מבחן לדוגמה: יישומי הצטברות ונפחים - כיתה י"א 5 יח"ל

חשבו את הדרך שעבר הגוף בין $t=0$ ל-$t=3$, ואת מרחקו ברגע $t=3$ מהנקודה שבה היה ברגע $t=0$.

מצאו את כמות המים בבריכה כעבור $9$ שעות.

מצאו באיזה רגע יהיו במכל $120$ ליטרים.

הביעו את $M(t)$ באמצעות $t$.

מצאו עבור איזה ערך של $t$ הערך הממוצע $M(t)$ הוא הגדול ביותר, ומהו ערך ממוצע זה.

מצאו את הערך של $t>0$ שעבורו $M(t)=0$. מה פירוש הדבר לגבי השטחים המוגבלים על ידי גרף $f(x)$ וציר ה-$x$ בקטע $[0,t]$?

הראו כי $M(a)=\dfrac{2}{\sqrt a+1}$.

חשבו את הערך הממוצע של $f(x)$ בקטע $[1,9]$, ומצאו את הנקודה $x$ בקטע שבה ערך הפונקציה שווה לערך הממוצע.

מצאו את $a>1$ שעבורו הערך הממוצע $M(a)$ גדול פי $1.6$ מ-$f(a)$. הסבירו מדוע אין $a>1$ שעבורו $M(a)$ גדול פי $2$ מ-$f(a)$.

מצאו את גובה הפירמידה ואת נפחה.

מצאו את נפח המים במכל.

איזה חלק מנפח המכל תופסים המים?

מוציאים מן המכל חלק מהמים, עד שגובה המים, הנמדד מן הקודקוד, הוא $3$ ס"מ. חשבו בעזרת אינטגרל כמה סמ"ק מים הוציאו, ומצאו איזה חלק מנפח המכל תופסים עכשיו המים.

היעזרו בפונקציה $y=x^3$ וסרטטו סקיצה של גרף הפונקציה $h(x)$ עבור $a>0$ ועבור $a<0$.

נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{x}{(ax^3+1)^2}$, $a>0$.

ענו על סעיף ב. אם יש צורך הביעו בעזרת $a$.

נתון $a=1$. מהו נפח גוף הסיבוב הנוצר מסיבוב סביב ציר ה-$x$ של השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה $f(x)$, ציר ה-$x$ והאנך לציר ה-$x$ בנקודת הקיצון של הפונקציה?