מבחן מיצ"ב במתמטיקה לכיתה ה' (נוסח 2013) - עם פתרונות מלאים

התשובה: 5,938.

כותבים את המספרים זה מתחת לזה, אחדות מתחת לאחדות:

• אחדות: $7+1=8$.

• עשרות: $4+9=13$. כותבים 3 ומעבירים 1 למקום המאות.

• מאות: $2+6+1=9$.

• אלפים: 5.

התוצאה: $5{,}938$.

בדיקה בעזרת אומדן: $5{,}247$ הוא בערך 5,200, ו-691 הוא בערך 700. $5{,}200+700=5{,}900$ – קרוב לתשובה.

התשובה: 4,544.

כותבים במאונך ומחסרים מימין לשמאל:

• אחדות: $9-5=4$.

• עשרות: $6-2=4$.

• מאות: 2 קטן מ-7, ולכן "לווים" אלף אחד: 2 מאות נהיות 12 מאות, ובמקום האלפים נשארים 7. $12-7=5$.

• אלפים: $7-3=4$.

התוצאה: $4{,}544$.

בדיקה: $4{,}544+3{,}725=8{,}269$ ✓

התשובה: 40.

אפשר להוריד אפס אחד גם מהמחולק וגם מהמחלק – התוצאה לא משתנה:

$2{,}800:70=280:7$

$28:7=4$, ולכן $280:7=40$.

בדיקה: $70\times40=2{,}800$ ✓

התשובה הנכונה: זווית חדה.

בסרטוט רואים שהזווית א' "צרה" – היא קטנה מזווית ישרה (מפינה של דף).

זווית חדה היא זווית שקטנה מ-$90^\circ$. בסעיף ב נראה שהזווית א' היא $65^\circ$.

למה לא זווית קהה? הזווית הקהה במקבילית היא הזווית של $115^\circ$, ולא הזווית א'.

למה לא זווית ישרה? במקבילית שאינה מלבן אין זוויות ישרות.

למה לא זווית שטוחה? זווית שטוחה היא $180^\circ$ ונראית כמו קו ישר. זווית של מצולע תמיד קטנה ממנה.

התשובה: $65^\circ$.

במקבילית, זוויות נגדיות (שנמצאות זו מול זו) שוות זו לזו.

הזווית א' נמצאת מול הזווית של $65^\circ$ (בפינה השמאלית העליונה), ולכן גם היא $65^\circ$.

דרך נוספת: שתי זוויות סמוכות במקבילית (על אותה צלע) משלימות זו את זו ל-$180^\circ$.

הזווית א' והזווית של $115^\circ$ נמצאות על אותה צלע (הצלע התחתונה), ולכן: $180-115=65$.

התשובה: 1,442.

מפרקים את 103 ל-100 ועוד 3:

$100\times14=1{,}400$

$3\times14=42$

$1{,}400+42=1{,}442$

התשובה: 40.

לפי סדר פעולות החשבון, קודם מחלקים ורק אחר כך מחברים:

$60:3=20$

$20+20=40$

שימו לב: מי שמחבר קודם ($20+60=80$) ואחר כך מחלק, מקבל $80:3$ – וזו טעות בסדר הפעולות.

התשובה: 52.

2 קטן מ-4, ולכן מתחילים מ-20 עשרות:

$20:4=5$ – זו ספרת העשרות.

$8:4=2$ – זו ספרת האחדות.

התוצאה: 52.

בדיקה: $52\times4=208$ ✓

תשובה אפשרית: 55 (כל מספר שגדול מ-50 וקטן מ-60 מתאים).

מחפשים מתי $40\times\square$ שווה בדיוק לגבולות:

$40\times50=2{,}000$

$40\times60=2{,}400$

התוצאה צריכה להיות בין 2,000 ל-2,400 (בלי הגבולות עצמם), ולכן המספר במשבצת צריך להיות בין 50 ל-60.

למשל: $40\times55=2{,}200$, ו-2,200 באמת גדול מ-2,000 וקטן מ-2,400 ✓

תשובה אפשרית: 52 (כל מספר בין 50 ל-60 שלא נכתב בסעיף א).

$40\times52=2{,}080$, וזה גדול מ-2,000 וקטן מ-2,400 ✓

התשובה: 13 שקיות מלאות.

צריך לבדוק כמה פעמים 12 נכנס ב-165:

$12\times10=120$

$12\times13=156$

$12\times14=168$ – זה כבר יותר מ-165.

לכן אפשר למלא 13 שקיות שלמות, ונשארות לחמניות שלא ממלאות שקית: $165:12=13$ (שארית 9).

תשובה מלאה (2 נק'): $165:12=13$ ושארית 9, ולכן 13 שקיות מלאות.

הבודק מחפש: דרך שמראה כמה פעמים 12 נכנס ב-165 (חילוק, כפל חוזר, חיבור חוזר או הסבר במילים), ותשובה שהיא מספר שלם – 13. תשובה עם שארית (למשל "13 שארית 9" כתשובה הסופית) נחשבת שגויה.

התשובה: 9 לחמניות.

ב-13 שקיות מלאות יש $13\times12=156$ לחמניות.

