מבחן לדוגמה: אינטגרלים של פונקציות טריגונומטריות - כיתה י"א 5 יח"ל

הביעו באמצעות $t$ את מיקום הגוף $x(t)$.

מצאו את הרגע הראשון $t>0$ שבו הגוף משנה את כיוון תנועתו, ואת מיקום הגוף ברגע זה.

חשבו את הדרך הכוללת שעבר הגוף מהרגע $t=0$ עד הרגע $t=\frac{3\pi}{2}$, ואת ההעתק שלו בפרק זמן זה.

מצאו את כל הערכים האפשריים של $a$.

מצאו את $f(x)$.

מצאו את $f(x)$.

הראו כי $f(x)=1-\cos2x$.

הראו כי $g(x)=f(x)+c$, ומצאו את $c$.

חשבו את $\int_0^{\frac{\pi}{4}}f(x)\,dx$ ואת $\int_0^{\frac{\pi}{4}}g(x)\,dx$.

חשבו את נפח גוף הסיבוב שנוצר מסיבוב סביב ציר ה-$x$ של גרף הפונקציה $y=\sqrt{f(x)}$ בתחום $0\le x\le\frac{\pi}{4}$.

הביעו את $g(x)$ באמצעות $\cos x$ בלבד, וקבעו עבור כל אחת מהפונקציות $f$ ו-$g$ אם היא זוגית, אי-זוגית או אחרת.

מצאו את כל ערכי $m$ שבעבורם למשוואה $g(x)=m$ יש בדיוק 4 פתרונות בתחום $-\pi<x<\pi$.

הגרפים של $g(x)$ ושל $h(x)=\sin^2x$ כולאים ביניהם תחום שציר ה-$y$ עובר דרכו. חשבו את שטח התחום הזה.

בסרטוט הגרפים של $g(x)$ ושל $h(x)=a\sin^2x$ בתחום $0\le x\le\pi$. הגרפים נחתכים בנקודה $D\left(\frac\pi6,1\right)$.

מצאו את $a$.

מצאו את כל נקודות החיתוך של שני הגרפים בתחום $0\le x\le\pi$.

חשבו את השטח המוגבל בין שני הגרפים בתחום $\frac\pi6\le x\le\frac{5\pi}6$ (השטח המסומן).

בלי לחשב בנפרד את האינטגרלים של $f$ ושל $g$, מצאו את $\int_0^{\pi/4}f(x)\,dx$. נמקו.

מצאו את נקודות החיתוך של הגרפים של $f$ ו-$g$ בתחום הנתון.

חשבו את השטח המוגבל בין הגרפים של $f$ ושל $g$ בתחום $\frac{\pi}{8}\le x\le\frac{3\pi}{8}$.

נסמן ב-$V_f$ וב-$V_g$ את נפחי הגופים שנוצרים מסיבוב הגרפים של $\sqrt{f(x)}$ ושל $\sqrt{g(x)}$ סביב ציר ה-$x$, בתחום $0\le x\le\frac{\pi}{8}$. חשבו את $V_g-V_f$.