מבחן מיצ"ב במתמטיקה לכיתה ה' (נוסח 2016) - עם פתרונות מלאים

התשובה: צובעים 6 משבצות.

הריבוע מחולק ל-100 משבצות שוות, ולכן כל משבצת היא $\frac{1}{100}$ מהריבוע, כלומר $0.01$.

$0.06$ הוא 6 מאיות: $0.06=\frac{6}{100}$.

לכן צובעים 6 משבצות. לא משנה איפה הן נמצאות בריבוע. למשל:

שימו לב: $0.6$ זה 6 עשיריות, כלומר 60 משבצות. כאן הספרה 6 נמצאת במקום המאיות, ולכן צובעים רק 6 משבצות.

התשובה: $0.03$.

$\frac{3}{100}$ הם 3 מאיות.

בשבר עשרוני: הספרה הראשונה אחרי הנקודה היא העשיריות, והספרה השנייה היא המאיות.

אין כאן עשיריות, ולכן במקום העשיריות כותבים 0, ובמקום המאיות כותבים 3:

$\frac{3}{100}=0.03$

שימו לב: $0.3$ זה 3 עשיריות ($\frac{3}{10}$), וזה פי 10 יותר גדול.

התשובה: $5{,}804$.

מחברים במאונך, מהאחדות לאלפים:

• אחדות: $6+8=14$. כותבים 4 ומעבירים 1 לעשרות.

• עשרות: $0+9+1=10$. כותבים 0 ומעבירים 1 למאות.

• מאות: $7+0+1=8$.

• אלפים: $3+2=5$.

התוצאה: $5{,}804$.

בדיקה בדרך אחרת: $2{,}098$ הוא $2{,}100$ פחות 2. $3{,}706+2{,}100=5{,}806$, ועוד פחות 2: $5{,}804$ ✓

התשובה: $2{,}961$.

מפרקים את 47 ל-40 ול-7, וכופלים כל חלק ב-63:

$63\times7=441$ (כי $60\times7=420$ ו-$3\times7=21$, ו-$420+21=441$)

$63\times40=2{,}520$ (כי $63\times4=252$, ומוסיפים 0)

מחברים: $2{,}520+441=2{,}961$.

בדיקה באומדן: $60\times50=3{,}000$, והתוצאה קרובה לזה ✓

התשובה: $74$.

מפרקים את 296 לחלקים שקל לחלק ב-4:

$296=280+16$

$280:4=70$

$16:4=4$

$70+4=74$

בדיקה: $74\times4=296$ ✓

תשובה לדוגמה (ציון מלא): "רונה לא פתרה לפי סדר פעולות החשבון. היא חיברה קודם $9+3$, אבל צריך קודם לכפול ולחלק, ורק בסוף לחבר."

הסבר: בתרגיל שיש בו חיבור וגם כפל או חילוק, קודם מבצעים את הכפל והחילוק (משמאל לימין), ורק אחר כך את החיבור והחיסור.

רונה התחילה מ-$9+3=12$, כלומר עשתה את החיבור ראשון, ולכן קיבלה תוצאה שגויה.

מה הבודק מחפש: תשובה שעוסקת בסדר פעולות החשבון. אפשר לכתוב באופן כללי ("לא פתרה לפי סדר הפעולות") או באופן מוחשי ("חיברה את 9 ו-3 לפני הכפל", "היה צריך קודם לחשב $3\times8:4$").

התשובה: $15$.

קודם כפל וחילוק, משמאל לימין:

$3\times8=24$

$24:4=6$

עכשיו החיבור:

$9+6=15$

כלומר: $9+3\times8:4=9+24:4=9+6=15$.

התשובה: 42 חרוזים.

בין הפעם הראשונה (336 חרוזים) לפעם השנייה (294 חרוזים) עדי הכינה שרשרת אחת בדיוק.

לכן מספר החרוזים בשרשרת הוא ההפרש:

$336-294=42$

התשובה: 378 חרוזים.