$165-156=9$

כלומר, השארית של החילוק $165:12$ היא 9 – אלה הלחמניות שבשקית שאינה מלאה.

התשובה: 45 ש"ח.

ליאור קנה 18 כרטיסים, ו-$18:6=3$. כלומר הוא קנה פי 3 כרטיסים מהדר.

לכן הוא שילם פי 3: $15\times3=45$ ש"ח.

התשובה: 10 כרטיסים.

דרך 1: 6 כרטיסים עולים 15 ש"ח, ולכן 2 כרטיסים עולים שליש מזה: $15:3=5$ ש"ח.

ב-25 ש"ח יש 5 פעמים 5 ש"ח ($25:5=5$), ולכן אפשר לקנות $5\times2=10$ כרטיסים.

דרך 2: כרטיס אחד עולה $15:6=2.5$ ש"ח, כלומר 2 ש"ח ו-50 אגורות. $25:2.5=10$.

בדיקה: 10 כרטיסים עולים $5\times5=25$ ש"ח ✓

התשובה: פי 4.

סופרים חלקים בעיגול: ספורט תופס 4 חלקים מתוך 8, ואומנות תופסת חלק אחד.

$4:1=4$, ולכן מספר הילדים שבחרו בספורט גדול פי 4.

התשובה: 450 ילדים.

אומנות היא חלק אחד מתוך 8, ולכן בכל חלק יש 150 ילדים.

מוזיקה תופסת 3 חלקים: $3\times150=450$ ילדים.

התשובה: 1,200 ילדים.

בעיגול יש 8 חלקים שווים, ובכל חלק 150 ילדים:

$8\times150=1{,}200$

בדיקה: ספורט $4\times150=600$, מוזיקה 450, אומנות 150. $600+450+150=1{,}200$ ✓

יש שתי אפשרויות:

אפשרות 1 – הצלע של 7 ס"מ היא שוק. אז גם השוק השנייה 7 ס"מ:

$7+7=14$, $19-14=5$. הבסיס: 5 ס"מ. הצלעות: 7, 7, 5.

אפשרות 2 – הצלע של 7 ס"מ היא הבסיס. אז לשתי השוקיים יחד נשאר:

$19-7=12$, ו-$12:2=6$. כל שוק: 6 ס"מ. הצלעות: 7, 6, 6.

בשני המקרים אפשר באמת לבנות משולש (כל צלע קצרה מסכום שתי האחרות).

בסעיף א כותבים אחת מהן, למשל: 7 ס"מ, 7 ס"מ, 5 ס"מ.

כותבים את האפשרות השנייה מסעיף א. אם בסעיף א נכתב 7, 7, 5 – כאן כותבים 7 ס"מ, 6 ס"מ, 6 ס"מ (ולהפך).

בדיקה: $7+6+6=19$ ✓ ו-$7+7+5=19$ ✓

תשובה לדוגמה: טרפז ישר-זווית (ראו סרטוט א).

מסרטטים צלע תחתונה אופקית, ובקצה הימני שלה צלע אנכית (זווית ישרה ראשונה). מלמעלה ממשיכים צלע אופקית שמאלה (זווית ישרה שנייה), ואז סוגרים את המרובע בקו משופע אל הצלע התחתונה.

שתי הזוויות שליד הקו המשופע אינן ישרות: אחת חדה ואחת קהה.

שימו לב: מלבן או ריבוע לא מתאימים – יש בהם 4 זוויות ישרות.

תשובה לדוגמה: ראו סרטוט ב.

מסרטטים זווית ישרה משתי צלעות על קווי המשבצות (צלע אופקית וצלע אנכית). את הקצוות שלהן לא מחברים בקו אחד (כי אז יוצא משולש), אלא בשני קטעים שנפגשים בנקודה רביעית, "שבורה" פנימה או החוצה.

כך יש למרובע זווית ישרה אחת, ושלוש הזוויות האחרות אינן ישרות.

התשובה: $1\frac{5}{24}$ (או $\frac{29}{24}$).

מחפשים מכנה משותף ל-6 ול-8. המספר הקטן ביותר ששניהם מתחלקים בו הוא 24.

$\frac{5}{6}=\frac{5\times4}{6\times4}=\frac{20}{24}$

$\frac{3}{8}=\frac{3\times3}{8\times3}=\frac{9}{24}$

$\frac{20}{24}+\frac{9}{24}=\frac{29}{24}=1\frac{5}{24}$

התשובה: $2\frac{4}{7}$.

$\frac{2}{7}$ קטן מ-$\frac{5}{7}$, ולכן "פורטים" שלם אחד לשביעיות:

$3\frac{2}{7}=2+1+\frac{2}{7}=2\frac{9}{7}$

$2\frac{9}{7}-\frac{5}{7}=2\frac{4}{7}$

בדיקה: $2\frac{4}{7}+\frac{5}{7}=2\frac{9}{7}=3\frac{2}{7}$ ✓

התשובה: 6.76.

כותבים את המספרים זה מתחת לזה כך שהנקודות העשרוניות יהיו זו מתחת לזו. אפשר להוסיף 0: $4.7=4.70$.

