מתכונת במתמטיקה 571 - מתכונת 2 מעל רמת בגרות

שלב הבסיס ($n=1$): אגף שמאל $\frac1{1\cdot3}=\frac13$, אגף ימין $\frac1{2+1}=\frac13$. שווים.

הנחת האינדוקציה: נניח שעבור $n=k$ מתקיים $\frac1{1\cdot3}+\dots+\frac1{(2k-1)(2k+1)}=\frac k{2k+1}$.

שלב הצעד: האיבר ה-$(k+1)$ הוא $\frac1{(2(k+1)-1)(2(k+1)+1)}=\frac1{(2k+1)(2k+3)}$. לפי ההנחה:

ו-$\frac{k+1}{2(k+1)+1}=\frac{k+1}{2k+3}$ - זו הטענה עבור $n=k+1$. לפי עקרון האינדוקציה השוויון נכון לכל $n$ טבעי.

(דרך אחרת: $\frac1{(2i-1)(2i+1)}=\frac12\left(\frac1{2i-1}-\frac1{2i+1}\right)$, והסכום מתקפל ל-$\frac12\left(1-\frac1{2n+1}\right)=\frac n{2n+1}$.)

טעות נפוצה: לכתוב את האיבר ה-$(k+1)$ כ-$\frac1{(2k+1)(2k+2)}$ (להוסיף 1 במקום 2 לכל גורם), לקבל $\frac k{2k+1}+\frac1{(2k+1)(2k+2)}=\frac{2k^2+2k+1}{(2k+1)(2k+2)}$, שאינו מצטמצם ל-$\frac{k+1}{2k+3}$.

מספיקה דוגמה נגדית אחת.

עבור $n=1$: $1\cdot3=3$ ו-$\frac{2+1}1=3$ - כאן יש שוויון.

עבור $n=2$: $1\cdot3+3\cdot5=3+15=18$, ואילו $\frac{4+1}2=\frac52$. $18\neq\frac52$.

לכן הביטוי אינו שווה ל-$\frac{2n+1}n$ לכל $n$.

(אגף שמאל הוא סכום של מספרים טבעיים שגדל עם $n$, ואילו $\frac{2n+1}n\le3$. הפיכת כל איבר בסכום של א(1) לא הופכת את התוצאה.)

טעות נפוצה: לבדוק רק את $n=1$, לקבל $3=3$, ולענות "כן".

נסמן ב-$R$ את רדיוס המעגל החוסם את ABC, וב-$r$ את רדיוס המעגל החוסם את AKB.

K מרכז המעגל החסום, ולכן AK ו-BK חוצי הזוויות A ו-B: $\angle KAB=\frac{\angle A}2$, $\angle KBA=\frac{\angle B}2$.

$\angle A+\angle B=180^\circ-\alpha$, ולכן במשולש AKB:

משפט הסינוסים במשולש ABC: $AB=2R\sin\alpha$.

משפט הסינוסים במשולש AKB: $AB=2r\sin\left(90^\circ+\frac\alpha2\right)=2r\cos\frac\alpha2$.

טעות נפוצה: לשכוח לחלק את הזוויות A ו-B ב-2 (כאילו AK ו-BK הן הצלעות AC ו-BC), לקבל $\angle AKB=180^\circ-(\angle A+\angle B)=\alpha$, ומכאן יחס 1.

לפי ב(1): $\frac1{2\sin\frac\alpha2}=1$, כלומר $\sin\frac\alpha2=\frac12$. $0^\circ<\frac\alpha2<90^\circ$, ולכן $\frac\alpha2=30^\circ$ ו-$\alpha=60^\circ$.

CB משיקה למעגל החוסם את משולש AKB בנקודה B, ו-BK מיתר במעגל הזה. הזווית בין משיק למיתר שווה לזווית ההיקפית הנשענת על המיתר מהצד השני: $\angle CBK=\angle BAK$.

$\angle CBK=\frac{\angle B}2$ ו-$\angle BAK=\frac{\angle A}2$ (חוצי זוויות), ולכן $\angle A=\angle B$.

$\angle A+\angle B=180^\circ-60^\circ=120^\circ$, ולכן $\angle A=\angle B=60^\circ$.

שלוש הזוויות שוות ל-$60^\circ$ - המשולש שווה-צלעות.

טעות נפוצה: לפתור $\sin\frac\alpha2=\frac12$ ולענות $\alpha=30^\circ$ (לשכוח להכפיל ב-2), ואז לקבל $\angle A=\angle B=75^\circ$ - משולש שווה-שוקיים שאינו שווה-צלעות.

