שאלות פתוחות: מרובעים במערכת צירים - כיתה י' 5 יח"ל

שאלות פתוחות בנושא מרובעים במערכת צירים לכיתה י' 5 יחידות: מקבילית, ריבוע וטרפז לפי שיעורי הקודקודים. התלמידים מוצאים קודקוד רביעי של מקבילית, כולל כל האפשרויות, מוצאים קודקודים של ריבוע מתוך אלכסון, עובדים עם ריבוע שצלעותיו מקבילות לצירים, ושאלה אחת משלבת מרובע שקודקודיו על שתי פרבולות עם פרמטר. רוב השאלות ברמה בינונית, ויש גם קלות וקשות. מכאן בונים מבחן או דף עבודה, עם פתרון מלא ו-Word.

24 שאלותקלה: 4בינונית: 17קשה: 3

שאלה 1 · קודקודי מקבילית לפי מפגש האלכסוניםשאלה קצרה · קלה

אלכסוני המקבילית ABCDABCDABCD נפגשים בנקודה E(−1,5)E(-1,5)E(−1,5). נתון: D(−7,1)D(-7,1)D(−7,1), C(3,1)C(3,1)C(3,1).

מצאו את שיעורי הקודקודים AAA ו-BBB.

שאלה 2 · ריבוע שצלעותיו מקבילות לצירים וקודקוד על ישר נתוןשאלת ביניים · בינונית

צלעות הריבוע ABCDABCDABCD מקבילות לצירים. הקודקוד A(−1,−2)A(-1,-2)A(−1,−2) הוא הקודקוד השמאלי התחתון, והקודקוד CCC (הנגדי ל-AAA) נמצא על הישר y=−2x+8y=-2x+8y=−2x+8, כמתואר בסרטוט.
ABCD

א.

נסמן את אורך צלע הריבוע ב-sss. הביעו באמצעות sss את שיעורי CCC, והסבירו מדוע CCC נמצאת על הישר y=x−1y=x-1y=x−1.

ב.

מצאו את שיעורי CCC ואת אורך הצלע sss.

ג.

מצאו את שיעורי הקודקודים BBB ו-DDD, וכתבו את משוואות ארבע הצלעות של הריבוע. אילו מארבעת הישרים האלה אינם גרפים של פונקציות?

שאלה 3 · כל האפשרויות לקודקוד הרביעי של מקביליתשאלה קצרה · קשה

נתונות הנקודות A(1,1)A(1,1)A(1,1), B(5,2)B(5,2)B(5,2) ו-C(3,6)C(3,6)C(3,6). מחפשים נקודה DDD כך שארבע הנקודות AAA, BBB, CCC, DDD הן הקודקודים של מקבילית (לא בהכרח בסדר הזה).

מצאו את כל הנקודות DDD האפשריות.

שאלה 4 · זיהוי מקבילית ונקודות על ישר אחד בעזרת שיפועיםשאלה קצרה · בינונית

שני הסעיפים אינם תלויים זה בזה.

א.

נתון המרובע ABCDABCDABCD שקודקודיו A(−3,1)A(-3,1)A(−3,1), B(3,4)B(3,4)B(3,4), C(6,1)C(6,1)C(6,1), D(0,−2)D(0,-2)D(0,−2). הראו בעזרת שיפועים שהמרובע ABCDABCDABCD הוא מקבילית.

ב.

האם הנקודות P(−2,−5)P(-2,-5)P(−2,−5), Q(1,1)Q(1,1)Q(1,1) ו-R(4,7)R(4,7)R(4,7) נמצאות על ישר אחד? נמקו.

שאלה 5 · ריבוע לפי אלכסון אחד: מציאת שני הקודקודים האחריםשאלת ביניים · קשה

הקטע ACACAC הוא אלכסון של הריבוע ABCDABCDABCD. נתון: A(1,0)A(1,0)A(1,0), C(7,8)C(7,8)C(7,8). שיעור ה-xxx של הקודקוד BBB קטן משיעור ה-xxx של הקודקוד DDD.

א.

מצאו את שיעורי נקודת מפגש האלכסונים MMM ואת אורך האלכסון ACACAC.

ב.

נסמן B(x,y)B(x,y)B(x,y). הסבירו מדוע MB=5MB=5MB=5 ו-BA=BCBA=BCBA=BC, והראו כי מהשוויון BA=BCBA=BCBA=BC נובע 3x+4y=283x+4y=283x+4y=28.

