מבחן מיצ"ב במתמטיקה לכיתה ה' (נוסח 2017) - עם פתרונות מלאים

התשובה הנכונה: איור 2.

באיור 2 הריבוע מחולק ל-4 ריבועים קטנים שווים בגודלם, ו-3 מהם צבועים באפור.

כשמחלקים שלם ל-4 חלקים שווים, כל חלק הוא $\frac{1}{4}$, ולכן 3 חלקים הם $\frac{3}{4}$.

למה לא איור 1? באיור 1 יש 5 פסים שווים, ו-3 מהם צבועים. זה $\frac{3}{5}$ ולא $\frac{3}{4}$. מי שבוחר בו סופר רק את החלקים הצבועים ושוכח לבדוק לכמה חלקים מחולק השלם.

למה לא איור 3? גם כאן יש 4 חלקים ו-3 מהם צבועים, אבל החלקים אינם שווים: החלק הלבן גדול מאוד, ושלושת החלקים האפורים יחד הם רק רבע מהריבוע.

למה לא איור 4? גם כאן יש 4 חלקים ו-3 צבועים, אבל החלקים אינם שווים: החלק הלבן הוא חצי ריבוע, ולכן החלק האפור הוא רק $\frac{1}{2}$.

התשובה: 8.

במספר עשרוני, הספרה הראשונה אחרי הנקודה היא ספרת העשיריות, והשנייה אחרי הנקודה היא ספרת המאיות.

במספר $406.85$: הספרות 4, 0, 6 הן מאות, עשרות ויחידות. אחרי הנקודה באה הספרה 8 (עשיריות), ואחריה הספרה 5 (מאיות).

לכן ספרת העשיריות היא 8.

שימו לב: הספרה 0 היא ספרת העשרות (לפני הנקודה), ולא ספרת העשיריות.

התשובה: ג (או ה – גם היא נכונה).

זווית קהה היא זווית גדולה מזווית ישרה (גדולה מ-$90^\circ$) וקטנה מזווית שטוחה.

בודקים כל קדקוד בעזרת קווי המשבצות:

• בקדקודים א ו-ב הצלעות הולכות לאורך קווי המשבצות, אחת לרוחב ואחת לגובה. אלה זוויות ישרות.

• בקדקוד ג צלע אחת יורדת ישר למטה, והצלע השנייה עולה באלכסון שמאלה. הפתח בין שתי הצלעות רחב יותר מפינה של משבצת – זו זווית קהה.

• בקדקוד ה צלע אחת יורדת ישר למטה, והצלע השנייה עולה באלכסון ימינה. גם כאן הפתח רחב יותר מפינה של משבצת – זווית קהה.

• בקדקוד ד מגיעות שתי צלעות אלכסוניות. אפשר לבדוק בעזרת פינה של דף שהזווית ביניהן היא בדיוק זווית ישרה, ולכן היא לא קהה.

לכן אפשר לכתוב ג או ה.

התשובה: 5,280.

מחפשים מספר שאם מורידים ממנו 2,640, נשארים עם 2,640.

כלומר המספר החסר גדול ב-2,640 מ-2,640. לכן מחברים:

$2{,}640 + 2{,}640$

• יחידות: $0+0=0$

• עשרות: $4+4=8$

• מאות: $6+6=12$ – כותבים 2 ומעבירים 1 לאלפים.

• אלפים: $2+2+1=5$

מקבלים $5{,}280$.

בדיקה: $5{,}280 - 2{,}640 = 2{,}640$ ✓

התשובה: 310 ש"ח.

מחלקים את כל הסכום ל-6 חלקים שווים: $1{,}860:6$.

• אלף אחד לא מספיק, אז מתחילים מ-18 מאות: $18:6=3$ – כותבים 3 במאות. נשאר 0.

• מורידים את ספרת העשרות 6: $6:6=1$ – כותבים 1 בעשרות. נשאר 0.

• מורידים את ספרת היחידות 0: $0:6=0$ – כותבים 0 ביחידות.

מקבלים $310$.

בדיקה: $310\times6=1{,}860$ ✓

שימו לב: אסור לשכוח את ה-0 בסוף. התשובה 31 שגויה, כי $31\times6=186$.

התשובה: 8 אלפים.

80 מאות הן $80\times100=8{,}000$.

