שאלות פתוחות: בעיות קיצון בפונקציות וגרפים - פולינום - כיתה י"א 4 יח"ל

שאלות פתוחות לחזרה על בעיות קיצון בפונקציות וגרפים עם פולינום, לכיתה י"א 4 יחידות. בשאלות נקודה נעה על פרבולה כמו 12-x² או -x²+20x, ומחפשים מתי שטח של מלבן או משולש, או אורך של קטע אנכי בין הפרבולה לישר, הוא הגדול ביותר. יש שאלות שבהן הישר כולל פרמטר k, ושאלות על היטלים של נקודה על הצירים. רוב השאלות בינוניות, ויש קלות וקשות, ומתאים לדף חזרה או לבוחן, עם פתרון מלא וייצוא ל-Word.

18 שאלותקלה: 5בינונית: 11קשה: 2

שאלה 1 · בעיית קיצון: מלבן בין הצירים לפרבולהשאלה מלאה · קלה

נתונה הפונקציה f(x)=12−x2f(x)=12-x^2f(x)=12−x2. הנקודה AAA נמצאת על גרף הפונקציה ברביע הראשון. הנקודה BBB היא ההיטל של AAA על ציר ה-xxx, והנקודה CCC היא ההיטל של AAA על ציר ה-yyy, כך ש-OBACOBACOBAC הוא מלבן (OOO - ראשית הצירים). נסמן ב-ttt את שיעור ה-xxx של AAA.
OBAC

א.

הביעו באמצעות ttt את אורכי הצלעות OBOBOB ו-ABABAB ואת שטח המלבן. מהו תחום הערכים של ttt?

ב.

מצאו את הערך של ttt שבעבורו שטח המלבן מקסימלי, והראו שזו אכן נקודת מקסימום.

ג.

מהו השטח המקסימלי? האם ייתכן מלבן כזה ששטחו 20? נמקו.

שאלה 2 · בעיית קיצון: מלבן מתחת לפרבולה הפוכהשאלה מלאה · בינונית

נתונה הפונקציה: f(x)=16−x2f(x)=16-x^2f(x)=16−x2 ונתון הישר x=−1x=-1x=−1. הנקודה AAA נמצאת על גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) ברביע הראשון. מן הנקודה AAA מעבירים ישר המקביל לציר ה-xxx וחותך את הישר הנתון בנקודה BBB. הנקודות CCC ו-DDD נמצאות על ציר ה-xxx כך שהמרובע ABCDABCDABCD הוא מלבן (ראה סרטוט). נסמן ב-ttt את שיעור ה-xxx של הנקודה AAA.
ABCD

א.

מצאו את הערך של ttt שבעבורו שטח המלבן ABCDABCDABCD הוא מקסימלי.

ב.

האם ייתכן מלבן ABCDABCDABCD שנבנה באופן המתואר ושטחו הוא 40? נמקו.

שאלה 3 · מלבן בין פרבולה לישר משתנה: מתי יש מקסימוםשאלה מלאה · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=x2+2f(x)=x^2+2f(x)=x2+2 ונתון הישר x=kx=kx=k, כאשר k>0k>0k>0. הנקודה AAA נמצאת על גרף הפונקציה ברביע הראשון, משמאל לישר. מן הנקודה AAA מעבירים ישר המקביל לציר ה-xxx וחותך את הישר x=kx=kx=k בנקודה BBB. הנקודות CCC ו-DDD נמצאות על ציר ה-xxx כך שהמרובע ABCDABCDABCD הוא מלבן. נסמן ב-ttt את שיעור ה-xxx של AAA.
ABCD

א.

הביעו את שטח המלבן באמצעות ttt ו-kkk, וקבעו את תחום הערכים של ttt.

ב.

לאילו ערכים של kkk יש לפונקציית השטח נקודת קיצון בתחום 0<t<k0<t<k0<t<k?

ג.

