שאלות פתוחות: סדרה כפונקציה של מקום: הגדרה לפי מקום - כיתה י"א 5 יח"ל

שאלות פתוחות על סדרה המוגדרת לפי מקום (איבר כללי a_n) לכיתה י"א, 5 יחידות. בשאלות מחשבים איברים מתוך נוסחה, מוצאים פרמטר כשידוע ששני איברים שווים זה לזה, מזהים איזה איבר הוא הקטן ביותר בסדרה ריבועית, ובונים נוסחה מתוך שני איברים ידועים. יש גם שאלה על סכום מחוברים שהמחובר שבמקום ה-k בו נתון בנוסחה. הרמות נעות בין קלה לקשה, ורוב השאלות בינוניות. אפשר לבחור מכאן שאלות לבוחן פתיחה בנושא סדרות או לדף עבודה, עם פתרון מלא לכל שאלה וייצוא ל-Word.

23 שאלותקלה: 8בינונית: 12קשה: 3

שאלה 1 · סדרה כפונקציה של מקום: הגדרה לפי מקוםשאלה קצרה · קלה

נתונה הסדרה an=n2−kn+12a_n=n^2-kn+12an​=n2−kn+12, כאשר kkk פרמטר. ידוע כי a3=a5a_3=a_5a3​=a5​.

א.

מצאו את kkk.

ב.

מצאו את כל האיברים השליליים בסדרה, ואת האיבר הקטן ביותר בסדרה.

שאלה 2 · סדרה כפונקציה של מקום: הגדרה לפי מקוםשאלה קצרה · בינונית

נתונה הסדרה an=n+kna_n=n+\frac{k}{n}an​=n+nk​, כאשר kkk פרמטר. ידוע כי a2=a6a_2=a_6a2​=a6​.

מצאו את kkk. מצאו את האיבר הקטן ביותר בסדרה ואת כל המקומות שבהם הוא מתקבל.

שאלה 3 · סדרה כפונקציה של מקום: הגדרה לפי מקוםשאלה קצרה · קשה

נתונה הסדרה an=n2−kn+20a_n=n^2-kn+20an​=n2−kn+20, כאשר kkk פרמטר ממשי.

מצאו את כל ערכי kkk שעבורם יש בסדרה בדיוק שני איברים ששווים ל-888.

שאלה 4 · סדרה כפונקציה של מקום: הגדרה לפי מקוםשאלה קצרה · קלה

נתונה סדרה שהאיבר הכללי שלה הוא an=pn2+qna_n=pn^2+qnan​=pn2+qn, כאשר ppp ו-qqq פרמטרים. ידוע כי a1=1a_1=1a1​=1 ו-a2=6a_2=6a2​=6.

א.

מצאו את ppp ואת qqq.

ב.

האם המספרים 120120120 ו-100100100 הם איברים בסדרה? אם כן - מצאו את מקומם, אם לא - נמקו.

שאלה 5 · שאלות קצרות: קטע מסכום באינדוקציה, משיק ורדיוס, אסימפטוטות של פונקציית שורש, הצטברות של פונקציה אי-זוגיתשאלה מלאה · בינונית

ענו על שניים מארבעת הסעיפים א–ד שלפניכם. אם תענו על יותר משני סעיפים, ייבדקו רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתכם.

א.

ידוע כי לכל nnn טבעי מתקיים: 1⋅5+3⋅11+5⋅17+…+(2n−1)(6n−1)=n(4n2+2n−1)1\cdot5+3\cdot11+5\cdot17+\ldots+(2n-1)(6n-1)=n(4n^2+2n-1)1⋅5+3⋅11+5⋅17+…+(2n−1)(6n−1)=n(4n2+2n−1).

(1)

חשבו את הערך של הביטוי: 7⋅23+9⋅29+…+29⋅897\cdot23+9\cdot29+\ldots+29\cdot897⋅23+9⋅29+…+29⋅89.

ידוע כי לכל nnn טבעי מתקיים: 1⋅5+3⋅11+5⋅17+…+(2n−1)(6n−1)+(2n+1)(6n+5)=(n+1)(4n2+10n+C)1\cdot5+3\cdot11+5\cdot17+\ldots+(2n-1)(6n-1)+(2n+1)(6n+5)=(n+1)(4n^2+10n+C)1⋅5+3⋅11+5⋅17+…+(2n−1)(6n−1)+(2n+1)(6n+5)=(n+1)(4n2+10n+C).

(2)

מצאו את הערך של CCC.

ב.

הנקודה AAA נמצאת על מעגל שמרכזו OOO. המשיק למעגל בנקודה AAA יוצר זווית של α\alphaα מעלות עם המיתר ABABAB (ראו סרטוט).
αOABE

(1)

הביעו באמצעות α\alphaα את הזווית OABOABOAB.