$4.70+2.06$:

• מאיות: $0+6=6$.

• עשיריות: $7+0=7$.

• שלמים: $4+2=6$.

התוצאה: 6.76.

טעות נפוצה: לחבר "ספרה מתחת לספרה" מימין, בלי ליישר את הנקודות, ולקבל 2.53.

התשובה: $2\frac{1}{4}$ ק"מ.

באיור רואים שכדי ללכת מהבית של דן לספרייה עוברים ליד הבית של נועם. לכן מחברים את שני המרחקים:

$\frac{1}{2}+1\frac{3}{4}$

$\frac{1}{2}=\frac{2}{4}$

$\frac{2}{4}+1\frac{3}{4}=1\frac{5}{4}$

$\frac{5}{4}=1\frac{1}{4}$, ולכן $1\frac{5}{4}=2\frac{1}{4}$.

המרחק: $2\frac{1}{4}$ ק"מ.

התשובה: 1,750 מטרים.

בקילומטר אחד יש 1,000 מטרים.

$\frac{3}{4}$ ק"מ הם $1{,}000:4\times3=250\times3=750$ מטרים.

$1\frac{3}{4}$ ק"מ $=1{,}000+750=1{,}750$ מטרים.

תשובה אפשרית: 1 (כל מספר שגדול מ-0.32 וקטן מ-1.32 מתאים).

• כמה חסר ל-2.68 כדי להגיע ל-3? $3-2.68=0.32$.

• כמה חסר כדי להגיע ל-4? $4-2.68=1.32$.

המספר במשבצת צריך להיות גדול מ-0.32 וקטן מ-1.32.

למשל: $2.68+1=3.68$, ו-3.68 נמצא בין 3 ל-4 ✓

תשובה אפשרית: 0.1 (כל מספר שגדול מ-0 וקטן מ-0.32 מתאים).

• כדי שהתוצאה תהיה גדולה מ-2.68, צריך להוסיף מספר גדול מ-0.

• כדי שהתוצאה תהיה קטנה מ-3, צריך להוסיף פחות מ-$3-2.68=0.32$.

למשל: $2.68+0.1=2.78$, ו-2.78 נמצא בין 2.68 ל-3 ✓

התשובה: $\frac{1}{4}+\frac{5}{8}>\frac{1}{4}+\frac{4}{9}$.

בשני הצדדים יש את אותו מחובר, $\frac{1}{4}$. לכן הצד הגדול יותר הוא הצד שבו המחובר השני גדול יותר.

$\frac{5}{8}$ גדול מחצי (כי חצי הוא $\frac{4}{8}$), ו-$\frac{4}{9}$ קטן מחצי (כי חצי הוא $4\frac{1}{2}$ תשיעיות).

לכן $\frac{5}{8}>\frac{4}{9}$, והסכום השמאלי גדול יותר.

תשובה מלאה (3 נק'):

"בשני התרגילים מחברים את אותו מספר, $\frac{1}{4}$. לכן צריך להשוות רק בין $\frac{5}{8}$ לבין $\frac{4}{9}$. $\frac{5}{8}$ גדול מחצי, ו-$\frac{4}{9}$ קטן מחצי, ולכן $\frac{5}{8}$ גדול יותר, והתרגיל הראשון גדול יותר."

הבודק מחפש שני מרכיבים:

1. התייחסות למחובר השווה בשני התרגילים ($\frac{1}{4}$).

2. התייחסות לכך ש-$\frac{5}{8}$ גדול מ-$\frac{4}{9}$ (בכל דרך נכונה, למשל השוואה לחצי).

מקבלים גם הסבר שכולל רק את המרכיב השני.

התשובה הנכונה: $\frac{8}{3}$.

הקטע המודגש הוא בין 2 ל-3. בודקים כל מספר:

• $\frac{8}{3}=2\frac{2}{3}$ – בין 2 ל-3 ✓

• $\frac{3}{5}$ – קטן מ-1 (המונה קטן מהמכנה).

• $\frac{5}{4}=1\frac{1}{4}$ – בין 1 ל-2.

• $\frac{7}{4}=1\frac{3}{4}$ – בין 1 ל-2.

למה לא $\frac{3}{5}$? זה שבר קטן מ-1, ולכן הוא בין 0 ל-1.

למה לא $\frac{5}{4}$? הוא רק קצת יותר מ-1.

למה לא $\frac{7}{4}$? הוא קרוב ל-2 אבל עדיין קטן ממנו ($\frac{8}{4}=2$). מי שבוחר בו אולי מסתכל רק על המונה 7 שנראה "גדול".

תשובה אפשרית: 7 (כל מספר מ-6 עד 9 מתאים).

שליש של מספר צריך להיות בין 2 ל-3.

• $\frac{1}{3}\times6=2$ – זה בדיוק הקצה השמאלי של הקטע.

• $\frac{1}{3}\times9=3$ – זה בדיוק הקצה הימני של הקטע.

לכן המספר במשבצת צריך להיות בין 6 ל-9. למשל: $\frac{1}{3}\times7=\frac{7}{3}=2\frac{1}{3}$, שנמצא בין 2 ל-3 ✓