

מחשבים: $70\times40=2{,}800$ (כי $7\times4=28$, ומוסיפים שני אפסים).

למה לא בערך 210? זה $70\times3$: לקחו רק את הספרה 3 מתוך 39, כאילו יש 3 חבילות.

למה לא בערך 280? זה $70\times4$: עיגלו נכון ל-40, אבל שכחו את האפס של 40.

למה לא בערך 2,100? זה $70\times30$: "עיגלו" את 39 ל-30 על ידי מחיקת ספרת האחדות. העשרת הקרובה ל-39 היא 40, לא 30.

תשובה לדוגמה (ציון מלא):

"$643\times8$ הוא 8 פעמים 643, ו-$643\times9$ הוא 9 פעמים 643. בתרגיל ב' יש עוד פעם אחת 643, כי ההפרש בין 9 ל-8 הוא 1. לכן התוצאה של תרגיל ב' גדולה ב-643."

הסבר:

כפל הוא חיבור חוזר:

$643\times8=643+643+643+643+643+643+643+643$ (8 פעמים)

$643\times9=643+643+643+643+643+643+643+643+643$ (9 פעמים)

בתרגיל ב' יש מחובר אחד יותר, ולכן ההפרש הוא 643.

אפשר לכתוב זאת גם כך:

$643\times9-643\times8=643\times(9-8)=643\times1=643$

מה הבודק מחפש: הסבר שמדבר על ההפרש בין הגורמים (9 ו-8, ההפרש 1) ועל גודל ההפרש בין התוצאות (643). לא מספיק לכתוב "תרגיל ב' גדול יותר כי כופלים ב-9" – צריך להסביר בכמה.

התשובה הנכונה: $350:5$.

$\frac{1}{5}$ מ-350 פירושו: מחלקים את 350 ל-5 חלקים שווים ולוקחים חלק אחד.

לכן מחלקים: $350:5=70$.

למה לא $350-5$? מורידים 5 מ-350 ומקבלים 345 – כמעט כל הכמות, ולא חמישית ממנה.

למה לא $350+5$? בחיבור מקבלים מספר גדול מ-350, אבל חלק מכמות צריך להיות קטן מהכמות.

למה לא $350\times5$? כפל ב-5 נותן פי 5 מ-350 (1,750), ולא חמישית ממנו.

תשובה לדוגמה: $\frac{5}{10}-\frac{3}{10}=\frac{1}{5}$.

קודם כותבים את $\frac{1}{5}$ בעשיריות: $\frac{1}{5}=\frac{2}{10}$ (כופלים מונה ומכנה ב-2).

עכשיו צריך שני שברים בעשיריות שההפרש ביניהם הוא $\frac{2}{10}$.

כלומר, המונה הראשון גדול ב-2 מהמונה השני.

למשל 5 ו-3: $\frac{5}{10}-\frac{3}{10}=\frac{2}{10}=\frac{1}{5}$ ✓

יש עוד הרבה תשובות נכונות: 9 ו-7, 4 ו-2, 10 ו-8 ועוד.

התשובה: ב-$4\frac{5}{6}$.

"בכמה גדול" – מחסרים: $7\frac{1}{6}-2\frac{1}{3}$.

מכנה משותף 6: $2\frac{1}{3}=2\frac{2}{6}$.

$7\frac{1}{6}-2\frac{2}{6}$: אי אפשר להוריד $\frac{2}{6}$ מ-$\frac{1}{6}$, ולכן פורטים שלם: $7\frac{1}{6}=6\frac{7}{6}$.

$6\frac{7}{6}-2\frac{2}{6}=4\frac{5}{6}$.

בדיקה: $2\frac{2}{6}+4\frac{5}{6}=6\frac{7}{6}=7\frac{1}{6}$ ✓

התשובה (משמאל לימין): $\frac{2}{10}=\frac{1}{5}$, $\frac{7}{10}$, $\frac{12}{10}=1\frac{1}{5}$.

מ-0 עד $\frac{1}{2}$ יש 5 קפיצות שוות (סופרים את הקווים).

$\frac{1}{2}=\frac{5}{10}$, ולכן כל קפיצה היא $\frac{1}{10}$.

• המשבצת הראשונה נמצאת 2 קפיצות אחרי 0: $\frac{2}{10}=\frac{1}{5}$.

• המשבצת השנייה נמצאת 2 קפיצות אחרי $\frac{1}{2}$: $\frac{5}{10}+\frac{2}{10}=\frac{7}{10}$.

• המשבצת השלישית נמצאת 12 קפיצות אחרי 0: $\frac{12}{10}=1\frac{2}{10}=1\frac{1}{5}$. (המספר 1 נמצא 10 קפיצות אחרי 0, והמשבצת עוד 2 קפיצות אחריו.)