נתון כי שטח המלבן מקסימלי כאשר t=2t=2t=2. מצאו את kkk ואת השטח המקסימלי.

ד.

בעבור kkk שמצאתם, מצאו את כל הערכים האפשריים של שטח המלבן ABCDABCDABCD.

שאלה 4 · משולש מקסימלי מתחת לפרבולהשאלה קצרה · בינונית

הנקודה AAA נמצאת על גרף הפונקציה f(x)=27−x2f(x)=27-x^2f(x)=27−x2 ברביע הראשון. BBB היא ההיטל של AAA על ציר ה-xxx, ו-OOO היא ראשית הצירים. נסמן ב-ttt את שיעור ה-xxx של AAA.

א.

מצאו את הערך של ttt שבעבורו שטח המשולש OABOABOAB מקסימלי.

ב.

מהו השטח המקסימלי של המשולש?

שאלה 5 · בעיית קיצון עם פרמטר: הישר, המקבילית הגדולה וקודקוד הפרבולהשאלה מלאה · קשה

נתונים הפונקציה f(x)=−x2+20xf(x)=-x^2+20xf(x)=−x2+20x והישר y=kxy=kxy=kx, כאשר 0<k<200<k<200<k<20. הנקודה AAA נמצאת על גרף הפונקציה ברביע הראשון, והנקודה BBB על הישר, ישירות מתחת ל-AAA. הנקודה CCC נמצאת על החלק החיובי של ציר ה-yyy כך שהמרובע ABOCABOCABOC הוא מקבילית (OOO ראשית הצירים). נסמן ב-ttt את שיעור ה-xxx של AAA. בסרטוט מתואר המצב בעבור ערך מסוים של kkk.
ABCO

א.

הביעו באמצעות ttt ו-kkk את שטח המקבילית, וקבעו את התחום של ttt.

ב.

הביעו באמצעות kkk את הערך של ttt שבעבורו השטח מקסימלי, ואת השטח המקסימלי.

ג.

השטח המקסימלי של המקבילית הוא 256. מצאו את kkk.

ד.

לכל ערך של kkk מתאימה מקבילית בעלת שטח מקסימלי. לאילו ערכים של kkk הקודקוד AAA של המקבילית הזאת נמצא על החלק העולה של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x), לאילו ערכים הוא נמצא בקודקוד הפרבולה, ולאילו ערכים על החלק היורד?

שאלה 6 · בעיית קיצון: מקבילית בין פרבולה לישרשאלה מלאה · בינונית

נתונים הפונקציה: f(x)=−x2+5x+24f(x)=-x^2+5x+24f(x)=−x2+5x+24 והישר: y=2xy=2xy=2x. הנקודה AAA נמצאת על גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) ברביע הראשון. הנקודה BBB נמצאת על הישר הנתון כך שהנקודה AAA נמצאת מעליה, כמתואר בסרטוט. OOO היא ראשית הצירים. הנקודה CCC נמצאת על החלק החיובי של ציר ה-yyy כך שהמרובע ABOCABOCABOC הוא מקבילית. נסמן ב-ttt את שיעור ה-xxx של הנקודה AAA.
ABCO

א.

הביעו באמצעות ttt את אורך הצלע ABABAB ואת אורך הגובה לצלע ABABAB במקבילית.

ב.

מצאו את הערך של ttt שבעבורו שטח המקבילית ABOCABOCABOC הוא מקסימלי.

שאלה 7 · משולש מקסימלי בין פרבולה לישרשאלה קצרה · בינונית

נתונים הפונקציה f(x)=−x2+12xf(x)=-x^2+12xf(x)=−x2+12x והישר y=3xy=3xy=3x. הנקודה AAA נמצאת על גרף הפונקציה ברביע הראשון, והנקודה BBB על הישר, ישירות מתחת ל-AAA. OOO היא ראשית הצירים. נסמן ב-ttt את שיעור ה-xxx של AAA.
ABO

א.

