שאלות פתוחות: ייצוגים של סדרה: מילולי, סימבולי, גרפי וטבלה - כיתה י"א 5 יח"ל

ייצוגים של סדרה במילים, בנוסחה, בגרף ובטבלה: שאלות פתוחות לכיתה י"א, 5 יחידות. יש שאלות שבהן מתוארת סדרה במילים וצריך לכתוב לה נוסחה, שאלות שבהן נתונות נקודות (n,a_n) בגרף ומזהים מהן את החוק, ושאלות שבהן נקודות הסדרה נמצאות על גרף של פונקציה עם פרמטרים שיש למצוא. רוב השאלות ברמה קלה, חלקן בינוניות ומעטות קשות. בוחרים את השאלות המתאימות לדף עבודה או לבוחן, ומקבלים פתרון מלא וקובץ Word מוכן להדפסה.

16 שאלותקלה: 9בינונית: 5קשה: 2

שאלה 1 · ייצוגים של סדרה: מילולי, סימבולי, גרפי וטבלהשאלה קצרה · קלה

כל הנקודות (n,an)(n,a_n)(n,an​) בגרף של סדרה נמצאות על גרף הפונקציה y=kx+my=\frac{k}{x}+my=xk​+m. הנקודה המתאימה ל-n=1n=1n=1 היא (1,7)(1,7)(1,7), והנקודה המתאימה ל-n=2n=2n=2 היא (2,4)(2,4)(2,4).

א.

מצאו את kkk ואת mmm, וכתבו נוסחה לאיבר הכללי של הסדרה.

ב.

כמה מנקודות הגרף של הסדרה נמצאות מעל הישר y=2y=2y=2, וכמה נמצאות על הישר?

שאלה 2 · ייצוגים של סדרה: מילולי, סימבולי, גרפי וטבלהשאלה קצרה · בינונית

בטבלה שלפניכם מוצגים ערכי פונקציה fff:
xxx111222333444
f(x)f(x)f(x)333111444222
סדרה מוגדרת על ידי a1=1a_1=1a1​=1 ו-an+1=f(an)a_{n+1}=f(a_n)an+1​=f(an​) לכל n≥1n\ge1n≥1.

$x$	$1$	$2$	$3$	$4$
$f(x)$	$3$	$1$	$4$	$2$

מצאו את a2026a_{2026}a2026​ ואת סכום 202620262026 האיברים הראשונים בסדרה.

שאלה 3 · ייצוגים של סדרה: מילולי, סימבולי, גרפי וטבלהשאלה קצרה · קשה

סדרה מוגדרת על ידי an=−2n2+bn+ca_n=-2n^2+bn+can​=−2n2+bn+c, כאשר bbb ו-ccc פרמטרים. בגרף הסדרה (הנקודות (n,an)(n,a_n)(n,an​)) יש שתי נקודות שונות (n1,an1)(n_1,a_{n_1})(n1​,an1​​) ו-(n2,an2)(n_2,a_{n_2})(n2​,an2​​) שנמצאות על אותו ישר אופקי, ומתקיים n1+n2=11n_1+n_2=11n1​+n2​=11. האיבר הגדול ביותר בסדרה שווה ל-151515.

מצאו את bbb ואת ccc.

שאלה 4 · ייצוגים של סדרה: מילולי, סימבולי, גרפי וטבלהשאלה קצרה · קלה

סדרה מתוארת במילים: "כל איבר במקום אי-זוגי שווה לריבוע מקומו, וכל איבר במקום זוגי שווה למקומו ועוד 101010".

כמה מאיברי הסדרה קטנים מ-505050?

שאלה 5 · שאלות קצרות: סדרה חשבונית בטרפז, סכום מכפלות עוקבים, פישוט טריגונומטרי ו- $\frac{1}{h ( x )}$ מגרףשאלה מלאה · בינונית

ענו על שניים מארבעת הסעיפים א–ד שלפניכם. אם תענו על יותר משני סעיפים, ייבדקו רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתכם.

א.

נתון מרובע ABCD שבו גודלי הזוויות מהווים סדרה חשבונית עולה. איברי הסדרה הם: a1,a2,a3,a4a_1, a_2, a_3, a_4a1​,a2​,a3​,a4​. הוכיחו כי אם מתקיים: ∠A=a1\angle A=a_1∠A=a1​, ∠B=a2\angle B=a_2∠B=a2​, ∠C=a3\angle C=a_3∠C=a3​, ∠D=a4\angle D=a_4∠D=a4​, אז המרובע ABCD הוא טרפז.

