מבחן מיצ"ב במתמטיקה לכיתה ה' (נוסח 2020) - עם פתרונות מלאים

התשובה: 4,829 , 4,929 , 5,029.

קודם מוצאים את גודל הקפיצה: $4{,}629-4{,}529=100$, וגם $4{,}729-4{,}629=100$.

כלומר, בכל צעד מוסיפים 100 (ספרת המאות גדלה ב-1).

$4{,}729+100=4{,}829$

$4{,}829+100=4{,}929$

$4{,}929+100=5{,}029$

שימו לב למספר השלישי: 9 מאות ועוד מאה אחת הן 10 מאות, כלומר אלף שלם. לכן ספרת האלפים עולה מ-4 ל-5, וספרת המאות הופכת ל-0.

התשובה: 7.

שואלים: ב-מה צריך לחלק את 56 כדי לקבל 8?

חילוק וכפל קשורים זה לזה: אם $56:?=8$, אז $8\times?=56$.

$8\times7=56$, ולכן המספר החסר הוא 7.

בדיקה: $56:7=8$ ✓

התשובה: 420 צבעים.

יש 6 קופסאות, ובכל אחת 70 צבעים. כשיש כמה קבוצות שוות, כופלים:

$6\times70=6\times7\times10=42\times10=420$

לכן נוגה קנתה 420 צבעים.

התשובה: 16 ס"מ.

כל משבצת היא ריבוע שהצלע שלו 1 ס"מ.

סופרים משבצות לאורך הצלעות: אורך המלבן 6 משבצות, כלומר 6 ס"מ, והרוחב 2 משבצות, כלומר 2 ס"מ.

היקף הוא האורך של כל הקו שמסביב לצורה, כלומר סכום ארבע הצלעות:

$6+2+6+2=16$ ס"מ.

שימו לב: 12 הוא מספר המשבצות שבתוך המלבן – זה השטח (12 סמ"ר), ולא ההיקף.

תשובה אפשרית: $\frac{4}{10}$ ו-$\frac{6}{15}$.

כדי לקבל שבר שווה, כופלים את המונה ואת המכנה באותו מספר (מרחיבים את השבר):

• כופלים ב-2: $\frac{2\times2}{5\times2}=\frac{4}{10}$

• כופלים ב-3: $\frac{2\times3}{5\times3}=\frac{6}{15}$

יש עוד הרבה תשובות נכונות, למשל $\frac{8}{20}$, $\frac{10}{25}$, $\frac{20}{50}$.

טעות נפוצה: להוסיף את אותו מספר למונה ולמכנה (למשל $\frac{3}{6}$). זה לא נותן שבר שווה.

התשובה: 85 ש"ח.

לא צריך לדעת כמה עולה כל מחברת וכל מחק.

בודקים פי כמה גדלה כל כמות:

• מחברות: מ-3 ל-15. $3\times5=15$, כלומר פי 5.

• מחקים: מ-2 ל-10. $2\times5=10$, כלומר גם פי 5.

כלומר, קונים 5 פעמים את אותה "חבילה" של 3 מחברות ו-2 מחקים.

לכן גם המחיר גדל פי 5: $17\times5=85$ ש"ח.

תשובה לדוגמה: "$60\times40=2{,}400$. בתרגיל כופלים את 61, שגדול מ-60, ב-43, שגדול מ-40. כשכופלים מספרים גדולים יותר, התוצאה גדולה יותר, ולכן $61\times43$ גדול מ-2,400."

הסבר מפורט:

שלב 1: מעגלים את המספרים כלפי מטה למספרים נוחים: 61 → 60, ו-43 → 40.

שלב 2: מחשבים: $60\times40=6\times4\times100=2{,}400$.

שלב 3: שני המספרים האמיתיים גדולים מהמספרים העגולים, ולכן המכפלה שלהם גדולה מ-2,400.

(לבדיקה בלבד: $61\times43=2{,}623$.)