הביעו באמצעות ttt את אורך הקטע ABABAB.

ב.

מצאו את הערך של ttt שבעבורו שטח המשולש OABOABOAB מקסימלי, ואת השטח המקסימלי.

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

בעיית קיצון: מלבן בין פרבולה לישר אנכי · בגרות 471 חורף 2022, שאלה 8
נתונה הפונקציה: $f(x)=x^2+3$ ונתון הישר $x=5$ . הנקודה $A$ נמצאת על גרף הפונקציה $f(x)$ ברביע הראשון משמאל לישר. מן הנקודה $A$ מעבירים ישר המקביל לציר ה- $x$ …
בעיית קיצון: מקבילית בין פרבולה לישר · בגרות 471 קיץ 2023 מועד מיוחד, שאלה 8
נתונים הפונקציה: $f(x)=-x^2+18x$ והישר: $y=3x$ . הנקודה $A$ נמצאת על גרף הפונקציה $f(x)$ ברביע הראשון. הנקודה $B$ נמצאת על הישר הנתון כך שהנקודה $A$ נמצאת מעליה,…

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (9)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

הפונקציות $x^{2}$ ו- $x$ : קטע אופקי בין הגרפים ומשולש בעל שטח מקסימלי (שאלה מלאה · קלה)
נתונות שתי פונקציות: $f(x)=x^2$ , $g(x)=\sqrt x$ .
הישר $y = x$ והפונקציה $x$ : קטע אופקי ומשולש בעל שטח מקסימלי - מודרך (שאלה מלאה · קלה)
נתונות הפונקציות $f(x)=x$ ו- $g(x)=\sqrt x$ .
משולש מקסימלי מתחת לגרף פולינום בתחום מוגבל (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $y=6x^2-x^3$ בתחום $0\le x\le6$ . הנקודה $P$ נמצאת על גרף הפונקציה. $M$ היא נקודת החיתוך של האנך…
קטע אנכי בין גרף פולינום לישר: קיצון מוחלט בתחום סגור (שאלה קצרה · בינונית)
נתונים גרף הפונקציה $f(x)=x^3-3x^2$ והישר $y=9x+30$ . הנקודה $P$ נמצאת על גרף $f(x)$ ושיעור ה- $x$ שלה הוא $t$ ,…
קטע אופקי בין גרף $x (x - 1) (x - 2)$ לישר: אורך מינימלי ומקסימלי בתחום סגור (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם מתוארים גרף הפונקציה: $f(x)=x^3-3x^2+2x$ והישר $y=2x+b$ . $b$ הוא פרמטר חיובי. הנקודה $A$ נמצאת…
קטע אופקי בין גרף $x^{3} + 3 x$ לישר $y = 6 x + 4$ (מודרך) (שאלה מלאה · קלה)
בסרטוט שלפניכם מתוארים גרף הפונקציה $f(x)=x^3+3x$ והישר $y=6x+4$ . הנקודה $A$ נמצאת על גרף $f(x)$ , משמאל לנקודת…
קטע אופקי בין גרף $(4 x - 2)^{3}$ לישר: אורך מינימלי ומקסימלי בתחום סגור (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם מתוארים גרף הפונקציה: $f(x)=(4x-2)^3$ והישר $y=3x+b$ . $b$ הוא פרמטר חיובי. הנקודה $A$ נמצאת על…
משיק לפולינום בנקודה כללית: תחום הפרמטר ושטח מקסימלי של משולש (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=x^3+4x^2$ , המוגדרת לכל $x$ . הנקודה B נמצאת על גרף הפונקציה $f(x)$ ברביע השני (ראו…
משיק לפולינום בנקודה כללית: שטח משולש בשלבים (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=3x^3+16x^2+16x$ . הנקודה B נמצאת על גרף הפונקציה ברביע השני, ו- $t$ הוא שיעור ה- $x$ שלה.…