ב.

נתון מגדל קוביות ובו 5 קומות (ראו ציור). הקומה התחתונה בנויה מ-30 קוביות המסודרות בצורת מלבן של 5×65\times65×6 קוביות. הקומה שמעליה בנויה מ-20 קוביות המסודרות בצורת מלבן של 4×54\times54×5 קוביות. וכך הלאה עד לקומה העליונה, שבה יש 2 קוביות (1×21\times21×2).
תוכלו להיעזר בנוסחה (לכל nnn טבעי): 1⋅2+2⋅3+3⋅4+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)31\cdot2+2\cdot3+3\cdot4+\ldots+n(n+1)=\frac{n(n+1)(n+2)}{3}1⋅2+2⋅3+3⋅4+…+n(n+1)=3n(n+1)(n+2)​.

(1)

כמה קוביות סך הכול דרושות כדי לבנות באותו אופן מגדל שבו 8 קומות?

(2)

נתון מגדל ובו 12 קומות הבנוי באותו אופן שבו בנוי המגדל המתואר בתחילת סעיף ב. כמה קוביות צריך להוסיף למגדל זה, כדי שיהיו בו 60 קומות הבנויות באותו אופן? פרטו את חישוביכם.

ג.

נתונה הפונקציה: f(x)=[sin⁡(x+π)+cos⁡(x+π2)]2+4(cos⁡(−x))2−3f(x)=\left[\sin(x+\pi)+\cos\left(x+\frac{\pi}{2}\right)\right]^2+4(\cos(-x))^2-3f(x)=[sin(x+π)+cos(x+2π​)]2+4(cos(−x))2−3 המוגדרת לכל xxx. האם לפונקציה f(x)f(x)f(x) יש נקודות חיתוך עם ציר ה-xxx? נמקו את תשובתכם.

ד.

הגרף שלפניכם מתאר את הפונקציה h(x)h(x)h(x) שתחום ההגדרה שלה הוא: x≠2x\neq2x=2, x≠5x\neq5x=5. הישרים: x=2x=2x=2, x=5x=5x=5, y=0y=0y=0 הם אסימפטוטות של הפונקציה h(x)h(x)h(x). הנקודה D(0,−1)D(0,-1)D(0,−1) היא נקודת המינימום היחידה של הפונקציה h(x)h(x)h(x), הנקודה F(3.5,−0.5)F(3.5,-0.5)F(3.5,−0.5) היא נקודת המקסימום היחידה של הפונקציה h(x)h(x)h(x), והנקודה E(1,0)E(1,0)E(1,0) היא נקודת החיתוך היחידה של גרף הפונקציה h(x)h(x)h(x) עם ציר ה-xxx.
DEF

(1)

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה: 1h(x)\frac{1}{h(x)}h(x)1​.

(2)

בכמה נקודות נפגשים הגרף של h(x)h(x)h(x) והגרף של 1h(x)\frac{1}{h(x)}h(x)1​? נמקו את תשובתכם.

שאלה 6 · מגרף הנקודות של סדרה לנוסחה, וסכום בעזרת זוגות איבריםשאלת ביניים · קשה

בגרף שלפניכם מסומנות שש הנקודות הראשונות (n,an)(n,a_n)(n,an​) של סדרה: (1,−5)(1,-5)(1,−5), (2,7)(2,7)(2,7), (3,−9)(3,-9)(3,−9), (4,11)(4,11)(4,11), (5,−13)(5,-13)(5,−13), (6,15)(6,15)(6,15). ידוע כי האיבר הכללי של הסדרה הוא מהצורה an=(−1)n⋅(pn+q)a_n=(-1)^n\cdot(pn+q)an​=(−1)n⋅(pn+q), כאשר ppp ו-qqq מספרים.
01234567-15-10-551015

א.

מצאו את ppp ואת qqq.

ב.

הראו כי לכל nnn אי-זוגי מתקיים an+an+1=2a_n+a_{n+1}=2an​+an+1​=2.

ג.

חשבו את סכום 505050 האיברים הראשונים בסדרה, ואת סכום 515151 האיברים הראשונים בסדרה.

שאלה 7 · ייצוגים של סדרה: מילולי, סימבולי, גרפי וטבלהשאלה קצרה · קלה

נתונה הסדרה an=2n2−13n+15a_n=2n^2-13n+15an​=2n2−13n+15. איברי הסדרה מוצגים כנקודות (n,an)(n,a_n)(n,an​) במערכת צירים.

א.

מצאו את האיבר הקטן ביותר בסדרה ואת מקומו.