ג.

מצאו את שיעורי הקודקודים BBB ו-DDD, וחשבו את שטח הריבוע.

שאלה 6 · הוכחה שמקבילית היא מלבן בעזרת שיפועיםשאלה קצרה · בינונית

הנקודות O(0,0)O(0,0)O(0,0), A(6,2)A(6,2)A(6,2) ו-C(−1,3)C(-1,3)C(−1,3) הן שלושה קודקודים של המקבילית OABCOABCOABC.

הוכיחו כי OABCOABCOABC היא מלבן.

שאלה 7 · פרבולה, השיקוף שלה ביחס לציר ה-x והמעוין שנוצרשאלת ביניים · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=x2−4x+cf(x)=x^2-4x+cf(x)=x2−4x+c, כאשר c<4c<4c<4 פרמטר, ונתונה הפונקציה g(x)=−f(x)g(x)=-f(x)g(x)=−f(x).
הגרף של f(x)f(x)f(x) חותך את ציר ה-xxx בנקודות AAA ו-BBB (AAA משמאל ל-BBB). CCC הוא הקודקוד של f(x)f(x)f(x), ו-DDD הוא הקודקוד של g(x)g(x)g(x).

א.

הביעו באמצעות ccc את שיעורי הנקודות AAA, BBB, CCC ו-DDD. הסבירו מדוע גם הגרף של g(x)g(x)g(x) עובר דרך AAA ו-BBB.

ב.

הסבירו מדוע המרובע ACBDACBDACBD הוא מעוין.

ג.

מצאו את ccc שעבורו המרובע ACBDACBDACBD הוא ריבוע, ומצאו את שטח הריבוע.

שאלה 8 · מרובע שנוצר משני ישרים ומהציריםשאלת ביניים · בינונית

הישר ℓ1: y=−32x+12\ell_1:\ y=-\frac32x+12ℓ1​: y=−23​x+12 חותך את ציר ה-xxx בנקודה AAA, והישר ℓ2: y=34x+3\ell_2:\ y=\frac34x+3ℓ2​: y=43​x+3 חותך את ציר ה-yyy בנקודה CCC. הישרים ℓ1\ell_1ℓ1​ ו-ℓ2\ell_2ℓ2​ נחתכים בנקודה BBB. OOO היא ראשית הצירים (ראו סרטוט).
OABC

א.

מצאו את שיעורי הנקודות AAA ו-CCC.

ב.

מצאו את שיעורי הנקודה BBB.

ג.

חשבו את שטח המרובע OABCOABCOABC.

שאלה 9 · מקבילית בתוך משולש: הוכחה וחישוב שטחשאלה קצרה · בינונית

נתון משולש KLMKLMKLM: K(−2,1)K(-2,1)K(−2,1), L(6,5)L(6,5)L(6,5), M(6,−3)M(6,-3)M(6,−3). הנקודה PPP היא אמצע הצלע KMKMKM, והנקודה QQQ היא אמצע הצלע LMLMLM. דרך PPP העבירו ישר המקביל לציר ה-yyy, וחותך את הצלע KLKLKL בנקודה RRR.
KLMPQR

א.

הוכיחו כי המרובע RLQPRLQPRLQP הוא מקבילית.

ב.

חשבו את שטח המקבילית RLQPRLQPRLQP.

שאלה 10 · מלבן: קודקוד נגדי, אורך האלכסון וזווית בין אלכסון לצלעשאלת ביניים · בינונית

נתון מלבן ABCDABCDABCD. שיעורי הקודקוד AAA הם (1,2)(1,2)(1,2), ושיעורי נקודת מפגש האלכסונים MMM הם (4,6)(4,6)(4,6). אורך הצלע ABABAB הוא 666.

א.

מצאו את שיעורי הקודקוד CCC ואת אורך האלכסון ACACAC.

ב.