אחרי השרשרת הראשונה נשארו 336 חרוזים. לפני שהכינה אותה, היו לה עוד 42 חרוזים (החרוזים של השרשרת הראשונה):

$336+42=378$

בדיקה: $378-42-42=294$ ✓

התשובה: 9 שרשראות.

דרך 1: לפני שהתחילה היו לעדי 378 חרוזים, ובכל שרשרת 42 חרוזים. מחלקים:

$378:42=9$

איך מחשבים בלי מחשבון? בודקים כפולות של 42: $42\times10=420$ (יותר מדי), $42\times9=420-42=378$ ✓.

דרך 2: נשארו לה 294 חרוזים אחרי שתי שרשראות. $294:42=7$ (כי $42\times7=294$). עוד 7 שרשראות ועוד 2 שכבר הכינה: $7+2=9$.

מה הבודק מחפש: דרך פתרון נכונה שמחשבת כמה שרשראות אפשר להכין מכל החרוזים, ותשובה נכונה. טעות נפוצה היא לשכוח את שתי השרשראות הראשונות ולענות 7.

התשובה: 8 תלמידים.

כל ציור של ילד הוא תלמיד אחד. מעל המספר 3 יש 8 ציורים.

התשובה: 4 תלמידים.

מי שלא קרא אף ספר קרא 0 ספרים. מעל המספר 0 יש 4 ציורים.

התשובה: 11 תלמידים.

"יותר מ-3" פירושו 4, 5, 6 או 7 ספרים (3 עצמו לא נכלל).

• 4 ספרים: 7 תלמידים

• 5 ספרים: תלמיד אחד

• 6 ספרים: אף תלמיד

• 7 ספרים: 3 תלמידים

$7+1+0+3=11$

התשובה: $\frac{1}{30}$.

קודם סופרים את כל התלמידים בכיתה:

$4+2+5+8+7+1+0+3=30$ תלמידים.

בדיוק 5 ספרים קרא תלמיד אחד. לכן החלק הוא 1 מתוך 30:

$\frac{1}{30}$

התשובה: המשפט הראשון לא נכון, השני נכון, השלישי נכון.

בכיתה 30 תלמידים. מחשבים כמה זה כל חלק מ-30:

• $\frac{1}{3}$ מ-30 הם $30:3=10$ תלמידים. יותר משלושה ספרים קראו 11 תלמידים (סעיף ג), ו-11 אינו 10. לא נכון.

• $\frac{1}{5}$ מ-30 הם $30:5=6$ תלמידים. פחות משני ספרים פירושו 0 או 1 ספרים: $4+2=6$ תלמידים. נכון.

• $\frac{1}{6}$ מ-30 הם $30:6=5$ תלמידים. שני ספרים בדיוק קראו 5 תלמידים. נכון.

התשובה: $5\frac{7}{12}$.

מחברים שלמים לחוד ושברים לחוד.

שלמים: $3+2=5$.

שברים: צריך מכנה משותף. 12 מתחלק ב-6, ולכן מרחיבים את $\frac{1}{6}$ פי 2:

$\frac{1}{6}=\frac{2}{12}$

$\frac{2}{12}+\frac{5}{12}=\frac{7}{12}$

ביחד: $5\frac{7}{12}$.

התשובה: $2\frac{4}{9}$.

אי-אפשר להחסיר $\frac{7}{9}$ מ-$\frac{2}{9}$, כי $\frac{2}{9}$ קטן יותר. לכן "פורטים" שלם אחד מה-6:

$6\frac{2}{9}=5+1+\frac{2}{9}=5+\frac{9}{9}+\frac{2}{9}=5\frac{11}{9}$

עכשיו מחסירים:

שלמים: $5-3=2$

שברים: $\frac{11}{9}-\frac{7}{9}=\frac{4}{9}$

ביחד: $2\frac{4}{9}$.

