שאלות פתוחות: המשפט ההפוך למשפט פיתגורס - כיתה י"א 5 יח"ל

בדף הזה 8 שאלות פתוחות במתמטיקה על המשפט ההפוך למשפט פיתגורס, לתלמידי כיתה י"א 5 יח"ל, מתוך הנושא "חפיפה ומשפטים במשולש ישר-זווית (חומר קודם)". השאלות בכמה רמות (קלה, בינונית, קשה), משאלות קצרות לתרגול מיומנות אחת ועד שאלות עם כמה סעיפים. מורים יכולים לבחור מהן שאלות, לבנות מבחן או דף עבודה, להוסיף פתרונות ולהוריד ל-Word.

8 שאלותקלה: 2בינונית: 3קשה: 3

שאלה 1 · זיהוי משולש ישר זווית לפי אורכי צלעותיושאלה קצרה · קלה

לפניכם אורכי הצלעות של שני משולשים. שני הסעיפים אינם תלויים זה בזה.

א.

במשולש ABCABCABC נתון: AB=20AB=20AB=20 ס"מ, BC=21BC=21BC=21 ס"מ, AC=29AC=29AC=29 ס"מ. האם המשולש ישר זווית? אם כן, ציינו איזו מזוויותיו ישרה. נמקו.

ב.

במשולש KLMKLMKLM נתון: KL=6KL=6KL=6 ס"מ, LM=10LM=10LM=10 ס"מ, KM=12KM=12KM=12 ס"מ. האם המשולש ישר זווית? נמקו.

שאלה 2 · גובה שמחלק את הצלע: הוכחת זווית ישרהשאלה קצרה · בינונית

במשולש ABCABCABC הקטע ADADAD הוא הגובה לצלע BCBCBC, והנקודה DDD נמצאת על הצלע BCBCBC.
נתון: BD=4BD=4BD=4 ס"מ, DC=9DC=9DC=9 ס"מ, AD=6AD=6AD=6 ס"מ.
DBCA

הוכיחו כי ∠BAC=90∘\angle BAC=90^\circ∠BAC=90∘.

שאלה 3 · משולש שווה-שוקיים עם אנכים זזים: מתי BDGE בר-חסימה, מעוין או ריבועשאלה מלאה · קשה

במשולש שווה-שוקיים ABC (BA=BCBA=BCBA=BC) הבסיס הוא AC=12AC=12AC=12, והגובה לבסיס הוא BM=12BM=12BM=12. הנקודות L ו-K נמצאות על הבסיס AC משני צדי M, כך ש-ML=MK=xML=MK=xML=MK=x (0<x<60<x<60<x<6). האנך לבסיס בנקודה K חותך את השוק BC בנקודה D, והאנך לבסיס בנקודה L חותך את השוק BA בנקודה E. הקטעים DL ו-EK נפגשים בנקודה G.
ABCMLKDEG

א.

הביעו באמצעות xxx את אורך הקטע DK ואת אורך הקטע BG.

ב.

מצאו את xxx שבעבורו המרובע BDGE בר-חסימה במעגל.

ג.

מצאו את xxx שבעבורו המרובע BDGE הוא מעוין.

ד.

האם קיים xxx שבעבורו המרובע BDGE הוא ריבוע? נמקו.

שאלה 4 · בדיקת זווית ישרה בעזרת שלושה אורכיםשאלה קצרה · קלה

נגר בונה מסגרת, ורוצה לבדוק אם הפינה שלה ישרה. הוא מסמן על צלע אחת של הפינה נקודה במרחק 303030 ס"מ מקודקוד הפינה, ועל הצלע השנייה נקודה במרחק 404040 ס"מ מקודקוד הפינה, ומודד את המרחק בין שתי הנקודות. שני הסעיפים אינם תלויים זה בזה.

א.

המרחק בין שתי הנקודות הוא 505050 ס"מ. האם הפינה ישרה? נמקו.

ב.

במסגרת אחרת המרחק בין שתי הנקודות הוא 515151 ס"מ. האם הפינה של המסגרת הזו ישרה? נמקו.

שאלה 5 · המשפט ההפוך למשפט פיתגורס במערכת ציריםשאלה קצרה · בינונית

נתונות הנקודות A(−1,1)A(-1,1)A(−1,1), B(3,−1)B(3,-1)B(3,−1) ו-C(5,3)C(5,3)C(5,3).

הוכיחו כי המשולש ABCABCABC ישר זווית ושווה שוקיים, וקבעו איזו מזוויותיו ישרה. חשבו את שטח המשולש ואת אורך הגובה מהקודקוד BBB לצלע ACACAC.

שאלה 6 · משפחה של משולשים ישרי זוויתשאלה קצרה · קשה

לכל מספר טבעי nnn (n≥1n\ge1n≥1) בונים משולש שאורכי צלעותיו (בס"מ) הם:
2n+1,2n2+2n,2n2+2n+12n+1,\qquad 2n^2+2n,\qquad 2n^2+2n+12n+1,2n2+2n,2n2+2n+1
(לכל nnn כזה שלושת האורכים אכן יוצרים משולש.)

הוכיחו שלכל מספר טבעי nnn המשולש ישר זווית, וקבעו מול איזו מהצלעות נמצאת הזווית הישרה.

שאלה 7 · מרובע עם זווית ישרה אחת: אלכסון, זווית ישרה שנייה ושטחשאלת ביניים · בינונית

במרובע ABCDABCDABCD נתון: ∠ABC=90∘\angle ABC=90^\circ∠ABC=90∘, AB=15AB=15AB=15 ס"מ, BC=20BC=20BC=20 ס"מ, CD=7CD=7CD=7 ס"מ, DA=24DA=24DA=24 ס"מ. האלכסון ACACAC מחלק את המרובע לשני משולשים.
ABCD

א.

חשבו את אורך האלכסון ACACAC.

ב.

הוכיחו כי ∠ADC=90∘\angle ADC=90^\circ∠ADC=90∘.

ג.

חשבו את שטח המרובע ABCDABCDABCD, ואת המרחק של הקודקוד DDD מהאלכסון ACACAC.

שאלה 8 · נקודה על צלע מלבן שממנה רואים צלע בזווית ישרהשאלת ביניים · קשה

ABCDABCDABCD הוא מלבן שבו AB=25AB=25AB=25 ס"מ ו-BC=12BC=12BC=12 ס"מ. הנקודה EEE נמצאת על הצלע CDCDCD כך ש-DE=9DE=9DE=9 ס"מ. מחברים את EEE עם AAA ועם BBB.
ABCDE

א.

חשבו את אורכי הקטעים AEAEAE ו-BEBEBE.

ב.

הוכיחו כי ∠AEB=90∘\angle AEB=90^\circ∠AEB=90∘.

ג.

על הצלע CDCDCD יש נקודה נוספת FFF (F≠EF\ne EF=E) שעבורה ∠AFB=90∘\angle AFB=90^\circ∠AFB=90∘. מצאו את אורך הקטע DFDFDF.