התשובה: $1\frac{2}{5}$.

$4\times\frac{1}{5}=\frac{4}{5}$ (4 חמישיות).

$3\times\frac{1}{5}=\frac{3}{5}$ (3 חמישיות).

$\frac{4}{5}+\frac{3}{5}=\frac{7}{5}$ (בסך הכול 7 חמישיות).

$\frac{7}{5}=\frac{5}{5}+\frac{2}{5}=1\frac{2}{5}$.

התשובה: 34 ק"ג.

ממוצע = סכום כל הכמויות, מחולק במספר העצים.

$30.5+26.5=57$

$25.5+53.5=79$

$57+79=136$ ק"ג

(אפשר גם לחבר קודם את השלמים: $30+26+25+53=134$, ואת החצאים: $4\times0.5=2$. ביחד $136$.)

$136:4=34$ ק"ג.

בדיקה: $4\times34=136$ ✓

שימו לב: עץ ד' נתן הרבה יותר זיתים, ולכן הממוצע (34) גבוה מהכמות של שלושת העצים האחרים.

מה הבודק מחפש: בדרך הפתרון רואים חיבור של ארבע הכמויות וחלוקה של הסכום ב-4.

תשובה לדוגמה: $\frac{19}{30}$.

מרחיבים את שני השברים למכנה משותף 15: $\frac{3}{5}=\frac{9}{15}$, $\frac{2}{3}=\frac{10}{15}$.

בין 9 ל-10 אין מספר שלם, ולכן מרחיבים עוד פי 2 (מכנה 30): $\frac{18}{30}$ ו-$\frac{20}{30}$.

בין 18 ל-20 נמצא 19, ולכן $\frac{19}{30}$ נמצא בין השברים:

$\frac{18}{30}<\frac{19}{30}<\frac{20}{30}$ ✓

תשובות נכונות נוספות: $\frac{5}{8}$, $\frac{37}{60}$, $\frac{13}{20}$ (= 0.65), $0.62$, $0.65$ (כי $\frac{3}{5}=0.6$ ו-$\frac{2}{3}$ קצת יותר מ-0.66).

התשובה: $0.12,\ 0.16,\ 0.20,\ 0.24,\ 0.28,\ 0.32$.

מוצאים את הקפיצה: $0.20-0.16=0.04$ ו-$0.24-0.20=0.04$. כל קפיצה היא 4 מאיות.

(הסדרה כתובה משמאל לימין. גם מי שקורא אותה מימין לשמאל יקבל באותן משבצות את אותם מספרים, כי ההפרש בין כל שני מספרים סמוכים הוא 0.04 בשני הכיוונים.)

• המספר הראשון בא לפני 0.16: $0.16-0.04=0.12$.

• אחרי 0.24: $0.24+0.04=0.28$.

• ואחריו: $0.28+0.04=0.32$.

שימו לב: בין 0.12 ל-0.16 ובין 0.28 ל-0.32 עוברים את 0.20 ואת 0.30 – זה בסדר, כי סופרים במאיות: 28 מאיות ועוד 4 מאיות הן 32 מאיות.

התשובה: $\frac{50}{250}=\frac{1}{5}$.

$\frac{1}{6}$ מ-300: $300:6=50$ ש"ח.

מאיה שילמה 50 ש"ח מתוך 250 ש"ח: $\frac{50}{250}$.

מצמצמים ב-50: $\frac{50}{250}=\frac{1}{5}$.

בדיקה: $250:5=50$ ✓

שימו לב: התשובה אינה $\frac{1}{6}$, אף שהמשחק זהה. למאיה יש פחות כסף, ולכן אותו מחיר הוא חלק גדול יותר מהכסף שלה.

מה הבודק מחפש: (1) חישוב המחיר של המשחק (50 ש"ח); (2) הצגת המחיר כחלק מתוך 250.

התשובה הנכונה: כל המרובעים שבסרטוט הם מקביליות.

בסרטוט יש ריבוע (משמאל), מלבן (באמצע) ומעוין (מימין).

מקבילית היא מרובע שבו כל שתי צלעות נגדיות מקבילות.

• בריבוע ובמלבן הצלעות הנגדיות מקבילות (הן הולכות לאורך קווי הרשת).

• גם במעוין כל שתי צלעות נגדיות מקבילות.

לכן שלושתם מקביליות.

למה לא "מעוינים"? במעוין כל ארבע הצלעות שוות. במלבן שבסרטוט צלע אחת ארוכה (5 משבצות) והאחרת קצרה (2 משבצות), ולכן הוא לא מעוין. (הריבוע הוא כן מעוין.)

למה לא "מלבנים"? במלבן כל הזוויות ישרות. במעוין שבסרטוט הזוויות אינן ישרות, ולכן הוא לא מלבן.