מה הבודק מחפש: (1) שהתלמיד ציין ש-$60\times40=2{,}400$; (2) שהמספרים בתרגיל גדולים מ-60 ומ-40. מתקבלת גם תשובה שיש בה רק את רכיב 1.

התשובה: 6.

ממוצע = סכום כל הפגיעות חלקי מספר הילדים.

שלב 1: סכום הפגיעות: $10+12+8+0+0=30$.

שלב 2: יש 5 ילדים (גם טל ומאיה שיחקו, הם פשוט לא פגעו). $30:5=6$.

טעות נפוצה: לחלק רק ב-3 (רק בילדים שפגעו), ולקבל $30:3=10$. זה לא נכון, כי גם הילדים עם 0 פגיעות נספרים.

התשובה: 1,584.

משווים בין המחוברים הראשונים בשני הצדדים: 4,436 קטן מ-4,736 ב-300 (ספרת המאות ירדה מ-7 ל-4).

כדי שהסכום יישאר אותו דבר, צריך "להחזיר" את ה-300 למחובר השני.

$1{,}284+300=1{,}584$

הסבר לדוגמה: "4,436 קטן מ-4,736 ב-300, ולכן כדי שהתרגילים יהיו שווים מוסיפים 300 ל-1,284 ומקבלים 1,584."

מה הבודק מחפש: השלמה של 1,584 והסבר שמזכיר שמחובר אחד הוקטן ב-300 ולכן צריך להגדיל את המחובר השני ב-300 (בלי חישוב מדויק של הסכומים).

התשובה: 2,300 מטרים.

שלב 1: ממירים את אורך השביל למטרים. בקילומטר אחד יש 1,000 מטרים, לכן $3$ ק"מ $=3\times1{,}000=3{,}000$ מטרים.

שלב 2: יונתן לא רכב את 700 המטרים האחרונים: $3{,}000-700=2{,}300$ מטרים.

טעות נפוצה: לחסר בלי להמיר, $700-3$ או $3-0.7$, ולתת תשובה בק"מ.

התשובה: צובעים 40 משבצות (כל 40 משבצות שהן).

הריבוע מחולק ל-$10\times10=100$ משבצות שוות.

$0.4$ הם 4 עשיריות, וזה שווה ל-$\frac{40}{100}$.

כלומר, צריך לצבוע 40 מתוך 100 המשבצות. למשל: 4 עמודות שלמות, כי בכל עמודה יש 10 משבצות.

טעות נפוצה: לצבוע רק 4 משבצות. 4 משבצות הן $\frac{4}{100}=0.04$, ולא $0.4$.

תשובה אפשרית: 0.6.

קודם הופכים את שני השברים למספרים עשרוניים:

• $\frac{1}{2}=\frac{5}{10}=0.5$

• $\frac{3}{4}=\frac{75}{100}=0.75$

צריך מספר עשרוני שנמצא בין 0.5 ל-0.75. למשל 0.6, כי $0.5<0.6<0.75$.

תשובות נכונות נוספות: 0.7, 0.55, 0.62, 0.74 ועוד.

לא נכון: 0.8 (גדול מ-0.75) או 0.5 (שווה ל-$\frac{1}{2}$, ולא גדול ממנו).

התשובה:

שלב 1: בין כל שני מספרים שלמים על הישר יש 6 קטעים קטנים, כלומר כל קטע קטן הוא $\frac{1}{6}$.

שלב 2: 0 – נמצא בתחילת הישר, 6 קטעים קטנים לפני 1.

שלב 3: $\frac{5}{2}$ – $5:2=2$ ושארית 1, כלומר $\frac{5}{2}=2\frac{1}{2}$. חצי הוא $\frac{3}{6}$, לכן זה 3 קטעים קטנים אחרי 2 (בדיוק באמצע בין 2 ל-3).

שלב 4: $\frac{11}{3}$ – $11:3=3$ ושארית 2, כלומר $\frac{11}{3}=3\frac{2}{3}$. $\frac{2}{3}=\frac{4}{6}$, לכן זה 4 קטעים קטנים אחרי 3 (2 קטעים לפני 4).