$f$ אי-זוגית ורציפה, ולכן $f(0)=0$, והגרף סימטרי ביחס לראשית.

$f(3)=0$, ולכן $f(-3)=0$.

למקסימום ב-$x=-2$ מתאים מינימום ב-$x=2$. נתון שיש רק מקסימום אחד, ולכן אין קיצונים נוספים: $f$ עולה עבור $x<-2$, יורדת בקטע $-2<x<2$ ועולה עבור $x>2$.

בכל קטע מונוטוניות יש אפס אחד לכל היותר, ולכן האפסים הם $-3,0,3$ והסימנים: שלילית עבור $x<-3$, חיובית בקטע $-3<x<0$, שלילית בקטע $0<x<3$, חיובית עבור $x>3$.

סקיצה אפשרית:

טעות נפוצה: לסרטט את הגרף כשהוא מגיע מלמעלה משמאל (כמו במקרה של מינימום), ולקבל $f>0$ עבור $x<-3$ ועבור $0<x<3$ - אבל אז $f$ יורדת לפני $x=-2$, והנקודה ב-$x=-2$ הייתה מינימום ולא מקסימום.

$g'=-f$, ולכן הסימנים של $g'$ הפוכים לאלה של $f$:

$g'$ עוברת מחיובית לשלילית ב-$x=-3$ וב-$x=3$ - נקודות מקסימום (וב-$x=0$ מינימום).

$g(3)=1$ ו-$g$ זוגית, ולכן $g(-3)=1$.

נקודות המקסימום: $(3,1)$ ו-$(-3,1)$.

טעות נפוצה: להתעלם מהמינוס ולקבוע את מגמת $g$ לפי הסימן של $f$, ולקבל ש-$(3,1)$ ו-$(-3,1)$ הן נקודות מינימום, ושנקודת המקסימום היחידה היא ב-$x=0$.

I: $g$ עולה עבור $x<-3$ עד הערך $g(-3)=1$, ויורדת עבור $x>3$ מהערך $g(3)=1$. בקטע $-3\le x\le3$ הערכים הגדולים ביותר הם בקצוות (המינימום באמצע). לכן הערך הגדול ביותר של $g$ הוא 1, ו-$g(x)\le1$ לכל $x$ - ההיגד נכון.

II: המינימום ב-$x=0$. $g$ עולה בקטע $0<x<3$, ולכן $g(0)<g(3)=1$. שיעור ה-$y$ של המינימום קטן מ-1 - ההיגד אינו נכון.

טעות נפוצה: להפוך את כיוון המגמה בקטע $0<x<3$, להסיק $g(0)>g(3)=1$, ולקבוע ש-II נכון.

לפי הסרטוט: ארבע נקודות חיתוך עם ציר ה-$x$ (שתיים משמאל לציר ה-$y$ ושתיים מימינו), שתי הזרועות יורדות ל-$-\infty$, והגרף חותך את ציר ה-$y$ מתחת לציר ה-$x$ ($f(0)<0$).

ביטוי I ממעלה שלישית ויש לו שלושה אפסים בלבד - נפסל.

ביטוי III: מקדם מוביל חיובי, כלומר הזרועות עולות ל-$+\infty$ - נפסל.

ביטוי IV: האפסים $-5,1,2,6$ - רק אחד מהם שלילי; וגם $f(0)=-(5)(-1)(-2)(-6)=60>0$ - נפסל.

ביטוי II: האפסים $-5,-1$ ו-$2,6$, מקדם מוביל שלילי, ו-$f(0)=-(5)(1)(-2)(-6)=-60<0$. מתאים לסרטוט.

טעות נפוצה: לבחור בביטוי III כי האפסים שלו זהים לאפסים בסרטוט, בלי לבדוק את המקדם המוביל - לביטוי III צורת W, הפוכה לסרטוט.

$g=\sqrt f$ מוגדרת כאשר $f(x)\ge0$.

$f(x)=-(x+5)(x+1)(x-2)(x-6)$: מקדם מוביל שלילי, ולכן $f<0$ עבור $x>6$, והסימן מתחלף בכל אפס פשוט:

$f>0$ בקטעים $-5<x<-1$ ו-$2<x<6$, ו-$f<0$ עבור $x<-5$, $-1<x<2$, $x>6$ (בהתאם לשתי ה"גבעות" שבסרטוט).

תחום ההגדרה: $-5\le x\le-1$ או $2\le x\le6$.

טעות נפוצה: לבנות את טבלת הסימנים כאילו המקדם המוביל חיובי, ולקבל את התחום ההפוך: $x\le-5$ או $-1\le x\le2$ או $x\ge6$.

