שאלות פתוחות: מספר השורשים הממשיים של פולינום לפי המעלה - כיתה י"א 5 יח"ל

מצאו את כל השורשים הממשיים של הפולינום $p(x)=(x-2)(x^2+1)$. כמה שורשים ממשיים יש לו?

האם ייתכן שלפולינום ממעלה $3$ אין שורשים ממשיים כלל? נמקו.

משולש חסום במעגל שרדיוסו 5 ס"מ. אורך אחת מצלעות המשולש 6 ס"מ.

נתונה הפונקציה $f(x)=-x^3-4x+2$.

הגרף המצורף מתאר את גרף הנגזרת $f'(x)$ של הפונקציה $f(x)$ בתחום $0<x<10$. נתון: $f(1)=-5.5$, $f(3)=0$, $f(7)=8$.

נתונה סדרה הנדסית אינסופית $a_1,a_2,a_3,\dots$ שכל איבריה שונים מ-0. מגדירים סדרה חדשה: $b_n=a_n\cdot a_{n+1}$ לכל $n$ טבעי.

כמה שורשים ממשיים יש ל-$p$? לכל שורש, ציינו תחום שבו הוא נמצא. נמקו.

מצאו את כל השורשים הממשיים של הפולינום $p(x)=x^3-4x^2-5x$, והסבירו מדוע אין לו שורשים נוספים.

הראו שלפולינום $q(x)=x^4+2x^2+3$ אין שורשים ממשיים.

נתון הפולינום $p(x)=(x^2-4)(x^2+2x+5)$. מצאו את כל השורשים הממשיים שלו, והסבירו מדוע יש לו פחות שורשים מהמעלה שלו.

נתון הפולינום $s(x)=(x-1)^3(x^2-1)$. מהי המעלה שלו? כמה שורשים ממשיים שונים יש לו, ומה הריבוי של כל אחד מהם?

הראו ש-$f(x)=(x^2-13)^2-144$, ומצאו את כל השורשים הממשיים של $f$.

היעזרו בייצוג מסעיף א, ומצאו את הערך המינימלי של $f$ ואת ערכי $x$ שבהם הוא מתקבל.

היעזרו בסעיפים הקודמים, ומצאו כמה שורשים ממשיים שונים יש לכל אחד מהפולינומים: $g(x)=f(x)+144$, $h(x)=f(x)+150$, $k(x)=f(x)-25$. מצאו את השורשים.

נתון הפולינום $p(x)=x^5+2x^3+x-4$. הראו ש-$x=1$ הוא שורש של $p$, והסבירו מדוע אין לו שורשים ממשיים נוספים.

נתון הפולינום $r(x)=-2x^3+x^2-7$. חשבו את $r(0)$ ואת $r(-2)$, והסבירו מדוע יש ל-$r$ שורש ממשי בין $-2$ ל-$0$.

הראו ש-$x=3$ הוא שורש של $f$.

מכיוון ש-$x=3$ הוא שורש, אפשר לרשום $f(x)=(x-3)(x^2+bx+c)$. מצאו את $b$ ואת $c$.

מצאו את כל השורשים הממשיים של $f$. כמה שורשים שונים יש לו? הסבירו מדוע מספר זה קטן מהמעלה של $f$.