בדיקה: $2\frac{4}{9}+3\frac{7}{9}=5\frac{11}{9}=6\frac{2}{9}$ ✓

שימו לב לטעות נפוצה: להחסיר "הפוך" $\frac{7}{9}-\frac{2}{9}=\frac{5}{9}$ ולקבל $3\frac{5}{9}$. זה לא נכון.

התשובה: $\frac{12}{7}=1\frac{5}{7}$.

כפל שלם בשבר הוא חיבור חוזר:

$4\times\frac{3}{7}=\frac{3}{7}+\frac{3}{7}+\frac{3}{7}+\frac{3}{7}=\frac{12}{7}$

$\frac{12}{7}$ הם $\frac{7}{7}$ (שלם אחד) ועוד $\frac{5}{7}$, כלומר $1\frac{5}{7}$.

התשובה: מאיה.

הסבר: שתיהן רכבו אותו זמן – 10 דקות. מי שעוברת חלק גדול יותר מהמסלול באותו זמן, רוכבת מהר יותר.

מאיה עברה $\frac{1}{4}$ ונוגה עברה $\frac{1}{5}$. כשמחלקים את המסלול ל-4 חלקים שווים, כל חלק גדול יותר מאשר כשמחלקים אותו ל-5 חלקים. לכן $\frac{1}{4}>\frac{1}{5}$.

(אפשר גם במכנה משותף: $\frac{1}{4}=\frac{5}{20}$ ו-$\frac{1}{5}=\frac{4}{20}$, ו-$\frac{5}{20}>\frac{4}{20}$.)

הסבר אחר: מאיה צריכה $4\times10=40$ דקות לכל המסלול, ונוגה צריכה $5\times10=50$ דקות. מאיה גומרת את אותו מסלול בפחות זמן, ולכן היא מהירה יותר.

תשובה לדוגמה (ציון מלא): "מאיה. בתוך אותן 10 דקות מאיה עברה רבע מהמסלול ונוגה רק חמישית, ורבע גדול מחמישית."

מה הבודק מחפש: השוואה בין המהירויות – או השוואה בין החלקים שעברו באותו זמן (צריך להזכיר שהזמן שווה וגם שהחלק של מאיה גדול יותר), או השוואה בין הזמנים שכל אחת צריכה לאותו מרחק.

התשובה: 10 דקות.

1. מאיה עוברת $\frac{1}{4}$ מהמסלול ב-10 דקות. את כל המסלול (4 רבעים) היא עוברת ב-$4\times10=40$ דקות.

2. נוגה עוברת $\frac{1}{5}$ מהמסלול ב-10 דקות. את כל המסלול (5 חמישיות) היא עוברת ב-$5\times10=50$ דקות.

3. ההפרש: $50-40=10$ דקות.

כלומר מאיה מגיעה לסוף אחרי 40 דקות, ונוגה מגיעה 10 דקות אחריה.

תשובה לדוגמה (ציון מלא): "10 דקות. למאיה לוקח 40 דקות לעבור את כל המסלול, כי 4 רבעים ו-10 דקות לכל רבע. לנוגה לוקח 50 דקות, כי 5 חמישיות. $50-40=10$."

שימו לב: התשובה יצאה 10, כמו מספר הדקות שבשאלה, אבל זה לא "סתם" – צריך לחשב את הזמנים כדי להראות את זה.

מה הבודק מחפש: תשובה נכונה, והסבר (במילים, בתרגילים או באיור) שמחושבים בו הזמנים שכל אחת צריכה לכל המסלול, או לחלק המסלול שנשאר לה.

התשובה: הצעה 1 מתאימה, הצעה 2 לא מתאימה, הצעה 3 מתאימה.

"לפחות 4 ליטר" פירושו 4 ליטר או יותר.

• הצעה 1: $6\times\frac{3}{4}=\frac{18}{4}=4\frac{2}{4}=4\frac{1}{2}$ ליטר. זה יותר מ-4. מתאימה.

