מבחן לדוגמה: סדרה הנדסית אינסופית - כיתה י"א 5 יח"ל

מצאו את המנה של כל אחת מהסדרות, וקבעו עבור כל אחת אם האיבר הכללי שלה שואף לאפס.

הראו כי היקפי הריבועים מהווים סדרה הנדסית, ומצאו את איברה הראשון ואת מנתה.

החל מאיזה ריבוע ההיקף קטן מ-$1$?

נתונה סדרה B שאיבריה מקיימים $b_n=\frac{1}{a_n}$ לכל $n$ טבעי.

הוכיחו כי B היא סדרה הנדסית, ומצאו את האיבר הראשון שלה ואת המנה שלה.

הראו כי סכום הסדרה B מתכנס, ומצאו אותו.

בסדרה B מחקו את כל האיברים שבמקומות הזוגיים ($b_2, b_4, b_6, \ldots$).

מצאו את סכום האיברים הנותרים.

בסרטוט שלפניכם משולש $ABC$. הנקודה $D$ נמצאת על הצלע $BC$, והנקודה $E$ נמצאת על הצלע $AC$, כך ש-$DE\parallel AB$.

נתון: $BE=7$, $EC=4$.

בבית ספר מסוים ההסתברות שתלמיד שנבחר באקראי מגיע לבית הספר באופניים היא 0.3. בוחרים באקראי 5 תלמידים מבית הספר.

לפניכם שני ביטויים:

ביטוי 1: $1-0.7^5-5\cdot0.3\cdot0.7^4$

ביטוי 2: $\binom53\cdot0.3^3\cdot0.7^2+\binom54\cdot0.3^4\cdot0.7+0.3^5$

קבעו איזו מן ההסתברויות I-III שלפניכם אפשר לחשב על ידי ביטוי 1 ואיזו מהן אפשר לחשב על ידי ביטוי 2.

I. ההסתברות שיותר מבין הנבחרים מגיעים באופניים מאשר לא באופניים.

II. ההסתברות שלפחות שניים מהנבחרים מגיעים באופניים.

III. ההסתברות שלכל היותר שניים מהנבחרים מגיעים באופניים.

$f(x)$ היא פונקציה. בסרטוט שלפניכם מוצגים שני גרפים: גרף I וגרף II. אחד הגרפים הוא של פונקציית הנגזרת $f'(x)$, והגרף האחר הוא גרף של פונקציית הנגזרת השנייה $f''(x)$. (גרף II עובר בראשית ומשיק לציר ה-$x$ ב-$x=2$.)

במעגל שמרכזו $O$ בונים סדרה אין-סופית של משולשים שווי שוקיים. זוויות הראש של המשולשים הן זוויות מרכזיות במעגל, ושוקי המשולשים הם רדיוסים במעגל.

זווית הראש של המשולש הראשון ($\Delta AOB$) היא $\alpha$. זווית הראש של המשולש השני ($\Delta BOC$) היא $\frac{\alpha}{3}$, כמתואר בסרטוט.

ממשיכים לבנות משולשים שווי שוקיים כך שזווית הראש של כל משולש נוסף בסדרה קטנה פי 3 מזווית הראש של המשולש שלפניו.

נתון: סכום כל זוויות הראש של כל המשולשים בסדרה הוא $135^\circ$.

הוכיחו כי $b_n$ היא סדרה הנדסית שמנתה $q$, והביעו את $b_n$ באמצעות $a_n$ ו-$q$.

נתון: האיבר הראשון בסדרה $a_n$ גדול מסכום כל שאר האיברים בה, וסכום הסדרה $b_n$ גדול פי 6.25 מן האיבר $b_2$.

מצאו את $q$.

בסדרה $b_n$ מחליפים את הסימן של כל אחד מן האיברים שנמצאים במקומות הזוגיים. סכום הסדרה האין-סופית שמתקבלת הוא 25.

מצאו את $a_1$.

מצאו את מנת הסדרה ואת סכום כל איבריה.

מצאו את כל הספרות $a$ שעבורן הסדרה מתכנסת וסכומה הוא מספר שלם.

הוכיחו כי $0<q<1$ וכי כל איברי הסדרה $a_n$ שליליים.

הוכיחו כי $d_n$ היא סדרה הנדסית אין-סופית מתכנסת, והביעו באמצעות $a_1$ ו-$q$ את היחס $\frac{S_d}{S_a}$.

נתון: $S_a=-6$, $S_d=18$.

מצאו את $a_1$ ואת $q$.

מעכשיו נתון רק $S_a=-6$, ו-$S_d$ אינו ידוע.

מצאו את כל הערכים האפשריים של $S_d$.