שאלות פתוחות: סדרה עולה, יורדת, מחזורית וסימן האיברים - כיתה י"א 5 יח"ל

$b_n$ היא סדרה שאיבריה מקיימים $b_n=a_n+a_{n+1}$ לכל $n$ טבעי.

הראו כי $b_n=\frac43a_n$ לכל $n$, והסיקו כי $b_n$ היא סדרה הנדסית. מהי המנה שלה?

מצאו את סכום הסדרה $b_n$.

$c_n$ היא סדרה שאיבריה מקיימים $c_n=\frac{b_n}{a_n}$ לכל $n$ טבעי.

נתון כי סכום $k$ האיברים הראשונים בסדרה $c_n$ הוא 40.

הראו כי הסדרה $c_n$ היא קבועה, ומצאו את $k$.

מחליפים את הסימן של כל אחד מן האיברים שנמצאים במקומות הזוגיים בסדרה $c_n$.

מצאו את סכום $k$ האיברים הראשונים בסדרה $c_n$ לאחר החלפת הסימנים. נמקו.

הראו כי $a_{n+1}-a_n=\frac{5k+14}{(2n+5)(2n+7)}$, ומצאו את ערכי $k$ שעבורם הסדרה עולה.

מצאו את ערכי $k$ שעבורם הסדרה עולה, ויש בה גם איברים שליליים וגם איברים חיוביים.

הראו כי הסדרה מחזורית, ומצאו את אורך המחזור.

מצאו את $a_{103}$ ואת המכפלה $a_1\cdot a_2\cdot\ldots\cdot a_{103}$.

נתונה הסדרה: $a_n=\cos(n\pi)$, $n$ טבעי.

לפניכם שני גרפים בעלי אותו תחום הגדרה ($x\neq0$). אחד מהם הוא הגרף של פונקציה $f(x)$, והשני הוא הגרף של הנגזרת שלה $f'(x)$.

איזה גרף מתאים ל-$f(x)$ ואיזה ל-$f'(x)$? נמקו.

נתונות שתי סדרות: $a_n=2n+1$, ו-$b_n$ המוגדרת על ידי $b_1=3$, $b_{n+1}=b_n+2$.

נתון כי $f(x)$ היא פונקציה זוגית.

קבעו לגבי כל אחת מהפונקציות הבאות אם היא בהכרח זוגית. נמקו.

חשבו את $S_{100}$.

מצאו את הערך הקטן ביותר של $n$ שעבורו $S_n>30$.

הראו כי לכל $n$ טבעי מתקיים $a_{n+3}=a_n$.

הוכיחו כי הסדרה יורדת.

האם יש בסדרה איבר ששווה ל-$1$ או קטן מ-$1$? נמקו.

כמה מבין $20$ האיברים הראשונים בסדרה חיוביים, כמה שליליים וכמה שווים לאפס?

מצאו את ערכי $k$ שעבורם $a_{n+2}=a_n$ לכל $n$ טבעי, והסדרה אינה קבועה.

לפניכם שלוש טענות I-III. קבעו איזו מן הטענות נכונה ונמקו את קביעתכם.

I. $q<-1$

II. $-1<q<0$

III. $0<q<1$

$b_n$ היא סדרה אין-סופית שאיבריה מקיימים $b_n=a_n-a_{n+1}+a_{n+2}$ לכל $n$ טבעי.

הוכיחו כי הסדרה $b_n$ היא הנדסית ומנתה היא $q$.

נתון כי סכום הסדרה $b_n$ גדול פי 1.56 מסכום הסדרה $a_n$.

מצאו את הערך של $q$.

$c_n$ היא סדרה שאיבריה מקיימים $c_n=\frac{b_n}{2\cdot a_n}$ לכל $n$ טבעי.

נתון כי סכום $k$ האיברים הראשונים בסדרה הוא 46.02.

החליפו את הסימן של כל אחד מן האיברים שנמצאים במקומות האי-זוגיים בסדרה $c_n$.

מצאו את סכום $k$ האיברים הראשונים בסדרה $c_n$ לאחר החלפת הסימנים. נמקו את תשובתכם.