מה הבודק מחפש: כל קו מגיע בדיוק לנקודה הנכונה על הישר.

התשובה: 135 ספרים.

$\frac{1}{3}$ פירושו: מחלקים את כל הספרים ל-3 חלקים שווים. חלק אחד כזה הוא 45 ספרים.

בארגז המלא יש 3 חלקים כאלה: $45\times3=135$ ספרים.

בדיקה: $135:3=45$ ✓

טעות נפוצה: לחלק את 45 ב-3 ולקבל 15. אבל 45 הוא כבר החלק, ולא השלם.

התשובה: 1. $0.067<0.38$; 2. $2.7>2.45$; 3. $3.4>\frac{3}{4}$.

סעיף 1: לשני המספרים 0 שלמים. משווים את ספרת העשיריות: ב-0.067 יש 0 עשיריות, וב-0.38 יש 3 עשיריות. לכן $0.067<0.38$. (לא מסתכלים על כמה ספרות יש אחרי הנקודה!)

סעיף 2: לשני המספרים 2 שלמים. משווים עשיריות: 7 עשיריות לעומת 4 עשיריות. לכן $2.7>2.45$. אפשר גם לכתוב $2.7=2.70$ ולהשוות 70 מאיות ל-45 מאיות.

סעיף 3: $\frac{3}{4}$ קטן מ-1 (הוא שווה 0.75), ואילו 3.4 גדול מ-3. לכן $3.4>\frac{3}{4}$. שימו לב: $\frac{3}{4}$ איננו 3.4.

התשובה: 1. ב-$\frac{15}{23}$; 2. פי 6.

סעיף 1: "גדול ב-" שואל מה ההפרש, ולכן מחסרים:

$\frac{18}{23}-\frac{3}{23}=\frac{15}{23}$ (המכנים שווים, אז מחסרים רק את המונים).

סעיף 2: "גדול פי" שואל כמה פעמים השבר הקטן נכנס בגדול.

לשני השברים אותו מכנה (עשרים ושלוש), ולכן משווים את המונים: $18:3=6$.

כלומר, 18 חלקים הם פי 6 מ-3 חלקים: $\frac{3}{23}\times6=\frac{18}{23}$ ✓

התשובה: לא.

הגליל כולו הוא שלם אחד (1). צריך לבדוק אם הסכום של שני החלקים גדול מ-1.

דרך 1 – השוואה לחצי: גם $\frac{2}{3}$ וגם $\frac{3}{4}$ גדולים מ-$\frac{1}{2}$. שני חלקים שכל אחד מהם גדול מחצי – ביחד הם יותר משלם. לכן הנייר לא יספיק.

דרך 2 – חישוב: מכנה משותף 12.

$\frac{2}{3}=\frac{8}{12}$, $\frac{3}{4}=\frac{9}{12}$.

$\frac{8}{12}+\frac{9}{12}=\frac{17}{12}=1\frac{5}{12}$, וזה יותר מגליל אחד.

תשובה לדוגמה: "לא. כל אחד מהם צריך יותר מחצי גליל, ושני חצאים הם כבר גליל שלם, אז גליל אחד לא יספיק."

למה לא "כן"? מי שמחבר מונים ומכנים ($\frac{2+3}{3+4}=\frac{5}{7}$) מקבל בטעות שבר קטן מ-1. אבל כך לא מחברים שברים.

מה הבודק מחפש: סימון "לא" והסבר שאומר שהסכום של שני השברים גדול מ-1, עם פירוט איך הגיעו לזה (חישוב, או השוואה לחצי או לנקודת ייחוס אחרת).

התשובה הנכונה: "$\frac{5}{8}$ קטן מ-$\frac{5}{6}$".

לשני השברים אותו מונה: 5 חלקים. ההבדל הוא בגודל של כל חלק.