$8{,}000$ הם 8 אלפים.

דרך נוספת: 10 מאות הן אלף אחד. ב-80 מאות יש $80:10=8$ קבוצות של 10 מאות, כלומר 8 אלפים.

התשובה הנכונה: "בכל שעה מספר תאי השמרים גדל בערך פי 3."

בודקים כמה פעמים המספר "נכנס" במספר של השעה הבאה. נעגל כדי לחשב בקלות:

• מ-400,000 ל-1,190,000: בערך 1,200,000, ו-$400{,}000\times3=1{,}200{,}000$. כלומר בערך פי 3.

• מ-1,190,000 ל-3,610,000: בערך מ-1,200,000 ל-3,600,000, ו-$1{,}200{,}000\times3=3{,}600{,}000$. שוב בערך פי 3.

• מ-3,610,000 ל-10,780,000: בערך מ-3,600,000 ל-10,800,000, ו-$3{,}600{,}000\times3=10{,}800{,}000$. שוב בערך פי 3.

בכל שעה המספר גדל בערך פי 3.

למה לא "גדל בערך ב-800,000"? זה נכון רק בשעה הראשונה ($1{,}190{,}000-400{,}000=790{,}000$). בשעות הבאות התוספת גדולה הרבה יותר (בערך 2,400,000 ואחר כך בערך 7,200,000).

למה לא "גדל בערך ב-2,400,000"? זה נכון רק בשעה השנייה. התוספת לא קבועה – היא גדלה בכל שעה.

למה לא "גדל בערך פי 2"? פי 2 מ-400,000 הוא רק 800,000, אבל אחרי שעה היו כמעט 1,200,000. המספר גדל מהר יותר מפי 2.

התשובה הנכונה: נטע.

כדי להשוות, כותבים את שני המספרים באותה צורה.

דרך 1 – הופכים את השבר הפשוט לשבר עשרוני:

$\frac{2}{5}=\frac{4}{10}=0.4$ (כופלים מונה ומכנה ב-2).

$0.4$ קטן מ-$0.5$, ולכן $0.5$ גדול מ-$\frac{2}{5}$.

דרך 2 – הופכים את השבר העשרוני לשבר פשוט:

$0.5=\frac{5}{10}$, ו-$\frac{2}{5}=\frac{4}{10}$. $\frac{5}{10}$ גדול מ-$\frac{4}{10}$.

דרך 3 – משווים לחצי: $0.5$ הוא בדיוק חצי. חצי מ-5 הוא $2\frac{1}{2}$, ו-2 קטן מזה, ולכן $\frac{2}{5}$ קטן מחצי.

למה לא אורי? אולי אורי חשב שהספרה 5 במכנה "גדולה", או השווה את 2 ל-0.5 בלי להתחשב במכנה. אבל $\frac{2}{5}$ הוא רק $0.4$.

תשובה לדוגמה לציון מלא: "נטע צודקת, כי $\frac{2}{5}=\frac{4}{10}=0.4$, ו-$0.4$ קטן מ-$0.5$."

הבודק מחפש: סימון "נטע" והסבר שמשווה בין המספרים אחרי שינוי אחד מהם לצורה של השני, או השוואה של שניהם לנקודת ייחוס (למשל חצי).

תשובה לדוגמה: $7.205 = 7+\frac{2}{10}+\frac{0}{100}+\frac{5}{1{,}000}$.

במספר $7.205$: 7 שלמים, 2 עשיריות, 0 מאיות ו-5 אלפיות.

• 2 עשיריות הן $\frac{2}{10}$.

• 0 מאיות הן $\frac{0}{100}$.

• 5 אלפיות הן $\frac{5}{1{,}000}$.

בדיקה: $\frac{2}{10}=0.2$, $\frac{5}{1{,}000}=0.005$, ו-$7+0.2+0+0.005=7.205$ ✓

יש עוד השלמות נכונות, למשל $7+\frac{0}{10}+\frac{0}{100}+\frac{205}{1{,}000}$ (כי $\frac{205}{1{,}000}=0.205$), או $7+\frac{0}{10}+\frac{20}{100}+\frac{5}{1{,}000}$.

התשובה: כל התלמידים יחד הם שלם אחד, ולכן כל החלקים בדיאגרמת העוגה צריכים להצטרף בדיוק ל-1. כאן הם מצטרפים ליותר מ-1.

