שאלות פתוחות: התיכון ליתר במשולש ישר-זווית והמשפט ההפוך - כיתה י' 5 יח"ל

בדף הזה 15 שאלות פתוחות במתמטיקה על התיכון ליתר במשולש ישר-זווית והמשפט ההפוך, לתלמידי כיתה י' 5 יח"ל, מתוך הנושא "חפיפה ומשפטים במשולש ישר-זווית". השאלות בכמה רמות (קלה, בינונית, קשה), משאלות קצרות לתרגול מיומנות אחת ועד שאלות עם כמה סעיפים. מורים יכולים לבחור מהן שאלות, לבנות מבחן או דף עבודה, להוסיף פתרונות ולהוריד ל-Word.

15 שאלותקלה: 4בינונית: 9קשה: 2

שאלה 1 · התיכון ליתר: זוויות, והמשפט ההפוךשאלה קצרה · קלה

שני הסעיפים עוסקים במשולשים שונים ואינם תלויים זה בזה.

א.

במשולש ABCABCABC הזווית CCC ישרה, ו-MMM היא אמצע היתר ABABAB. נתון: ∠CAB=28∘\angle CAB=28^\circ∠CAB=28∘. מצאו את הזוויות של המשולש AMCAMCAMC ואת הזוויות של המשולש BMCBMCBMC.

ב.

במשולש KLMKLMKLM הנקודה NNN היא אמצע הצלע LMLMLM. נתון: LM=10LM=10LM=10 ס"מ, KN=5KN=5KN=5 ס"מ. מצאו את הזווית ∠LKM\angle LKM∠LKM. נמקו.

שאלה 2 · זוויות שוות ליד תיכון: הוכחת זווית ישרהשאלה קצרה · בינונית

במשולש ABCABCABC הנקודה MMM היא אמצע הצלע BCBCBC, ו-AMAMAM הוא התיכון לצלע זו. נתון: ∠ABC=∠BAM=35∘\angle ABC=\angle BAM=35^\circ∠ABC=∠BAM=35∘.
ABCM

הוכיחו כי ∠BAC=90∘\angle BAC=90^\circ∠BAC=90∘, ומצאו את ∠ACB\angle ACB∠ACB.

שאלה 3 · תיכון וגובה לשוקיים במשולש שווה שוקייםשאלה קצרה · קשה

במשולש שווה השוקיים AMKAMKAMK (AM=AKAM=AKAM=AK) זווית הראש ∠MAK\angle MAK∠MAK חדה. הקטע KDKDKD הוא התיכון לשוק AMAMAM, והקטע MEMEME הוא הגובה לשוק AKAKAK (הנקודה EEE על השוק AKAKAK). נתון: MK=2DEMK=2DEMK=2DE.

מצאו את הזווית ∠MAK\angle MAK∠MAK. נמקו.

שאלה 4 · אורך התיכון ליתרשאלה קצרה · קלה

שני הסעיפים עוסקים במשולשים שונים ואינם תלויים זה בזה.

א.

במשולש ABCABCABC הזווית CCC ישרה, ו-CMCMCM הוא התיכון ליתר ABABAB. נתון: AC=6AC=6AC=6 ס"מ, BC=8BC=8BC=8 ס"מ.
ABCM
חשבו את אורך התיכון CMCMCM.

ב.

במשולש KLMKLMKLM הזווית LLL ישרה, והנקודה NNN היא אמצע היתר KMKMKM. נתון: LN=7.5LN=7.5LN=7.5 ס"מ, KL=9KL=9KL=9 ס"מ. חשבו את אורך הניצב LMLMLM.

שאלה 5 · התיכון והגובה ליתר: קטעים על היתר וניצביםשאלת ביניים · בינונית

במשולש ישר הזווית ABCABCABC (∠ACB=90∘\angle ACB=90^\circ∠ACB=90∘) הקטע CMCMCM הוא התיכון ליתר ABABAB, והקטע CDCDCD הוא הגובה ליתר. הנקודה DDD נמצאת בין MMM ל-BBB.
נתון: CM=12.5CM=12.5CM=12.5 ס"מ, CD=12CD=12CD=12 ס"מ.
ABCDM

א.