למה לא "ריבועים"? רק המרובע השמאלי הוא ריבוע. המלבן אינו ריבוע (הצלעות לא שוות), והמעוין אינו ריבוע (הזוויות לא ישרות).

התשובה: 1 – אינו שווה; 2 – שווה; 3 – שווה.

משולש א': האלכסון חוצה את המלבן לשני משולשים שווים, ולכן משולש א' הוא חצי מהמלבן.

כלל חשוב: משולש שאחת מצלעותיו היא צלע שלמה של המלבן, והקודקוד השלישי שלו נמצא על הצלע שממול, הוא תמיד חצי מהמלבן. (הבסיס שלו הוא הצלע של המלבן, והגובה שלו שווה לצלע השנייה של המלבן.)

• מלבן 1: הבסיס של המשולש הוא רק חלק מהצלע התחתונה של המלבן (הוא לא מגיע עד הפינה הימנית). הגובה הוא כל רוחב המלבן, אבל הבסיס קצר יותר – לכן המשולש קטן מחצי מלבן. אינו שווה.

• מלבן 2: הבסיס של המשולש הוא כל הצלע העליונה של המלבן, והקודקוד השלישי נמצא על הצלע התחתונה. לכן המשולש הוא חצי מלבן. שווה.

• מלבן 3: הבסיס של המשולש הוא כל הצלע השמאלית של המלבן, והקודקוד השלישי נמצא על הצלע הימנית. גם הוא חצי מלבן. שווה.

(אפשר לבדוק במספרים: אם המלבן הוא 6 על 2, השטח שלו 12 ומשולש א' הוא 6. במלבן 1 הבסיס הוא 4 מתוך 6, והשטח $4\times2:2=4$.)

התשובה: 3 סמ"ק.

נפח תיבה = אורך × רוחב × גובה.

• מכל א': $4\times1\times6=24$ סמ"ק (כמות המים בהתחלה).

• מכל ב': $1\times1\times6=6$ סמ"ק.

• מכל ג': $3\times1\times5=15$ סמ"ק.

כדי למלא את ב' ואת ג' צריך: $6+15=21$ סמ"ק.

נשאר במכל א': $24-21=3$ סמ"ק.

מה הבודק מחפש: בדרך הפתרון רואים שהנפח של מכל א' הוא 24 סמ"ק, ושהנפח של מכל ב' ומכל ג' ביחד הוא 21 סמ"ק.

התשובה הנכונה: בשעה 17:40.

שלב 1 – מתי עומר הגיע לתחנה? 17:20 ועוד 25 דקות: $20+25=45$, כלומר 17:45.

שלב 2 – מתי יצא האוטובוס? 5 דקות לפני 17:45: $45-5=40$, כלומר 17:40.

למה לא 17:35? זה 10 דקות לפני ההגעה של עומר: הורידו פעמיים 5 דקות.

למה לא 17:45? זו השעה שבה עומר הגיע לתחנה. האוטובוס יצא 5 דקות לפני כן.

למה לא 17:50? כאן הוסיפו 5 דקות במקום להוריד אותן – "לפני" פירושו מוקדם יותר.

התשובה: 80 ס"מ.

שלב 1 – המרה לסנטימטרים: במטר אחד יש 100 ס"מ, ולכן ב-4 מטרים יש $4\times100=400$ ס"מ.

שלב 2 – אורך צלע: למחומש 5 צלעות שוות, וההיקף הוא הסכום שלהן. מחלקים: $400:5=80$ ס"מ.

בדיקה: $5\times80=400$ ס"מ = 4 מטרים ✓

מה הבודק מחפש: המרה נכונה ממטרים לסנטימטרים (400 ס"מ), וחלוקה ב-5.

התשובה: 3.5 מ'.

שטח המקבילית = בסיס × גובה (הגובה הוא הקו המקווקו, שיוצר זווית ישרה עם הבסיס).

$6\times3.5=21$ מ"ר. (חישוב: $6\times3=18$, $6\times0.5=3$, ביחד 21.)

המלבן: השטח שלו גם 21 מ"ר, וצלע אחת שלו 6 מ'.

צלע א' = $21:6=3.5$ מ'.

דרך קצרה: הבסיס של המקבילית (6 מ') שווה לצלע הידועה של המלבן (6 מ'), ולכן כדי שהשטחים יהיו שווים, צלע א' צריכה להיות שווה לגובה של המקבילית – 3.5 מ'.

בדיקה: $6\times3.5=21$ ✓

טעות נפוצה: להשתמש בצלע המשופעת (4 מ') במקום בגובה – אז מקבלים שטח 24 וצלע א' של 4 מ'. זה לא נכון, כי שטח מקבילית מחשבים עם הגובה.