שאלות פתוחות: משפט חפיפה רביעי: שתי צלעות והזווית מול הצלע הגדולה - כיתה י"א 5 יח"ל

בדף הזה 7 שאלות פתוחות במתמטיקה על משפט חפיפה רביעי: שתי צלעות והזווית מול הצלע הגדולה, לתלמידי כיתה י"א 5 יח"ל, מתוך הנושא "חפיפה ומשפטים במשולש ישר-זווית (חומר קודם)". השאלות בכמה רמות (קלה, בינונית, קשה), משאלות קצרות לתרגול מיומנות אחת ועד שאלות עם כמה סעיפים. מורים יכולים לבחור מהן שאלות, לבנות מבחן או דף עבודה, להוסיף פתרונות ולהוריד ל-Word.

7 שאלותקלה: 2בינונית: 3קשה: 2

שאלה 1 · זיהוי משפט החפיפה הרביעישאלה קצרה · קלה

שני הסעיפים שלפניכם אינם תלויים זה בזה.

א.

במשולשים ABCABCABC ו-DEFDEFDEF נתון: AB=DEAB=DEAB=DE, AC=DFAC=DFAC=DF, AB>ACAB>ACAB>AC, ∠ACB=∠DFE=70∘\angle ACB=\angle DFE=70^\circ∠ACB=∠DFE=70∘. נתון גם ∠BAC=45∘\angle BAC=45^\circ∠BAC=45∘. הוכיחו כי △ABC≅△DEF\triangle ABC\cong\triangle DEF△ABC≅△DEF, ומצאו את הזוויות ∠EDF\angle EDF∠EDF ו-∠DEF\angle DEF∠DEF.

ב.

במשולשים KLMKLMKLM ו-PQRPQRPQR נתון: ∠KLM=∠PQR=90∘\angle KLM=\angle PQR=90^\circ∠KLM=∠PQR=90∘, KM=PRKM=PRKM=PR, LM=QRLM=QRLM=QR. האם המשולשים חופפים? נמקו.

שאלה 2 · זווית קהה מול הצלע הגדולהשאלה קצרה · בינונית

במשולש שווה השוקיים ABCABCABC (AB=ACAB=ACAB=AC) הנקודה DDD נמצאת על המשך הבסיס BCBCBC מעבר ל-CCC, והנקודה EEE נמצאת על המשך הבסיס CBCBCB מעבר ל-BBB, כך ש-AD=AEAD=AEAD=AE (ראו סרטוט).
ABCED

הוכיחו כי △ABE≅△ACD\triangle ABE\cong\triangle ACD△ABE≅△ACD, והסיקו כי BE=CDBE=CDBE=CD.

שאלה 3 · חוצה זווית שהוא גם תיכוןשאלה קצרה · קשה

במשולש חד-זווית ABCABCABC הקטע ADADAD הוא חוצה הזווית BACBACBAC, והנקודה DDD היא אמצע הצלע BCBCBC (ראו סרטוט).
ABCD

הוכיחו כי AB=ACAB=ACAB=AC.

שאלה 4 · הגובה לבסיס במשולש שווה שוקיים הוא גם חוצה זווית ותיכוןשאלה קצרה · קלה

במשולש שווה השוקיים ABCABCABC (AB=ACAB=ACAB=AC) הקטע ADADAD הוא הגובה לבסיס BCBCBC (ראו סרטוט).
ABCD

הוכיחו, בלי להסתמך על כך שזוויות הבסיס במשולש שווה שוקיים שוות, כי הגובה ADADAD הוא גם חוצה זווית הראש ∠BAC\angle BAC∠BAC וגם התיכון לבסיס BCBCBC.

שאלה 5 · שתי זוויות קהות מול צלעות שוות: $EB = BC$ שאלה קצרה · בינונית

במשולש שווה השוקיים ABCABCABC (AB=ACAB=ACAB=AC) הנקודה EEE נמצאת על המשך הצלע CBCBCB מעבר ל-BBB, והנקודה DDD נמצאת על המשך הצלע ACACAC מעבר ל-CCC, כך ש-CD=ABCD=ABCD=AB ו-BD=AEBD=AEBD=AE (ראו סרטוט).
ABCDE

הוכיחו כי EB=BCEB=BCEB=BC.

שאלה 6 · שתי צלעות והגובה לצלע השלישיתשאלת ביניים · קשה

במשולשים ABCABCABC ו-A′B′C′A'B'C'A′B′C′ נתון: AB=A′B′AB=A'B'AB=A′B′, AC=A′C′AC=A'C'AC=A′C′. AHAHAH הוא הגובה לצלע BCBCBC, A′H′A'H'A′H′ הוא הגובה לצלע B′C′B'C'B′C′, ונתון AH=A′H′AH=A'H'AH=A′H′. הזוויות ∠B\angle B∠B, ∠C\angle C∠C, ∠B′\angle B'∠B′, ∠C′\angle C'∠C′ חדות, ולכן HHH נמצאת בין BBB ל-CCC, ו-H′H'H′ נמצאת בין B′B'B′ ל-C′C'C′ (ראו סרטוט).
ABCHA'B'C'H'

א.

הוכיחו כי △ABH≅△A′B′H′\triangle ABH\cong\triangle A'B'H'△ABH≅△A′B′H′, והסיקו כי BH=B′H′BH=B'H'BH=B′H′.

ב.

הוכיחו כי △ABC≅△A′B′C′\triangle ABC\cong\triangle A'B'C'△ABC≅△A′B′C′.

ג.

נתון: AB=13AB=13AB=13, AC=20AC=20AC=20, AH=12AH=12AH=12. חשבו את אורך הצלע B′C′B'C'B′C′ ואת שטח המשולש A′B′C′A'B'C'A′B′C′.

שאלה 7 · מרובע עם שתי זוויות ישרות נגדיותשאלת ביניים · בינונית

במרובע הקמור ABCDABCDABCD נתון: ∠DAB=∠BCD=90∘\angle DAB=\angle BCD=90^\circ∠DAB=∠BCD=90∘, AB=CDAB=CDAB=CD. מעבירים את האלכסון BDBDBD (ראו סרטוט).
ABCD

א.

הוכיחו כי △ABD≅△CDB\triangle ABD\cong\triangle CDB△ABD≅△CDB.

ב.

הוכיחו כי AB∥DCAB\parallel DCAB∥DC וכי AD∥BCAD\parallel BCAD∥BC.

ג.

נתון: AB=5AB=5AB=5, BD=13BD=13BD=13. חשבו את ההיקף ואת השטח של המרובע ABCDABCDABCD.