$g$ מוגדרת בשני קטעים סגורים, ו-$g\ge0$.

$\sqrt t$ עולה, ולכן בכל קטע ל-$g$ אותם תחומי עלייה וירידה כמו ל-$f$: כל קטע הוא "קשת" שמתחילה ב-0, עולה עד המקסימום של $f$ באותו קטע, ויורדת שוב ל-0.

באפסים של $f$ (שהם אפסים פשוטים) הגרף של $g=\sqrt f$ "נכנס" לציר ה-$x$ אנכית.

סקיצה:

טעות נפוצה: לסרטט גם את הקטע $-1<x<2$ (שבו $f<0$) כ"קשת" הפוכה מתחת לציר ה-$x$ - שורש ריבועי אינו מוגדר כשהביטוי שלילי ואינו מקבל ערכים שליליים.

$g(x+2)$ היא הזזה של $g$ שמאלה ב-2. כאשר $x$ עובר מ-0 ל-3, הביטוי $x+2$ עובר מ-2 ל-5, ולכן:

$\int_0^32\,dx=2\cdot3=6$.

סה"כ: $3k-6$.

טעות נפוצה: לכתוב $\int_0^32\,dx=2$ (לשכוח את אורך הקטע) ולקבל $3k-2$.

$\frac{b_{n+1}}{b_n}=\frac{a_n}{a_{n+2}}=\frac1{q^2}$, ולכן B הנדסית עם מנה $\frac{1}{q^2}$ (חיובית).

לסדרה הנדסית אין-סופית יש סכום כאשר הערך המוחלט של המנה קטן מ-1:

טעות נפוצה: להעתיק את תנאי ההתכנסות של A ולענות $-1<q<1$ - דווקא כש-A מתכנסת, האיברים של B גדלים ($\frac{1}{q^2}>1$).

ב-C מדלגים על איבר אחד של B בכל צעד, ולכן המנה של C היא $\left(\frac1{q^2}\right)^2=\frac1{q^4}$, והאיבר הראשון שלה $b_1$ (מתכנסת, כי $\frac{1}{q^4}<1$).

טעות נפוצה: להפוך את השבר בחילוק הסכומים ולקבל $\frac{q^2+1}{q^2}$ - מספר גדול מ-1, אף על פי ש-C מכילה רק חלק מאיברי B, שכולם באותו סימן.

לפי סעיף ב צריך $m=\frac{q^2}{q^2+1}$, כאשר $q^2>1$. נסמן $u=q^2$, $u>1$:

כאשר $u$ גדל מ-1 לאינסוף, $\frac1{u+1}$ יורד מ-$\frac12$ (לא כולל) ל-0 (לא מגיע), ולכן $m$ עולה מ-$\frac12$ (לא כולל) ושואף ל-1.

כל ערך בתחום הזה מתקבל: $u=\frac{m}{1-m}$, ו-$u>1$ בדיוק כאשר $m>\frac12$.

לכן $\frac12<m<1$.

טעות נפוצה: לשכוח את התנאי $q^2>1$ מסעיף א, ולענות $0<m<1$.

$\frac{q^2}{q^2+1}=0.9\Rightarrow q^2=0.9q^2+0.9\Rightarrow q^2=9$, כלומר $q=3$ או $q=-3$.

$b_1=\frac{1}{a_1\cdot a_1q}=\frac{1}{a_1^2q}$, והמנה של B היא $\frac19$:

הסימן של $S_B$ הוא הסימן של $q$. $S_B<0$, ולכן $q=-3$ (נפסל $q=3$).

$a_1=4$ או $a_1=-4$. $a_2=a_1q=-3a_1>0$, ולכן $a_1<0$: $a_1=-4$.

טעות נפוצה: לבחור $a_1=4$ בלי לבדוק את התנאי $a_2>0$ - אז $a_2=-12<0$.

נסמן ב-$g$ את מספר הבנות המתנדבות. מספר הבנות שאינן מתנדבות: $1\frac12g$, ולכן מספר הבנות: $g+1.5g=2.5g$.

טעות נפוצה: לחלק במספר כל המתנדבים ולקבל $\frac{2b}{2b+b}=\frac23$ (כאשר $b$ מספר הבנים המתנדבים) - זו ההסתברות שמתנדב שנבחר הוא בת.

מספר המשתתפים גדול, ולכן הבחירות כמעט בלתי תלויות, ובכל בחירה ההסתברות לבת מתנדבת היא $\frac25$ (סעיף א).

