מבחן מיצ"ב במתמטיקה לכיתה ה' (נוסח 2015) - עם פתרונות מלאים

התשובה הנכונה: 7 עשרות אלפים.

כותבים את הספרות של 372,815 לפי המקומות, מימין לשמאל:

• 5 – ספרת היחידות

• 1 – ספרת העשרות

• 8 – ספרת המאות

• 2 – ספרת האלפים

• 7 – ספרת עשרות האלפים

• 3 – ספרת מאות האלפים

לכן הספרה 7 מייצגת 7 עשרות אלפים, כלומר 70,000.

למה לא "7 יחידות"? ספרת היחידות היא 5 (הספרה הימנית ביותר). הספרה 7 שווה 7 רק כשהיא עומדת במקום היחידות.

למה לא "7 מאות"? ספרת המאות במספר הזה היא 8. מי שבוחר בזה מתבלבל בין המחלקות.

למה לא "7 מאות אלפים"? במקום של מאות האלפים עומדת הספרה 3, שנמצאת משמאל ל-7. מי שבוחר בזה זז מקום אחד יותר מדי.

התשובה: מלבן.

במלבן יש 4 זוויות, וכל אחת מהן זווית ישרה (90 מעלות).

גם ריבוע הוא תשובה נכונה: ריבוע הוא מלבן מיוחד שכל הצלעות שלו שוות, ולכן גם בו כל הזוויות ישרות.

מעוין, מקבילית או טרפז אינם מתאימים, כי בדרך כלל אין להם זוויות ישרות.

התשובה הנכונה: $4\frac{3}{5}$.

בשלם אחד יש 5 חמישיות. בודקים כמה שלמים יש ב-23 חמישיות:

$23:5=4$ ונשארת שארית 3, כי $4\times5=20$ ו-$23-20=3$.

כלומר, ב-$\frac{23}{5}$ יש 4 שלמים ועוד 3 חמישיות: $\frac{23}{5}=4\frac{3}{5}$.

בדיקה: $4\frac{3}{5}=\frac{20}{5}+\frac{3}{5}=\frac{23}{5}$ ✓

למה לא $3\frac{3}{5}$? המספר הזה שווה ל-$\frac{15}{5}+\frac{3}{5}=\frac{18}{5}$. יש בו שלם אחד פחות מהנדרש.

למה לא $3\frac{4}{5}$? המספר הזה שווה ל-$\frac{15}{5}+\frac{4}{5}=\frac{19}{5}$, ולא $\frac{23}{5}$.

למה לא $4\frac{4}{5}$? המספר הזה שווה ל-$\frac{20}{5}+\frac{4}{5}=\frac{24}{5}$. השארית בחילוק היא 3 ולא 4.

התשובה: יובל רוכב זמן רב יותר, ב-8 דקות.

בשעה יש 60 דקות. חצי שעה היא חצי מ-60 דקות:

$60:2=30$ דקות.

כלומר, יובל רוכב 30 דקות, ונגה רוכבת 22 דקות.

30 גדול מ-22, ולכן יובל רוכב זמן רב יותר.

ההפרש: $30-22=8$ דקות.

למה לא נגה? המספר 22 נראה גדול מהמספר $\frac{1}{2}$, אבל הם נמדדים ביחידות שונות: 22 דקות לעומת חצי שעה. כדי להשוות צריך להפוך את חצי השעה לדקות (30 דקות).

התשובה: 11 קוביות.

סופרים את המבנה שכבה אחרי שכבה.

• השכבה התחתונה: בשורה הקדמית רואים 4 קוביות. מאחוריהן יש עוד שורה של 4 קוביות – רואים את החלק העליון שלהן ואת הצד של הקובייה הימנית. בשכבה התחתונה יש $4+4=8$ קוביות.

• המגדל: על אחת הקוביות בשורה האחורית עומדות עוד 3 קוביות זו על זו.

בסך הכול: $8+3=11$ קוביות.

שימו לב: הקובייה שעליה עומד המגדל כבר נספרה בשורה האחורית, ולכן לא סופרים אותה שוב.

התשובה: 355,000 ש"ח.

כדי למצוא כמה כסף נשאר, מחסרים את מחיר השיפוץ מהסכום שהתקבל:

$830{,}000-475{,}000$

אפשר לחשב באלפים: $830-475$.

• $830-400=430$

• $430-75=355$

כלומר, $830-475=355$, ולכן $830{,}000-475{,}000=355{,}000$.

בדיקה: $355{,}000+475{,}000=830{,}000$ ✓

התשובה: השארית היא 2.

מחפשים את המכפלה הגדולה ביותר של 7 שאינה גדולה מ-86:

$7\times12=84$, ו-$7\times13=91$ כבר גדול מ-86.

