מבחן לדוגמה: מבוא לסדרות - כיתה י"א 5 יח"ל

מצאו את $p$ ואת $q$.

האם המספרים $120$ ו-$100$ הם איברים בסדרה? אם כן - מצאו את מקומם, אם לא - נמקו.

ידוע כי לכל $n$ טבעי מתקיים: $1\cdot5+3\cdot11+5\cdot17+\ldots+(2n-1)(6n-1)=n(4n^2+2n-1)$.

הנקודה $A$ נמצאת על מעגל שמרכזו $O$. המשיק למעגל בנקודה $A$ יוצר זווית של $\alpha$ מעלות עם המיתר $AB$ (ראו סרטוט).

נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{\sqrt{9x^2+5}}{x+1}$ המוגדרת לכל $x$ השונה מ-$(-1)$.

$f(x)$ היא פונקציה אי-זוגית המוגדרת לכל $x$. הגרף שלפניכם מתאר את הפונקציה $f(x)$. ל-$f(x)$ יש נקודות קיצון ב-$x=-2$ וב-$x=2$, ובנקודות $x=-1$ ו-$x=1$ המשיק לגרף מקביל לציר ה-$x$. נתונה הפונקציה $g(t)$ המוגדרת בתחום: $-2\le t\le2$ ומקיימת: $g(t)=\int_{-2}^{t}f(x)\,dx$.

הביעו באמצעות $k$ את $a_2$, $a_3$ ו-$a_4$.

נתון כי $a_4=17$. מצאו את $k$ ואת $a_5$.

מצאו את המקום של האיבר הראשון בסדרה שגדול מ-$100$.

מצאו את כל ערכי $k$ שעבורם הסדרה $a_1,a_2,a_3,\dots$ היא חשבונית.

מעתה $k=2$. מגדירים סדרה נוספת $b_n$ כך ש-$b_1=1$ ו-$b_{n+1}-b_n=a_n$ לכל $n$.

הביעו את $b_n$ באמצעות $n$.

מצאו את $m$ שעבורו מתקיים:

האם המספר 552 הוא איבר בסדרה $b_n$? אם כן - מצאו את מקומו.

נתונה הסדרה: $a_n=\cos(n\pi)$, $n$ טבעי.

לפניכם שני גרפים בעלי אותו תחום הגדרה ($x\neq0$). אחד מהם הוא הגרף של פונקציה $f(x)$, והשני הוא הגרף של הנגזרת שלה $f'(x)$.

איזה גרף מתאים ל-$f(x)$ ואיזה ל-$f'(x)$? נמקו.

נתונות שתי סדרות: $a_n=2n+1$, ו-$b_n$ המוגדרת על ידי $b_1=3$, $b_{n+1}=b_n+2$.

נתון כי $f(x)$ היא פונקציה זוגית.

קבעו לגבי כל אחת מהפונקציות הבאות אם היא בהכרח זוגית. נמקו.

נתונה הסדרה: $a_n=\cos\left(\frac{n\pi}{2}+\frac{\pi}{3}\right)$, $n$ טבעי.

רשמו ארבעה איברים ראשונים בסדרה.

מצאו את הסכום של 2022 האיברים הראשונים בסדרה.

לכל $n$ טבעי נסמן $S_n=a_1+a_2+\ldots+a_n$. מצאו את כל הערכים של $n$ שעבורם $S_n=0$, ומצאו את הערך הקטן ביותר שמקבל $S_n$.

כמה מאיברי הסדרה קטנים מ-$50$?

מצאו את $b$ ואת $c$.