נוסחת ברנולי עם $n=4$, $k=3$:

טעות נפוצה: לשכוח את המקדם $\binom43=4$ ולקבל $\frac{24}{625}$.

טבלת הסתברויות מתוך כלל המשתתפים:

בן מתנדב: $p$. בת מתנדבת: פי 2 - $2p$. בת שאינה מתנדבת: פי $1\frac12$ מהבנות המתנדבות - $1.5\cdot2p=3p$.

סכום התאים 1, ולכן בן שאינו מתנדב: $1-p-2p-3p=1-6p$.

טעות נפוצה: להכפיל את $1\frac12$ ב-$p$ (הבנים המתנדבים) במקום ב-$2p$, ולקבל $1-p-2p-1.5p=1-4.5p$.

כל תא בטבלה הוא הסתברות של קבוצה שקיימת בסקר, ולכן חיובי.

$p>0$ (ואז גם $2p$, $3p$ חיוביים), ו-$1-6p>0$, כלומר $p<\frac16$.

לכן $0<p<\frac16$.

טעות נפוצה: לבדוק רק את התאים $p$, $2p$, $3p$ ולקבל $0<p<\frac13$ - שוכחים את התא $1-6p$.

שתי ההסתברויות מותנות באותו מאורע - "אינו מתנדב" - ולכן המכנה $P(\text{לא מתנדב})$ משותף, והיחס בין ההסתברויות הוא היחס בין התאים:

$\frac2{15}<\frac16$, ולכן הערך בתחום.

טעות נפוצה: לשים את הפי 2 בצד הלא נכון, $2\cdot3p=1-6p$, ולקבל $p=\frac1{12}$.

$P(\text{מתנדב})=p+2p=3p=3\cdot\frac2{15}=\frac25$.

לפי סעיף א, $P(\text{מתנדב}\mid\text{בת})=\frac25$.

ההסתברויות שוות: הידיעה שהנבחרת בת אינה משנה את ההסתברות להתנדב, ולכן המאורעות בלתי תלויים.

(בדיקה: אצל הבנים $P(\text{מתנדב}\mid\text{בן})=\frac{p}{1-5p}=\frac{2/15}{1/3}=\frac25$ - אותה הסתברות.)

טעות נפוצה: להשוות את $P(\text{בת}\mid\text{מתנדב})=\frac23$ ל-$P(\text{מתנדב})=\frac25$ ולהסיק שהמאורעות תלויים - משווים הסתברות מותנית להסתברות של אותו מאורע: $P(\text{מתנדב}\mid\text{בת})$ מול $P(\text{מתנדב})$.

$\angle P$ משותפת למשולשים $PAB$ ו-$PCA$.

$\angle PAB$ היא זווית בין המשיק $PA$ למיתר $AB$, ולכן $\angle PAB=\angle ACB=\angle PCA$ (זווית היקפית על הקשת $AB$).

לפי ז.ז.: $\triangle PAB\sim\triangle PCA$ ($P\leftrightarrow P$, $A\leftrightarrow C$, $B\leftrightarrow A$), ולכן

טעות נפוצה: לכתוב את היחסים בהתאמה $A\leftrightarrow A$, $B\leftrightarrow C$ ולקבל $\frac{PA}{PA}=\frac{PB}{PC}$, כלומר $PB=PC$ - שאינו נכון.

נראה שבמשולש $PAM$ הזוויות שליד הצלע $AM$ שוות.

$\angle PAB=\angle ACB$ (זווית בין משיק למיתר, כמו בסעיף א), ו-$\angle BAM=\angle MAC$ (חוצה זווית). לכן $\angle PAM=\angle ACB+\angle MAC$.

$\angle PMA$ היא זווית חיצונית למשולש $AMC$ (ב-$M$), ולכן היא שווה לסכום שתי הזוויות הפנימיות שאינן צמודות לה:

מכאן $\angle PAM=\angle PMA$, ולכן המשולש $PAM$ שווה-שוקיים: $PA=PM$.

טעות נפוצה: לכתוב $\angle PAB=\angle ABC$ (זווית היקפית שהקודקוד שלה בקצה המיתר $AB$, ולא ב-$C$), לקבל $\angle PAM=\angle ABC+\angle MAC$ ולהסיק שזווית זו שווה ל-$\angle PMA=\angle ACB+\angle MAC$ רק כאשר $AB=AC$ - כלומר ש-$PA=PM$ אינו נכון בדרך כלל.

נסמן $PA=x$. לפי סעיף ב גם $PM=x$, ולכן $PC=PM+MC=x+3$.

לפי סעיף א:

$x=-2$ נפסל (אורך), ולכן $PA=6$.