לכן $86:7=12$, ונשאר: $86-84=2$.

השארית היא 2 (והיא קטנה מ-7, כמו שצריך).

התשובה: 3.

• מחשבים את הצד הימני: $12-7=5$.

• עכשיו צריך: $45:(\square+6)=5$. בכמה מחלקים את 45 כדי לקבל 5? ב-9, כי $45:9=5$.

• לכן מה שבתוך הסוגריים שווה 9: $\square+6=9$.

• $9-6=3$, ולכן המספר החסר הוא 3.

בדיקה: $45:(3+6)=45:9=5$, וגם $12-7=5$ ✓

התשובה: 655.

דרך א: מחשבים את הצד השמאלי.

$2{,}985-640=2{,}345$.

עכשיו מחפשים מספר שאם מחסרים אותו מ-3,000 מקבלים 2,345:

$3{,}000-2{,}345=655$.

דרך ב (בלי חישוב ארוך): המספר 3,000 גדול מ-2,985 ב-15. כדי שהתוצאה תישאר אותו דבר, צריך לחסר מ-3,000 מספר שגדול מ-640 גם הוא ב-15: $640+15=655$.

בדיקה: $3{,}000-655=2{,}345$ ✓

התשובה: ל-11 בתים.

• אחרי הבית הראשון נשארו לשליח: $38-2=36$ זרים.

• לבית השני מסר רבע מ-36: $36:4=9$ זרים.

• אחרי הבית השני נשארו: $36-9=27$ זרים.

• את 27 הזרים חילק 3 לכל בית: $27:3=9$ בתים.

• בסך הכול: הבית הראשון, הבית השני ועוד 9 בתים: $1+1+9=11$ בתים.

בדיקה: $2+9+9\times3=2+9+27=38$ ✓

תשובה מלאה לדוגמה: "נשארו 36 זרים אחרי הבית הראשון. רבע מ-36 הוא 9, ולכן אחרי הבית השני נשארו 27 זרים. $27:3=9$ בתים קיבלו 3 זרים כל אחד. יחד עם שני הבתים הראשונים: 11 בתים."

מה הבודק מחפש – דרך פתרון שכוללת לפחות אחד מהרכיבים האלה:

1. מספר הזרים שנשארו אחרי המסירה לבית הראשון (36).

2. מספר הזרים שנמסרו לבית השני (9) או מספר הזרים שנשארו אחרי המסירה לבית השני (27).

3. מספר הבתים שקיבלו 3 זרים כל אחד (9).

טעות נפוצה: לעצור ב-9 ולשכוח לחבר את שני הבתים הראשונים.

התשובה: המספר החסר הוא 3.

בתרגיל החדש מופיע שוב $18\times12$, ומהתרגיל הפתור אנחנו יודעים ש-$18\times12=216$.

לכן התרגיל החדש הוא בעצם: $216\times\square=648$.

בודקים פי כמה 648 גדול מ-216: $216\times3=600+48=648$ (כי $200\times3=600$ ו-$16\times3=48$).

לכן המספר החסר הוא 3.

תשובה מלאה לדוגמה: "$18\times12\times3=648$. בשני התרגילים יש $18\times12$, וזה 216. 648 הוא פי 3 מ-216, ולכן צריך לכפול עוד ב-3."

מה הבודק מחפש – הסבר שכולל את הרכיבים:

1. בשני התרגילים מופיעים הגורמים 18 ו-12.

2. הקשר הכפלי בין 216, 648 ו-3 (648 גדול פי 3 מ-216).

התשובה: מקבילית.

מקבילית היא מרובע שיש בו שני זוגות של צלעות נגדיות מקבילות. גם השם שלה מזכיר את זה: "מקבילית".

גם מלבן, מעוין וריבוע הם מקביליות מיוחדות, ולכן גם בהם כל צלע מקבילה לצלע שמולה.

טרפז אינו מתאים: בטרפז יש רק זוג אחד של צלעות מקבילות.

התשובה: משלימים את הדלתון כך:

בדלתון יש שני זוגות של צלעות סמוכות שוות זו לזו.

שתי הצלעות שבסרטוט אינן שוות: אחת קצרה ואחת ארוכה. לכן צריך להוסיף עוד צלע קצרה ועוד צלע ארוכה.

• הצלע הארוכה הנתונה עולה מהקדקוד השמאלי 3 משבצות ימינה ו-6 משבצות למעלה, עד הקדקוד העליון.

• הצלע הקצרה הנתונה יורדת מהקדקוד השמאלי 3 משבצות ימינה ו-2 משבצות למטה, עד הקדקוד התחתון.