• שמינית ($\frac{1}{8}$) היא חלק קטן יותר משישית ($\frac{1}{6}$), כי כשמחלקים שלם ל-8 חלקים, כל חלק קטן יותר מאשר כשמחלקים אותו ל-6 חלקים.

• לכן 5 שמיניות קטנות מ-5 שישיות.

דרך נוספת – מכנה משותף 24: $\frac{5}{8}=\frac{15}{24}$, $\frac{5}{6}=\frac{20}{24}$, ו-$15<20$.

דרך נוספת – מה חסר עד שלם: ל-$\frac{5}{8}$ חסרות $\frac{3}{8}$, ול-$\frac{5}{6}$ חסרה רק $\frac{1}{6}$. ל-$\frac{5}{6}$ חסר פחות, ולכן הוא הגדול.

הסבר לדוגמה: "כשהמונים שווים מסתכלים על המכנים, וכשהמכנה גדול יותר החלקים קטנים יותר, ולכן $\frac{5}{8}$ קטן יותר."

למה לא "$\frac{5}{8}$ גדול מ-$\frac{5}{6}$"? זו הטעות של מי שחושב ש"מכנה גדול יותר = שבר גדול יותר", כמו במספרים שלמים (8 גדול מ-6). בשברים זה הפוך כשהמונים שווים.

מה הבודק מחפש: בחירה נכונה והסבר שמשווה את השברים: גודל החלק לפי המכנים יחד עם ציון שהמונים שווים, או הרחבה למכנה משותף, או השוואה לחצי או לשלם.

התשובה: מקיפים את מצולעים 2, 4, 5 ו-7.

מקבילית היא מרובע (4 צלעות) שבו כל שתי צלעות נגדיות מקבילות זו לזו.

• מצולע 2 – מרובע עם שני זוגות של צלעות מקבילות: מקבילית ✓

• מצולע 4 – מלבן. כל מלבן הוא מקבילית ✓

• מצולע 5 – מעוין (ארבע צלעות שוות, ושני זוגות צלעות מקבילות). כל מעוין הוא מקבילית ✓

• מצולע 7 – ריבוע "עומד על הקודקוד". גם כשהוא מסובב הוא ריבוע, וכל ריבוע הוא מקבילית ✓

לא מקביליות:

• מצולע 1 – טרפז: יש בו רק זוג אחד של צלעות מקבילות (העליונה והתחתונה).

• מצולע 3 – מחומש (5 צלעות). אמנם יש בו צלעות מקבילות, אבל הוא לא מרובע.

• מצולע 6 – משושה (6 צלעות). גם בו יש צלעות מקבילות, אבל הוא לא מרובע.

מה הבודק מחפש: הקפה של ארבעת המרובעים ממשפחת המקביליות בלבד: 2, 4, 5, 7.

התשובה: צורה 1 – לא; צורה 2 – כן; צורה 3 – כן.

לצורה יש סימטרייה שיקופית אם אפשר למתוח בה קו, כך שאם מקפלים את הצורה לאורכו, שני החלקים מתלכדים בדיוק (כמו תמונה במראה).

• צורה 1 – מקבילית (שאינה מלבן ואינה מעוין). אין קו שמחלק אותה לשני חלקים שהם תמונת מראה: אם מקפלים אותה לאורך קו אנכי באמצע, הצלעות המשופעות "נוטות" לאותו כיוון ולא מתלכדות. לכן: לא. (זו טעות נפוצה לחשוב שיש לה סימטרייה.)

• צורה 2 – טרפז שווה-שוקיים. קו אנכי שעובר באמצע הבסיסים מחלק אותו לשני חצאים שהם תמונת מראה. לכן: כן.

• צורה 3 – צורה של "בית". קו אנכי שעובר דרך הקודקוד העליון ובאמצע הבסיס הוא קו סימטרייה. לכן: כן.

התשובה: מסמנים את שתי הצלעות המודגשות:

איך מוצאים? צלעות מקבילות "הולכות באותו כיוון", כלומר יש להן אותו שיפוע על רשת המשבצות.