דרך 1 – מחברים את כל השברים. מכנה משותף הוא 24:

$\frac{1}{2}=\frac{12}{24}$, $\frac{1}{3}=\frac{8}{24}$, $\frac{1}{8}=\frac{3}{24}$, $\frac{1}{12}=\frac{2}{24}$

$\frac{12}{24}+\frac{8}{24}+\frac{3}{24}+\frac{2}{24}=\frac{25}{24}$, וזה יותר משלם ($\frac{24}{24}$).

דרך 2 – בלי לחבר הכול: $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{5}{6}$, ולכן לג'ודו ולטניס נשאר רק $\frac{1}{6}$ (כלומר $\frac{4}{24}$). אבל $\frac{1}{8}+\frac{1}{12}=\frac{3}{24}+\frac{2}{24}=\frac{5}{24}$, וזה יותר מ-$\frac{4}{24}$.

תשובה לדוגמה לציון מלא: "כל החלקים יחד צריכים להיות שלם אחד, אבל $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{8}+\frac{1}{12}=\frac{25}{24}$, וזה יותר מ-1."

הבודק מחפש: הסבר שעוסק בכך שסכום החלקים בדיאגרמה שונה מ-1 (שלם).

התשובה: $\frac{15}{20}=\frac{30}{40}=\frac{3}{4}=\frac{6}{8}$.

• $\frac{\square}{40}$: המכנה 20 הפך ל-40, כלומר כפלנו ב-2. כופלים גם את המונה ב-2: $15\times2=30$. לכן $\frac{30}{40}$.

• $\frac{3}{\square}$: המונה 15 הפך ל-3, כלומר חילקנו ב-5. מחלקים גם את המכנה ב-5: $20:5=4$. לכן $\frac{3}{4}$.

• $\frac{\square}{8}$: מ-$\frac{3}{4}$ – המכנה 4 הפך ל-8, כלומר כפלנו ב-2. $3\times2=6$. לכן $\frac{6}{8}$.

התשובה: $4\frac{3}{4}$ ק"ג.

דרך 1 – קודם מחברים את מה שהוגש, ואחר כך מחסרים מ-12:

• מה שהוגש: $4\frac{3}{4}+2\frac{1}{2}=4\frac{3}{4}+2\frac{2}{4}=6\frac{5}{4}=7\frac{1}{4}$ ק"ג.

• מה שנשאר: $12-7\frac{1}{4}=4\frac{3}{4}$ ק"ג (כי $7\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=8$, ו-$8+4=12$).

דרך 2 – מחסרים בשני שלבים:

• אחרי הצהריים: $12-4\frac{3}{4}=7\frac{1}{4}$ ק"ג.

• אחרי הערב: $7\frac{1}{4}-2\frac{1}{2}=7\frac{1}{4}-2\frac{2}{4}=6\frac{5}{4}-2\frac{2}{4}=4\frac{3}{4}$ ק"ג.

תשובה לדוגמה לציון מלא: "$4\frac{3}{4}+2\frac{1}{2}=7\frac{1}{4}$; $12-7\frac{1}{4}=4\frac{3}{4}$. הועברו $4\frac{3}{4}$ ק"ג."

הבודק מחפש: תשובה נכונה ודרך פתרון נכונה שכוללת לפחות אחד משני השלבים (חיבור הכמויות שהוגשו, או חיסור מ-12).

התשובה הנכונה: $\frac{3}{10}$ מהלוח.

קודם מחשבים איזה חלק מהלוח השתמשה מאיה לכריכה ולשלט: $\frac{1}{5}+\frac{1}{2}$.

מכנה משותף ל-5 ול-2 הוא 10: $\frac{1}{5}=\frac{2}{10}$, $\frac{1}{2}=\frac{5}{10}$.

$\frac{2}{10}+\frac{5}{10}=\frac{7}{10}$.

כל הלוח הוא $\frac{10}{10}$. מה שנשאר: $\frac{10}{10}-\frac{7}{10}=\frac{3}{10}$.

למה לא $\frac{7}{10}$? זה החלק שהשתמשו בו לכריכה ולשלט, ולא החלק שנשאר לכרטיס.