• הקדקוד העליון והקדקוד התחתון נמצאים על אותו קו אנכי. זה ציר הסימטריה של הדלתון.

• את הקדקוד החדש שמים בצד השני של הציר, במרחק של 3 משבצות ממנו ובאותו גובה כמו הקדקוד השמאלי (כמו תמונת ראי).

• מחברים את הקדקוד החדש לקדקוד העליון (צלע ארוכה: 3 משבצות שמאלה ו-6 למעלה) ולקדקוד התחתון (צלע קצרה: 3 משבצות שמאלה ו-2 למטה).

התשובה: מלבן ששטחו 30 משבצות, למשל מלבן של 6 משבצות על 5 משבצות:

• הבסיס של המשולש הוא 6 משבצות, והגובה שלו (מהקדקוד העליון אל הבסיס) הוא 5 משבצות.

• שטח המשולש: $6\times5:2=30:2=15$ משבצות.

• צריך מלבן ששטחו גדול פי 2: $15\times2=30$ משבצות.

• מלבן של 6 על 5: $6\times5=30$ ✓

דרך נוספת לחשוב: המשולש הוא בדיוק חצי מהמלבן של 6 על 5 שמקיף אותו, ולכן המלבן הזה גדול ממנו פי 2.

גם מלבנים אחרים ששטחם 30 מתאימים, למשל 10 על 3 או 15 על 2.

התשובה הנכונה: שורה ג.

בכל שורה יש 8 כדורים. מחשבים כמה כדורים הם $\frac{3}{4}$ מ-8:

• רבע מ-8: $8:4=2$.

• שלושה רבעים: $3\times2=6$.

צריך למצוא שורה שבה 6 כדורים אפורים. בשורה ג יש 6 כדורים אפורים ו-2 לבנים.

למה לא שורה א? בשורה א יש 7 כדורים אפורים. זה $3+4$: מי שבוחר בה חיבר את המונה ואת המכנה.

למה לא שורה ב? בשורה ב יש 3 כדורים אפורים, כמו המונה. אבל 3 מתוך 8 זה $\frac{3}{8}$, ולא $\frac{3}{4}$.

למה לא שורה ד? בשורה ד יש 4 כדורים אפורים, כמו המכנה. 4 מתוך 8 זה חצי, ולא שלושה רבעים.

התשובה (מהקטן אל הגדול): 0.597, 0.6, 0.603, 0.65.

כדי להשוות, כותבים לכל המספרים שלוש ספרות אחרי הנקודה (מוסיפים אפסים בסוף, וזה לא משנה את הערך):

• 0.603

• 0.65 = 0.650

• 0.597

• 0.6 = 0.600

עכשיו משווים כמו מספרים שלמים של אלפיות: $597<600<603<650$.

לכן הסדר הוא: 0.597, 0.6, 0.603, 0.65.

טעות נפוצה: לחשוב שמספר עם יותר ספרות הוא גדול יותר. למשל, 0.65 נראה "קצר", אבל הוא הגדול ביותר, ו-0.597 נראה "ארוך", אבל הוא הקטן ביותר.

התשובה: בסרט האדום.

דרך א – בסנטימטרים:

• הסרט האדום: 3 מטרים הם 300 ס"מ. $300:6=50$ ס"מ לכל חלק.

• הסרט הכחול: 6 מטרים הם 600 ס"מ. $600:15=40$ ס"מ לכל חלק.

50 ס"מ ארוך מ-40 ס"מ, ולכן החלקים של הסרט האדום ארוכים יותר.

דרך ב – בשברים של מטר:

• חלק אדום: $\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$ מטר $=\frac{5}{10}$ מטר.

• חלק כחול: $\frac{6}{15}=\frac{2}{5}$ מטר $=\frac{4}{10}$ מטר.

$\frac{5}{10}>\frac{4}{10}$.

דרך ג – בלי חישוב של אורך: הסרט הכחול ארוך פי 2 מהאדום. אילו חתכו אותו ל-$2\times6=12$ חלקים, כל חלק היה באורך של חלק אדום. אבל חתכו אותו ל-15 חלקים, יותר מ-12, ולכן כל חלק כחול קצר יותר.

למה לא בסרט הכחול? הסרט הכחול ארוך יותר, אבל חתכו אותו להרבה יותר חלקים. מי שמסתכל רק על אורך הסרט כולו ולא על מספר החלקים טועה.

תשובה מלאה לדוגמה: "בסרט האדום. כל חלק אדום הוא $300:6=50$ ס"מ, וכל חלק כחול הוא $600:15=40$ ס"מ. 50 גדול מ-40."