בודקים כל צלע: כמה משבצות היא זזה ימינה, וכמה למעלה.

• הצלע הימנית: 2 משבצות ימינה ו-4 למעלה, כלומר על כל משבצת ימינה – 2 משבצות למעלה.

• הצלע השמאלית התחתונה: 1 משבצת ימינה ו-2 למעלה – גם כן על כל משבצת ימינה, 2 משבצות למעלה.

לשתיהן אותו כיוון, ולכן הן מקבילות (אף שהאורכים שלהן שונים).

לשאר הצלעות כיוונים אחרים: הצלע התחתונה אופקית, הצלע העליונה יורדת מעט ימינה, והצלע השמאלית העליונה עולה 3 משבצות על כל 2 משבצות ימינה.

התשובה: 24 סמ"ר.

במשולש ישר-זווית, שתי הצלעות שיוצרות את הזווית הישרה (הניצבים) הן בסיס וגובה זו לזו.

כאן הניצבים הם 8 ס"מ ו-6 ס"מ. הצלע של 10 ס"מ היא היתר, והיא לא נדרשת לחישוב.

שטח משולש = בסיס כפול גובה, לחלק ל-2:

$8\times6=48$

$48:2=24$ סמ"ר.

אפשר גם לחשוב כך: המשולש הוא חצי ממלבן של $8\times6$ ס"מ.

טעויות נפוצות: לשכוח לחלק ב-2 (48), או להשתמש בצלע של 10 ס"מ ($8\times10:2=40$).

תשובה אפשרית:

משולש קהה-זווית הוא משולש שאחת הזוויות שלו גדולה מזווית ישרה (גדולה מ-90°).

איך מסרטטים? נקרא לקצוות הקטע א ו-ב.

שלב 1: מדמיינים קו שיוצא מהנקודה א ויוצר זווית ישרה עם הקטע (אפשר להיעזר בפינה של דף).

שלב 2: בוחרים נקודה ג שנמצאת מעבר לקו הזה, בצד הרחוק מ-ב. כך הזווית בקודקוד א "נפתחת" יותר מזווית ישרה.

שלב 3: מחברים את ג ל-א ואת ג ל-ב.

בדוגמה שבסרטוט, הזווית בקודקוד א היא זווית קהה, ולכן המשולש א-ב-ג קהה-זווית.

יש עוד הרבה תשובות נכונות: אפשר לבנות את הזווית הקהה בקודקוד ב, או בקודקוד השלישי (אם הוא קרוב מאוד לקטע, באזור שבין הקצוות).

מה הבודק מחפש: משולש שאחת מצלעותיו היא הקטע הנתון כולו, ושאחת מזוויותיו קהה בבירור.

התשובה: 219 מ"ר.

דרך 1 – חיסור שטחים:

שלב 1: השטח של כל המגרש: $25\times12=300$ מ"ר.

שלב 2: השטח של ארגז החול: $6\times6=36$ מ"ר.

שלב 3: השטח של מתקני הטיפוס: $9\times5=45$ מ"ר.

שלב 4: מורידים מהמגרש את שני השטחים הלבנים: $300-36-45=219$ מ"ר.

דרך 2 – חיבור חלקים: אפשר לחלק את הדשא למלבנים, למשל:

• רצועה מתחת לארגז החול: $6\times(12-6)=6\times6=36$ מ"ר.

• רצועה מעל מתקני הטיפוס, לכל הרוחב שמימין לארגז החול: $(25-6)\times(12-5)=19\times7=133$ מ"ר.

• מה שנשאר משמאל למתקני הטיפוס ומימין לרצועה הראשונה: $(25-6-9)\times5=10\times5=50$ מ"ר.

$36+133+50=219$ מ"ר ✓

מה הבודק מחפש: תשובה 219 מ"ר ודרך פתרון שמראה את החישובים (חיסור שטחים או חיבור חלקים), כולל השטחים שחושבו.