ב.

כמה מנקודות הגרף של הסדרה נמצאות מתחת לציר ה-xxx?

שאלה 8 · ייצוגים של סדרה: מילולי, סימבולי, גרפי וטבלהשאלה קצרה · בינונית

בציור שלפניכם מגדל קוביות ובו 4 קומות. כל קומה היא מלבן מלא של קוביות (גם בחלקים שמוסתרים בציור). את הקומות ממספרים מלמעלה: הקומה העליונה היא הקומה הראשונה.
באותו אופן בונים מגדלים עם יותר קומות: כל קומה חדשה מתווספת מתחת לקומה התחתונה, והיא גדלה ביחס לקומה שמעליה כמו בציור.

א.

כמה קוביות יש בקומה ה-nnn (מלמעלה)? הביעו באמצעות nnn.

ב.

במגדל גבוה שנבנה באותו אופן יש קומה שבה 195 קוביות. מהו מספר הקומה (מלמעלה)?

שאלה 9 · נוסחה לפי מקום מנקודות הגרף של סדרהשאלה קצרה · קלה

כל הנקודות (n,an)(n,a_n)(n,an​) בגרף של סדרה נמצאות על גרף הפונקציה y=kx+my=\frac{k}{x}+my=xk​+m. הנקודה המתאימה ל-n=1n=1n=1 היא (1,7)(1,7)(1,7), והנקודה המתאימה ל-n=2n=2n=2 היא (2,4)(2,4)(2,4).

מצאו את kkk ואת mmm, וכתבו נוסחה לאיבר הכללי של הסדרה.

שאלה 10 · מתיאור מילולי לכלל נסיגה, לטבלה, לנוסחה ולגרףשאלת ביניים · בינונית

סדרה מתוארת במילים: "האיבר הראשון הוא 444, וכל איבר אחר שווה לשלוש פעמים האיבר שלפניו, פחות 444".

א.

כתבו את הסדרה בעזרת כלל נסיגה, והשלימו את הטבלה של שבעת האיברים הראשונים:
nnn111222333444555666777
ana_nan​

ב.

תלמידה הציעה את הנוסחה לפי מקום an=2⋅3n−1+2a_n=2\cdot3^{n-1}+2an​=2⋅3n−1+2. בדקו שהנוסחה נותנת את כל הערכים שבטבלה מסעיף א, והראו שאם מציבים את הנוסחה בכלל הנסיגה, 3an−43a_n-43an​−4 שווה לערך שהנוסחה נותנת ל-an+1a_{n+1}an+1​.

ג.

מסמנים במערכת צירים את הנקודות (n,an)(n,a_n)(n,an​) של הסדרה. כמה מהנקודות נמצאות מתחת לישר y=10000y=10000y=10000?

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

שאלות קצרות: סדרה חשבונית במרובע, סכום ריבועים, פישוט טריגונומטרי ו- $\frac{1}{g ( x )}$ מגרף · בגרות 571 חורף 2022 מועד נבצרים, שאלה 1
נתון מרובע ABCD שבו גודלי הזוויות מהווים סדרה חשבונית עולה. איברי הסדרה הם: $a_1, a_2, a_3, a_4$ . הוכיחו כי אם מתקיים: $\angle A=a_1$ , $\angle B=a_2$ ,…

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (5)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

ייצוגים של סדרה: מילולי, סימבולי וגרפי (שאלה קצרה · קלה)
נתונה הסדרה $a_n=(-1)^n\cdot n+n$ .
הגדרת סדרה בעזרת איבר כללי (שאלה קצרה · קלה)
נתונה סדרה שהאיבר הכללי שלה הוא $a_n=-2n^2+bn+c$ , כאשר $b$ ו- $c$ הם פרמטרים. נתון: $a_3=a_8$ , והאיבר הגדול…
ייצוגים של סדרה: מילולי, סימבולי וגרפי (שאלה קצרה · קלה)
בונים מגפרורים סדרת צורות: בשלב ה- $n$ בונים ריבוע בגודל $n$ על $n$ המחולק ל- $n^2$ משבצות שוות, וכל צלע של…
הגדרת סדרה בעזרת איבר כללי (שאלה קצרה · קלה)
נתונה הסדרה $a_n=n^2-10n+c$ , כאשר $c$ הוא פרמטר. נתון כי בסדרה יש בדיוק שלושה איברים שליליים.
הגדרת סדרה בעזרת איבר כללי (שאלה קצרה · קלה)
נתונה הסדרה $a_n=n^2-kn$ , כאשר $k$ הוא פרמטר.