(2)

הביעו באמצעות α\alphaα את היחס בין אורך הקשת הגדולה ABABAB ובין אורך הקשת הקטנה ABABAB.

ג.

נתונה הפונקציה: f(x)=9x2+5x+1f(x)=\frac{\sqrt{9x^2+5}}{x+1}f(x)=x+19x2+5​​ המוגדרת לכל xxx השונה מ-(−1)(-1)(−1).

(1)

מצאו את משוואות האסימפטוטות של הפונקציה f(x)f(x)f(x) המאונכות לצירים.

נתונה הפונקציה: g(x)=k⋅f(2x)g(x)=k\cdot f(2x)g(x)=k⋅f(2x), k>0k>0k>0 הוא פרמטר.

(2)

מצאו את הערך של kkk שעבורו המרחק בין האסימפטוטות האופקיות של הפונקציה g(x)g(x)g(x) הוא 9. נמקו את תשובתכם.

ד.

f(x)f(x)f(x) היא פונקציה אי-זוגית המוגדרת לכל xxx. הגרף שלפניכם מתאר את הפונקציה f(x)f(x)f(x). ל-f(x)f(x)f(x) יש נקודות קיצון ב-x=−2x=-2x=−2 וב-x=2x=2x=2, ובנקודות x=−1x=-1x=−1 ו-x=1x=1x=1 המשיק לגרף מקביל לציר ה-xxx. נתונה הפונקציה g(t)g(t)g(t) המוגדרת בתחום: −2≤t≤2-2\le t\le2−2≤t≤2 ומקיימת: g(t)=∫−2tf(x) dxg(t)=\int_{-2}^{t}f(x)\,dxg(t)=∫−2t​f(x)dx.
f(x)
-3-2-1123-4-224

(1)

קבעו באיזה תחום הפונקציה g(t)g(t)g(t) יורדת.

(2)

האם קיימים ערכים של ttt (בתחום: −2≤t≤2-2\le t\le2−2≤t≤2) שעבורם הפונקציה g(t)g(t)g(t) שלילית? נמקו את תשובתכם.

(3)

האם לפונקציה g(t)g(t)g(t) יש נקודות פיתול? נמקו את תשובתכם.

שאלה 6 · זיהוי מקום של מחובר לפי האיבר הכללי בסכוםשאלה קצרה · קשה

בשאלה זו nnn הוא מספר טבעי, ו-SnS_nSn​ מסמן את סכום nnn המחוברים הראשונים בסכום 1⋅5+3⋅11+5⋅17+…1\cdot5+3\cdot11+5\cdot17+\ldots1⋅5+3⋅11+5⋅17+…, שהמחובר שבמקום ה-kkk בו הוא (2k−1)(6k−1)(2k-1)(6k-1)(2k−1)(6k−1).

א.

ידוע כי לכל nnn טבעי מתקיים: 1⋅5+3⋅11+5⋅17+…+(2n−1)(6n−1)=n(4n2+2n−1)1\cdot5+3\cdot11+5\cdot17+\ldots+(2n-1)(6n-1)=n(4n^2+2n-1)1⋅5+3⋅11+5⋅17+…+(2n−1)(6n−1)=n(4n2+2n−1).

חשבו את הערך של הביטוי: 7⋅23+9⋅29+…+29⋅897\cdot23+9\cdot29+\ldots+29\cdot897⋅23+9⋅29+…+29⋅89.

ב.

ידוע כי לכל nnn טבעי מתקיים: 1⋅5+3⋅11+5⋅17+…+(2n−1)(6n−1)+(2n+1)(6n+5)=(n+1)(4n2+10n+C)1\cdot5+3\cdot11+5\cdot17+\ldots+(2n-1)(6n-1)+(2n+1)(6n+5)=(n+1)(4n^2+10n+C)1⋅5+3⋅11+5⋅17+…+(2n−1)(6n−1)+(2n+1)(6n+5)=(n+1)(4n2+10n+C).

מצאו את הערך של CCC.

שאלה 7 · סדרה כפונקציה של מקום: הגדרה לפי מקוםשאלה קצרה · קלה

נתונה הסדרה an=3n2−30n+80a_n=3n^2-30n+80an​=3n2−30n+80.

א.

באילו מקומות בסדרה נמצא איבר ששווה ל-171717?

ב.

האם המספר 444444 הוא איבר בסדרה? אם כן - מצאו את מקומו, אם לא - נמקו.

שאלה 8 · שאלות קצרות: אינדוקציה על $n$ אי-זוגי, הסתברות מותנית, תחומי הגדרה של פונקציות שורש, $f^{2} f^{'}$ כש- $f$ זוגיתשאלה מלאה · בינונית

ענו על שניים מארבעת הסעיפים א-ד שלפניכם. אם תענו על יותר משני סעיפים, ייבדקו רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתכם.