חשבו את אורך היתר ABABAB ואת אורך הקטע MDMDMD.

ב.

חשבו את אורכי הקטעים ADADAD ו-DBDBDB.

ג.

חשבו את אורכי הניצבים ACACAC ו-BCBCBC ואת היקף המשולש ABCABCABC.

שאלה 6 · שני גבהים במשולש חד-זווית ואמצע הצלע השלישיתשאלת ביניים · קשה

במשולש חד-הזוויות ABCABCABC הקטע BEBEBE הוא הגובה לצלע ACACAC, והקטע CFCFCF הוא הגובה לצלע ABABAB. הנקודה MMM היא אמצע הצלע BCBCBC. נסמן ∠BAC=α\angle BAC=\alpha∠BAC=α.
BCAEFM

א.

הוכיחו כי המשולש MEFMEFMEF שווה שוקיים.

ב.

הביעו את הזווית ∠EMF\angle EMF∠EMF באמצעות α\alphaα.

ג.

מצאו את α\alphaα שעבורה המשולש MEFMEFMEF שווה צלעות. עבור α\alphaα זו ונתון BC=14BC=14BC=14 ס"מ, מצאו את אורך הקטע EFEFEF.

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (9)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

אנך מאמצע היתר לניצב (שאלת ביניים · קלה)
המשולש $ABC$ הוא משולש ישר זווית ( $\angle ACB=90^\circ$ ). הנקודה $M$ היא אמצע היתר $AB$ . מהנקודה $M$ הורידו…
חוצי זוויות סמוכות במקבילית והתיכון ליתר (שאלת ביניים · בינונית)
$ABCD$ היא מקבילית. חוצה הזווית $\angle DAB$ וחוצה הזווית $\angle ADC$ נפגשים בנקודה $P$ , שנמצאת בתוך…
התיכון ליתר פעמיים: רבע מהיתר (שאלת ביניים · בינונית)
במשולש $DEF$ הזווית $E$ ישרה, ו- $EM$ הוא התיכון ליתר $DF$ . מהנקודה $M$ מורידים אנך $MN$ לניצב $DE$ (הנקודה $N$ …
מלבן, מקבילית והתיכון ליתר (שאלת ביניים · קלה)
$ABCD$ הוא מלבן. הנקודה $E$ נמצאת על המשך הצלע $AB$ מעבר ל- $B$ , כך ש- $CE\parallel BD$ . הנקודה $M$ היא אמצע…
אמצעי צלעות במעוין ובדלתון (שאלת ביניים · בינונית)
$MNPQ$ הוא מעוין שאלכסוניו נפגשים בנקודה $T$ . הנקודה $E$ היא אמצע הצלע $MN$ , והנקודה $F$ היא אמצע הצלע $NP$ .
גובה במשולש ואמצעי שתי צלעות (שאלת ביניים · בינונית)
במשולש חד-הזוויות $ABC$ הקטע $AH$ הוא הגובה לצלע $BC$ . הנקודה $M$ היא אמצע הצלע $AB$ , והנקודה $N$ היא אמצע…
התיכון ליתר והזווית החיצונית (שאלה קצרה · בינונית)
במשולש $PQR$ נתון: $\angle PRQ=90^\circ$ . הנקודה $T$ היא אמצע היתר $PQ$ .
טרפז שווה שוקיים שאלכסונו מאונך לשוק (שאלה קצרה · בינונית)
בכל סעיף $ABCD$ הוא טרפז שווה שוקיים ( $AB\parallel DC$ , $AD=BC$ , $AB<DC$ ). האלכסון $BD$ מאונך לשוק $BC$ , ו- $M$ …
הזווית בין הגובה לתיכון ליתר (שאלה קצרה · בינונית)
במשולש $ABC$ הזווית $A$ ישרה. $AH$ הוא הגובה ליתר $BC$ , ו- $AM$ הוא התיכון ליתר.