מצאו את הזווית שבין האלכסון ACACAC לבין הצלע ADADAD. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (14)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

זיהוי מעוין לפי אורכי צלעות, אורכי אלכסונים ושטח (שאלת ביניים · קלה)
נתון המרובע $ABCD$ שקודקודיו $A(1,-2)$ , $B(4,2)$ , $C(4,7)$ , $D(1,3)$ .
השלמת מקבילית כשנקודת מפגש האלכסונים על ישר נתון (שאלת ביניים · בינונית)
נתונים שני קודקודים של המקבילית $ABCD$ : $A(-2,5)$ ו- $B(6,1)$ . אלכסוני המקבילית נפגשים בנקודה $E$ , שנמצאת על…
דלתונים עם אותם קודקודי ראש ואותו שטח (שאלת ביניים · קלה)
הנקודות $K(-2,1)$ ו- $M(6,1)$ הן קודקודי הראש של הדלתון $KLMN$ : $KL=KN$ ו- $ML=MN$ . האלכסון הראשי הוא $KM$ .…
דלתון במערכת צירים (שאלת ביניים · בינונית)
במערכת צירים (יחידה $=1$ ס"מ) נתונות הנקודות $A(-4,0)$ , $B(0,3)$ , $D(0,-3)$ . הנקודה $C(c,0)$ נמצאת על החלק…
מלבן בתוך ריבוע: פינות של 45° (שאלה מלאה · בינונית)
צלעות הריבוע $ABCD$ מקבילות לצירים. $A(-5,4)$ הוא הקודקוד השמאלי העליון, $C(5,-6)$ הוא הקודקוד הנגדי לו, ו- $B$ …
דלתון שאלכסוניו על הצירים, ומלבן בתוכו (שאלה מלאה · בינונית)
במערכת צירים הנקודות $B$ ו- $D$ נמצאות על ציר ה- $x$ ( $B$ משמאל לראשית $O$ ו- $D$ מימינה), והנקודות $A$ ו- $C$ …
טרפז שנוצר מארבעה ישרים (שאלה מלאה · בינונית)
נתונים ארבעה ישרים: $\ell_1:\ y=x+2$ , $\ell_2:\ y=x-6$ , $\ell_3:\ y=-x+4$ , $\ell_4:\ x=-3$ . נקודות החיתוך שלהם…
מעוין שצלע שלו על ישר אנכי (שאלת ביניים · בינונית)
$ABCD$ הוא מעוין שאורך צלעו $10$ יחידות. הצלע $BC$ מונחת על הישר $x=3$ , הקודקוד $B$ הוא $(3,6)$ , והקודקוד $C$ …
שני דלתונים עם קודקוד משותף: נקודות על ישר אחד (שאלת ביניים · בינונית)
$ABCD$ הוא מרובע: $A(-3,4)$ , $B(-6,0)$ , $C(-3,-6)$ , $D(0,0)$ . $DEFG$ הוא דלתון: $DE=DG$ ו- $FE=FG$ . האלכסון…
דלתון שאלכסוניו על ישרים נתונים (שאלת ביניים · בינונית)
$ABCD$ הוא דלתון: $AB=AD$ ו- $CB=CD$ . האלכסון הראשי $AC$ מונח על הישר $x=-2$ , והאלכסון $BD$ מונח על הישר $y=1$ .…
טרפז במערכת צירים: האלכסונים וארבעת המשולשים (שאלת ביניים · בינונית)
במערכת צירים נתון הטרפז $ABCD$ : $A(0,0)$ , $B(6,0)$ , $C(3,6)$ , $D(0,6)$ . הבסיסים הם $AB$ ו- $DC$ . האלכסונים $AC$ …
מקבילית בין שני ישרים מקבילים ושני ישרים אנכיים (שאלת ביניים · קלה)
האזור $ABCD$ תחום בין ארבעה ישרים: $\ell_1:\ y=0.5x+2$ , $\ell_2:\ y=0.5x+6$ , $x=-4$ ו- $x=2$ . הקודקודים: $A$ על…
אלכסונים מאונכים שאינם יוצרים מעוין: צלעות ושטחים (שאלת ביניים · בינונית)
במערכת צירים נתון המרובע $ABCD$ : $A(-4,0)$ , $B(0,6)$ , $C(8,0)$ , $D(0,-1)$ . האלכסונים $AC$ ו- $BD$ מונחים על…
מלבן נטוי: מפגש האלכסונים והמרחקים ממנו (שאלת ביניים · בינונית)
במערכת צירים נתון המרובע $ABCD$ : $A(0,1)$ , $B(4,3)$ , $C(3,5)$ , $D(-1,3)$ .