למה לא $\frac{5}{7}$? כאן חיברו מונה עם מונה ומכנה עם מכנה: $\frac{1+1}{5+2}=\frac{2}{7}$, ואז חיסרו מ-1. אסור לחבר מכנים.

למה לא $\frac{4}{10}$? כאן הרחיבו נכון רק שבר אחד: $\frac{1}{2}=\frac{5}{10}$, אבל את $\frac{1}{5}$ כתבו $\frac{1}{10}$ (בלי לכפול את המונה). כך קיבלו $\frac{6}{10}$, ונשאר $\frac{4}{10}$.

התשובה הנכונה: דנה.

• שירה: $\frac{1}{4}$ מ-120 זה $120:4=30$ קולות.

• טל: 37 קולות.

• שירה וטל יחד: $30+37=67$ קולות.

• דנה קיבלה את כל השאר: $120-67=53$ קולות.

53 גדול מ-37 ומ-30, ולכן דנה קיבלה הכי הרבה קולות.

דרך נוספת בלי לחשב את כל הקולות של דנה: שירה קיבלה רבע. אילו גם טל הייתה מקבלת רבע (30 קולות), לדנה היה נשאר חצי. טל קיבלה רק עוד 7 קולות מעבר לרבע, ולכן לדנה נשאר כמעט חצי – הרבה יותר מכל אחת מהאחרות.

למה לא שירה? $\frac{1}{4}$ אולי נשמע הרבה, אבל רבע מ-120 הוא רק 30 קולות – הכי מעט מבין שלוש המועמדות.

למה לא טל? טל קיבלה 37 קולות, אבל דנה קיבלה 53.

תשובה לדוגמה לציון מלא: "דנה. שירה קיבלה $120:4=30$ קולות, טל 37, ויחד $30+37=67$. דנה קיבלה $120-67=53$, הכי הרבה."

הבודק מחפש: חישוב נכון של מספר הקולות (לפחות) או של החלק שקיבלו המועמדות, והשוואה ביניהן.

התשובה:

שורה 2: הצלעות הארוכות הן 10 משבצות והקצרות 3 משבצות, וכל הזוויות ישרות. זה מלבן.

• מלבן הוא מקבילית (הצלעות הנגדיות מקבילות).

• הוא לא מעוין ולא ריבוע, כי הצלעות שלו לא כולן שוות (10 ו-3).

לכן מסמנים: מקביליות ומלבנים.

שורה 3: סופרים משבצות: לכל צלע יש אורך של 4 משבצות, וכל הזוויות ישרות. זה ריבוע.

• ריבוע הוא מלבן, כי כל הזוויות שלו ישרות.

• ריבוע הוא מעוין, כי כל הצלעות שלו שוות.

• ריבוע הוא מקבילית, כי כל שתי צלעות נגדיות מקבילות.

לכן מסמנים את כל ארבע המשפחות.

התשובה: 26.

הממוצע של שני מספרים הוא הסכום שלהם חלקי 2.

אם הממוצע הוא 30, הסכום של שני המספרים הוא $30\times2=60$.

המספר השני: $60-34=26$.

בדיקה: $34+26=60$, ו-$60:2=30$ ✓

דרך נוספת: הממוצע נמצא בדיוק באמצע בין שני המספרים. 34 גדול מ-30 ב-4, ולכן המספר השני קטן מ-30 ב-4: $30-4=26$.

התשובה הנכונה: 4,600 גרם.

קודם הופכים את 6 הקילוגרמים לגרמים: בקילוגרם אחד יש 1,000 גרם, ולכן $6\times1{,}000=6{,}000$ גרם.

התרמיל הריק כבר שוקל 1,400 גרם. נשאר מקום ל-:

$6{,}000-1{,}400=4{,}600$ גרם.

(אפשר לחשב בשלבים: $6{,}000-1{,}000=5{,}000$, ואז $5{,}000-400=4{,}600$.)

בדיקה: $4{,}600+1{,}400=6{,}000$ ✓

למה לא 5,600 גרם? כאן הורידו רק 400 גרם ושכחו להוריד את ה-1,000 גרם של התרמיל.

למה לא 4,400 גרם? זו טעות בפריטה: במאות צריך לחשב $10-4=6$, אבל כתבו 4.

למה לא 3,600 גרם? כאן הורידו אלף אחד יותר מדי, כנראה בגלל פריטה כפולה מהאלפים.