• הצעה 2: $1\frac{1}{2}+1\frac{1}{2}=3$, ועוד $\frac{1}{2}$: $3\frac{1}{2}$ ליטר. זה פחות מ-4. לא מתאימה.

• הצעה 3: $5\times\frac{1}{2}=2\frac{1}{2}$ ליטר, ו-$2\times\frac{3}{4}=1\frac{1}{2}$ ליטר. ביחד: $2\frac{1}{2}+1\frac{1}{2}=4$ ליטר. בדיוק 4, וזה מספיק ("לפחות 4" כולל גם 4). מתאימה.

תשובה לדוגמה (ציון מלא):

הצעה 1: 2 בקבוקים של $1\frac{1}{2}$ ליטר ו-2 בקבוקים של $\frac{1}{2}$ ליטר.

בדיקה: $1\frac{1}{2}+1\frac{1}{2}=3$, ו-$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$. ביחד $3+1=4$ ליטר ✓

הצעה 2: 4 בקבוקים של $\frac{3}{4}$ ליטר ו-2 בקבוקים של $\frac{1}{2}$ ליטר.

בדיקה: $4\times\frac{3}{4}=\frac{12}{4}=3$, ו-$2\times\frac{1}{2}=1$. ביחד 4 ליטר ✓

אפשרויות נכונות נוספות: 8 בקבוקים של $\frac{1}{2}$ ליטר; בקבוק אחד של $1\frac{1}{2}$ ליטר ו-5 בקבוקים של $\frac{1}{2}$ ליטר; בקבוק אחד של $1\frac{1}{2}$ ליטר, 2 בקבוקים של $\frac{3}{4}$ ליטר ו-2 בקבוקים של $\frac{1}{2}$ ליטר.

רעיון שעוזר: לחפש קבוצות שיוצרות ליטר שלם, למשל 2 חצאים = 1 ליטר, 4 רבעי-שלושה = 3 ליטר, $1\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=2$ ליטר.

מה הבודק מחפש: שתי הצעות שונות, כל אחת עם סכום של בדיוק 4 ליטר, ורק עם הבקבוקים שבאיור.

התשובה: 60 גולות.

הגולות הלבנות הן $\frac{1}{4}$ מכל הגולות, כלומר רבע אחד מתוך ארבעה רבעים.

רבע אחד הוא 15 גולות, ולכן ארבעה רבעים הם:

$4\times15=60$ גולות.

בדיקה: $\frac{1}{4}$ מ-60 הוא $60:4=15$ ✓

התשובה: $\frac{13}{20}$.

דרך 1 – בעזרת שברים:

1. מוצאים איזה חלק הן הגולות הצהובות והלבנות יחד. מכנה משותף ל-10 ול-4 הוא 20:

$\frac{1}{10}=\frac{2}{20}$, $\frac{1}{4}=\frac{5}{20}$

$\frac{2}{20}+\frac{5}{20}=\frac{7}{20}$

2. כל הגולות הן שלם אחד, כלומר $\frac{20}{20}$. השקופות הן מה שנשאר:

$\frac{20}{20}-\frac{7}{20}=\frac{13}{20}$

דרך 2 – בעזרת מספר הגולות (מסעיף א יש 60 גולות):

צהובות: $60:10=6$. לבנות: 15. שקופות: $60-6-15=39$.

החלק: $\frac{39}{60}$, ובצמצום (מחלקים מונה ומכנה ב-3): $\frac{13}{20}$.

מה הבודק מחפש: תשובה נכונה ודרך פתרון. טעות נפוצה היא לעצור אחרי החיבור ולענות $\frac{7}{20}$ – זה החלק של הצהובות והלבנות, ולא של השקופות.

התשובה: מרובע 2, מרובע 4, מרובע 6.

• מרובע 2 הוא מקבילית: הצלע העליונה מקבילה לתחתונה, ושתי הצלעות המשופעות מקבילות זו לזו.

• מרובע 4 הוא מעוין: כל מעוין הוא גם מקבילית, ולכן יש לו שני זוגות של צלעות מקבילות.