א.

נתון כי השוויון 2+12+30+…+n(n+1)=(n+1)(n+a)(2n+1)122+12+30+\ldots+n(n+1)=\frac{(n+1)(n+a)(2n+1)}{12}2+12+30+…+n(n+1)=12(n+1)(n+a)(2n+1)​ מתקיים בעבור n=3n=3n=3. aaa הוא פרמטר.

(1)

מצאו את הערך של aaa.

(2)

בעבור הערך של aaa שמצאתם, הוכיחו באינדוקציה או בכל דרך אחרת כי השוויון הנתון מתקיים לכל nnn טבעי אי-זוגי.

ב.

בבית קפה בדקו מה קנו הלקוחות. נמצא כי מספר הלקוחות שקנו רק קפה גדול פי 2 ממספר הלקוחות שקנו גם קפה וגם מאפה. 23\frac{2}{3}32​ מן הלקוחות שקנו מאפה, קנו גם קפה. נסמן ב-ppp את ההסתברות לבחור באקראי לקוח שקנה רק קפה.

(1)

הביעו באמצעות ppp את ההסתברות לבחור באקראי לקוח שקנה לפחות אחד משני המוצרים.

(2)

ידוע שנבחר באקראי לקוח שקנה לפחות אחד משני המוצרים. מה ההסתברות שהלקוח שנבחר קנה גם קפה וגם מאפה?

ג.

נתונות הפונקציות: f(x)=x2−4xf(x)=\frac{\sqrt{x^2-4}}{x}f(x)=xx2−4​​, g(x)=x2−4xg(x)=\frac{x^2-4}{\sqrt{x}}g(x)=x​x2−4​, h(x)=x2−4xh(x)=\sqrt{\frac{x^2-4}{x}}h(x)=xx2−4​​.

(1)

מצאו את תחום ההגדרה של כל אחת מן הפונקציות f(x)f(x)f(x), g(x)g(x)g(x) ו-h(x)h(x)h(x).

לפניכם הגרפים 1-5.
1
2
3
4
5

(2)

התאימו לכל אחת מן הפונקציות f(x)f(x)f(x), g(x)g(x)g(x) ו-h(x)h(x)h(x), את הגרף המייצג אותה מבין הגרפים 1-5 שלפניכם. נמקו את קביעותיכם.

ד.

הפונקציה f(x)f(x)f(x) ופונקציית הנגזרת שלה f′(x)f'(x)f′(x), מוגדרות לכל xxx. בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x). נתון כי הפונקציה f(x)f(x)f(x) היא זוגית, הגרף שלה חותך את ציר ה-yyy בנקודה (0,1)(0,1)(0,1), ובתחום x>0x>0x>0 יש לה נקודת קיצון אחת בלבד: נקודת מקסימום ששיעוריה (2,4)(2,4)(2,4). לפונקציה f(x)f(x)f(x) ולפונקציית הנגזרת שלה f′(x)f'(x)f′(x) יש אסימפטוטה אופקית y=0y=0y=0.
f(x)

(1)

סרטטו סקיצה אפשרית של גרף פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x)f′(x).

נתונה הפונקציה g(x)=f2(x)⋅f′(x)g(x)=f^2(x)\cdot f'(x)g(x)=f2(x)⋅f′(x).

(2)

מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה g(x)g(x)g(x) עם ציר ה-xxx.

(3)

חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה g(x)g(x)g(x) ועל ידי ציר ה-xxx. (הדרכה: גזרו את הפונקציה f3(x)3\frac{f^3(x)}{3}3f3(x)​.)

שאלה 9 · האיברים שבמקומות הזוגיים: הביטוי $a_{2 n}$ ומציאת פרמטריםשאלת ביניים · קשה

האיבר הכללי של סדרה הוא an=n2+pn+qa_n=n^2+pn+qan​=n2+pn+q, כאשר ppp ו-qqq מספרים.

א.

הראו כי לכל nnn טבעי מתקיים a2n−4an=−2pn−3qa_{2n}-4a_n=-2pn-3qa2n​−4an​=−2pn−3q.

ב.

נתון כי a2−4a1=27a_2-4a_1=27a2​−4a1​=27 ו-a4−4a2=33a_4-4a_2=33a4​−4a2​=33. מצאו את ppp ואת qqq.

ג.

מגדירים סדרה חדשה bn=a2nb_n=a_{2n}bn​=a2n​ (האיברים של ana_nan​ שבמקומות הזוגיים). האם המספר 474747 הוא איבר בסדרה ana_nan​? האם הוא איבר בסדרה bnb_nbn​? נמקו.

שאלה 10 · חישוב איברים ראשונים מנוסחה לפי מקוםשאלה קצרה · קלה

לפניכם סדרה המוגדרת בעזרת נוסחה לפי מקום.