מה הבודק מחפש: סימון נכון ונימוק, למשל השוואה בין אורכי החלקים באותה יחידת מידה (בשברים של מטר או בסנטימטרים), או השוואה בין היחס של אורכי הסרטים ובין מספר החלקים שהתקבלו בגזירה.

התשובה: $\frac{7}{20}$ מהספר.

דרך א – קודם מחברים את מה שקרא:

• מכנה משותף ל-4 ול-5 הוא 20: $\frac{1}{4}=\frac{5}{20}$, $\frac{2}{5}=\frac{8}{20}$.

• בשני השבועות קרא: $\frac{5}{20}+\frac{8}{20}=\frac{13}{20}$ מהספר.

• הספר כולו הוא $\frac{20}{20}$. נשאר: $\frac{20}{20}-\frac{13}{20}=\frac{7}{20}$.

דרך ב – מחסרים שבוע אחרי שבוע:

• אחרי השבוע הראשון נשאר: $1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$.

• אחרי השבוע השני נשאר: $\frac{3}{4}-\frac{2}{5}=\frac{15}{20}-\frac{8}{20}=\frac{7}{20}$.

תשובה מלאה לדוגמה: "$\frac{1}{4}+\frac{2}{5}=\frac{5}{20}+\frac{8}{20}=\frac{13}{20}$. $1-\frac{13}{20}=\frac{7}{20}$. נשאר לאיתי לקרוא $\frac{7}{20}$ מהספר."

מה הבודק מחפש:

דרך א: (1) סכום החלקים שאיתי קרא בשבוע הראשון ובשבוע השני ($\frac{13}{20}$); (2) חישוב החלק שנשאר אחרי שבועיים.

דרך ב: (1) חישוב החלק שנשאר אחרי שבוע ($\frac{3}{4}$); (2) חישוב החלק שנשאר אחרי שבועיים.

טעות נפוצה: לעצור ב-$\frac{13}{20}$ – זה החלק שאיתי כבר קרא, ולא החלק שנשאר.

התשובה: 6.

$4\times\frac{1}{9}$ הם 4 תשיעיות, ו-$2\times\frac{1}{9}$ הם 2 תשיעיות.

יחד: $4+2=6$ תשיעיות, כלומר $6\times\frac{1}{9}$.

בדיקה: $\frac{4}{9}+\frac{2}{9}=\frac{6}{9}$, וגם $6\times\frac{1}{9}=\frac{6}{9}$ ✓

התשובה: $\frac{3}{5}$ גדול מ-0.35.

דרך א – הופכים את השבר למספר עשרוני:

$\frac{3}{5}=\frac{6}{10}=0.6$. משווים: $0.6=0.60$, ו-$0.60>0.35$.

דרך ב – הופכים את המספר העשרוני לשבר:

$0.35=\frac{35}{100}$, ו-$\frac{3}{5}=\frac{60}{100}$. $\frac{60}{100}>\frac{35}{100}$.

דרך ג – משווים לחצי: $\frac{3}{5}$ גדול מחצי (כי חצי מ-5 הוא $2\frac{1}{2}$, ו-3 גדול ממנו), ו-0.35 קטן מחצי (0.5). לכן $\frac{3}{5}$ גדול יותר.

למה לא "$\frac{3}{5}$ שווה ל-0.35"? מי שבוחר בזה "מדביק" את המונה ואת המכנה (3 ו-5) למספר 0.35. אבל $\frac{3}{5}$ פירושו 3 חלקים מתוך 5, ולא 35 מאיות.

למה לא "$\frac{3}{5}$ קטן מ-0.35"? כבר ראינו ש-$\frac{3}{5}=0.6$, וזה יותר מ-0.35.

תשובה מלאה לדוגמה: "$\frac{3}{5}=\frac{6}{10}=0.6$, ו-0.6 גדול מ-0.35."

מה הבודק מחפש: נימוק שיש בו השוואה בין השבר למספר העשרוני בעזרת מעבר למספרים עשרוניים, או מעבר לשברים פשוטים, או השוואה של שני המספרים לנקודת ייחוס משותפת (למשל חצי).

התשובה: 12 סמ"ר.

• כל משבצת ברשת היא ריבוע של 1 ס"מ על 1 ס"מ, כלומר 1 סמ"ר.

• המשולש האפור הוא חצי ממלבן של 3 משבצות על 2 משבצות. שטח המלבן: $3\times2=6$ סמ"ר.

• שטח המשולש: $6:2=3$ סמ"ר.

• המשולש הוא רבע מהצורה השלמה, ולכן הצורה השלמה גדולה ממנו פי 4: $3\times4=12$ סמ"ר.

טעות נפוצה: לחשב רבע מ-3 במקום פי 4. השטח של המשולש הוא החלק, וצריך למצוא את השלם, שגדול יותר.