• מרובע 6 הוא מלבן: כל שתי צלעות נגדיות מקבילות.

למה לא מרובע 3? הוא טרפז: רק הצלע העליונה והתחתונה מקבילות. שתי הצלעות המשופעות נוטות לכיוונים שונים.

למה לא מרובעים 1 ו-5? אין בהם אף זוג של צלעות מקבילות.

התשובה: מרובע 5.

צלעות סמוכות הן צלעות שנפגשות בקדקוד.

במרובע 5 הצלע התחתונה והצלע הימנית (האנכית) נפגשות בפינה הימנית התחתונה, ואורך כל אחת מהן 3 משבצות. אלה צלעות סמוכות שוות. שתי הצלעות האחרות (העליונה המשופעת והשמאלית המשופעת) שונות באורכן זו מזו ומשתי הצלעות האלה. לכן יש לו זוג אחד בלבד.

למה לא מרובע 1? זה דלתון, ויש לו שני זוגות של צלעות סמוכות שוות (שתי הצלעות הקצרות למעלה, ושתי הארוכות למטה).

למה לא מרובע 4? במעוין כל ארבע הצלעות שוות, כך שיש בו יותר מזוג אחד.

במרובעים 2, 3 ו-6 אין צלעות סמוכות שוות.

התשובה: מרובע 1 ומרובע 4.

דלתון הוא מרובע שיש בו שני זוגות של צלעות סמוכות שוות.

• מרובע 1: שתי הצלעות העליונות שוות זו לזו, ושתי הצלעות התחתונות (הארוכות) שוות זו לזו. זה דלתון.

• מרובע 4 הוא מעוין: כל הצלעות שלו שוות, ולכן יש בו בוודאי שני זוגות של צלעות סמוכות שוות. כל מעוין הוא גם דלתון.

למה לא מרובע 5? יש בו רק זוג אחד של צלעות סמוכות שוות (סעיף ב).

התשובה: הגובה הוא קטע שיורד מקדקוד ג ישר למטה, עד ההמשך של הצלע התחתונה.

גובה מקדקוד הוא קטע שיוצא מהקדקוד ומאונך לצלע שמולו (או להמשך שלה).

הצלע שמול קדקוד ג היא הצלע התחתונה (האופקית). קו שמאונך לה הוא קו אנכי.

אבל קדקוד ג נמצא משמאל לצלע התחתונה, ולכן הקו האנכי שיוצא ממנו לא פוגש את הצלע עצמה. לכן ממשיכים את הצלע התחתונה שמאלה (בקו מקווקו), ומסרטטים את הגובה עד ההמשך הזה:

הגובה יורד 6 משבצות ופוגש את ההמשך של הצלע 4 משבצות משמאל לקדקוד התחתון. זה קורה כי במשולש הזה יש זווית קהה (בקדקוד השמאלי התחתון), והגובה מקדקוד ג נמצא מחוץ למשולש.

מה הבודק מחפש: קטע מקדקוד ג, מאונך לישר של הצלע התחתונה, שמגיע בדיוק עד הישר הזה (עד ההמשך שלה).

התשובה: הגובה הוא קטע שיוצא מקדקוד ד ופוגש את הצלע הארוכה (העליונה) בזווית ישרה.

הצלע שמול קדקוד ד היא הצלע הארוכה, שעולה משמאל למטה לימין למעלה. מסרטטים מקדקוד ד קו שמאונך לצלע הזאת (בעזרת פינה של דף או משולש סרגל), עד שהוא פוגש אותה:

כאן הגובה נמצא בתוך המשולש, כי הוא יוצא מהקדקוד של הזווית הקהה.

שימו לב: הגובה לא אנכי לשולי הדף – הוא מאונך לצלע המשופעת, ולכן הוא נוטה מעט.

מה הבודק מחפש: קטע מקדקוד ד שמאונך לצלע שמולו ומגיע אליה.