נתונה סדרה אין-סופית שאיבריה מקיימים: an=2cos⁡(πn)3na_n=\frac{2\cos(\pi n)}{3^n}an​=3n2cos(πn)​ לכל nnn טבעי.

מצאו את שלושת האיברים הראשונים בסדרה ana_nan​.

עוד 5 שאלות על סדרה כפונקציה של מקום: הגדרה לפי מקום

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

סדרה הנדסית מתחלפת בסימן וסדרת $a_{n} - a_{n + 1} + a_{n + 2}$ : מנה, סכום אין-סופי, סדרה קבועה וסכום מתחלף (שאלה מלאה · בינונית)
$a_n$ היא סדרה הנדסית אין-סופית שאיבריה מתחלפים בסימן, והערך המוחלט של כל איבר בה קטן מהערך המוחלט של האיבר שלפניו. מנת הסדרה היא $q$ .
שאלות קצרות: משיקים בזווית $12 0^{\circ}$ ויחס שטחים, פרמטר בהסתברות של פריטים במפעל, הפרש שורשים והתאמת גרף, וסדרה הנדסית עם $cos (πn)$ (שאלה מלאה · בינונית)
מצאו פי כמה גדול שטח המשולש $AOB$ משטח המשולש $AKB$ .
שאלות קצרות: יחס שטחים כשאורך המשיק נתון, פרמטר בהסתברות של שני חצים, הפרש שורשים והתאמת גרף, וסדרה הנדסית עם $cos (\frac{4 ^{n} π}{3})$ (שאלה מלאה · בינונית)
מצאו פי כמה גדול שטח המשולש $AKB$ משטח המשולש $AOB$ .
איברים שלמים בסדרה הנתונה לפי מקום (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הסדרה $a_n=\frac{2n+15}{n+1}$ . ניתן לכתוב את האיבר הכללי שלה בצורה $a_n=2+\frac{13}{n+1}$ .
מציאת נוסחה ריבועית לפי מקום משלושה איברים, ושימוש בה (שאלת ביניים · בינונית)
האיבר הכללי של סדרה הוא מהצורה $a_n=pn^2+qn+r$ , כאשר $p$ , $q$ ו- $r$ מספרים. שלושת האיברים הראשונים בסדרה הם $a_1=4$ , $a_2=5$ , $a_3=10$ .

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

שאלות קצרות: סכום באינדוקציה, משיק ומיתר, אסימפטוטות של פונקציית שורש, פונקציית הצטברות של פונקציה אי-זוגית · בגרות 571 חורף 2023, שאלה 1
חשבו את הערך של הביטוי: $7\cdot12+10\cdot17+\ldots+58\cdot97$ .
שאלות קצרות: אינדוקציה על $n$ זוגי, הסתברות מותנית, תחומי הגדרה של פונקציות שורש, $f^{2} f^{'}$ כש- $f$ נתונה בגרף · בגרות 571 חורף 2025, שאלה 1
מצאו את הערך של $a$ .
סדרה הנדסית יורדת וסדרת הסכומים של שלושה איברים עוקבים: מנה, סכום אין-סופי, סדרה קבועה וסכום מתחלף · בגרות 571 קיץ 2026 מועד ב', שאלה 2
$a_n$ היא סדרה הנדסית אין-סופית יורדת שכל איבריה חיוביים ומנתה היא $q$ .
שאלות קצרות: יחס שטחים בין משיקים מאונכים, פרמטר בהסתברות של שני משחקי שחמט, סכום שורשים והתאמת גרף, וסדרה הנדסית עם $cos (π \cdot 2^{n})$ · בגרות 571 חורף 2026, שאלה 1
מצאו פי כמה גדול שטח המשולש $AOB$ משטח המשולש $AKB$ .

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (4)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

ייצוגים של סדרה: מילולי, סימבולי וגרפי (שאלה קצרה · קלה)
נתונה הסדרה $a_n=(-1)^n\cdot n+n$ .
הגדרת סדרה בעזרת איבר כללי (שאלה קצרה · קלה)
נתונה הסדרה $a_n=\frac{2n+15}{n+1}$ .
הגדרת סדרה בעזרת איבר כללי (שאלה קצרה · קלה)
נתונה סדרה שהאיבר הכללי שלה הוא $a_n=-2n^2+bn+c$ , כאשר $b$ ו- $c$ הם פרמטרים. נתון: $a_3=a_8$ , והאיבר הגדול…
ייצוגים של סדרה: מילולי, סימבולי וגרפי (שאלה קצרה · קלה)
בונים מגפרורים סדרת צורות: בשלב ה- $n$ בונים ריבוע בגודל $n$ על $n$ המחולק ל- $n^2$ משבצות שוות, וכל צלע של…