שאלות פתוחות: רדיוס המעגל החוסם ורדיוס המעגל החסום - כיתה י"א 5 יח"ל

רדיוס המעגל החוסם ורדיוס המעגל החסום - שאלות פתוחות לכיתה י"א, 5 יחידות. בשאלות חותכים חוט לשני חלקים ויוצרים ממנו משולש שווה-צלעות וריבוע, או ריבוע ומעגל, ובוחנים את סכום השטחים ואת הרדיוסים של המעגלים החוסמים והחסומים. יש גם שאלות על משולש שווה-צלעות שאורך צלעו a ועל משולש חסום שבו D אמצע הקשת הקטנה BC. רוב השאלות בינוניות, ויש קלות וקשות. בבעיות החוט יש גם חדו"א, ולכן הן מתאימות למבחן מסכם; כל שאלה מגיעה עם פתרון מלא וייצוא ל-Word.

27 שאלותקלה: 5בינונית: 17קשה: 5

שאלה 1 · חוט באורך 12 ס״מ שנחתך למשולש שווה-צלעות ולמשושה משוכללשאלה מלאה · קלה

חוט שאורכו 12 ס״מ חותכים לשני חלקים. מחלק אחד יוצרים משולש שווה-צלעות, ומן החלק האחר יוצרים משושה משוכלל. נסמן ב-xxx את אורך צלע המשולש (בס״מ).

א.

מצאו את תחום ההגדרה של xxx.

ב.

הראו כי סכום השטחים של שתי הצורות הוא S(x)=34x2+332(2−x2)2S(x)=\frac{\sqrt3}{4}x^2+\frac{3\sqrt3}{2}\left(2-\frac x2\right)^2S(x)=43​​x2+233​​(2−2x​)2. (משושה משוכלל מורכב משישה משולשים שווי-צלעות.)

ג.

מצאו את xxx שבעבורו סכום השטחים מינימלי, ואת סכום השטחים המינימלי.

ד.

הראו כי כאשר סכום השטחים מינימלי, רדיוס המעגל החסום במשולש שווה לרדיוס המעגל החסום במשושה.

שאלה 2 · חוט שנחתך לריבוע ולמעגל: סכום שטחים מינימלישאלה מלאה · בינונית

חותכים חוט שאורכו kkk לשני חלקים. מחלק אחד של החוט יוצרים ריבוע ומן החלק האחר יוצרים מעגל. נסמן ב-xxx את אורך צלע הריבוע.

א.

הביעו באמצעות kkk את תחום ההגדרה של xxx.

ב.

הביעו באמצעות kkk את אורך צלע הריבוע, שעבורו סכום השטחים של שתי הצורות הוא מינימלי.

ג.

הראו כי כאשר סכום השטחים של שתי הצורות הוא מינימלי, אי אפשר לחסום את הריבוע שהתקבל במעגל שהתקבל.

שאלה 3 · חוט שנחתך למשולש שווה-צלעות ולריבוע: מעגלים חסומים שווים ומספר דרכי החיתוךשאלה מלאה · קשה

חותכים חוט שאורכו kkk לשני חלקים. מחלק אחד יוצרים משולש שווה-צלעות, ומן החלק האחר יוצרים ריבוע (אורך כל אחד משני החלקים חיובי). נסמן ב-xxx את אורך צלע המשולש, וב-S(x)S(x)S(x) את סכום השטחים של שתי הצורות.

א.

הביעו באמצעות kkk את אורך צלע המשולש שבעבורו S(x)S(x)S(x) מינימלי.

ב.

מצאו את היחס בין רדיוס המעגל החסום במשולש לבין רדיוס המעגל החסום בריבוע, כאשר S(x)S(x)S(x) מינימלי.

ג.

נתון כי כאשר S(x)S(x)S(x) מינימלי, רדיוס המעגל החסום בריבוע הוא 1 ס״מ. מצאו את kkk ואת סכום השטחים המינימלי.

ד.

מצאו, באמצעות kkk, את כל ערכי AAA שבעבורם יש בדיוק שתי דרכים לחתוך את החוט כך שסכום השטחים יהיה AAA.

שאלה 4 · משולש חסום במעגל ואמצע קשת: יחס שטחים ומשולש ישר-זווית שווה-שוקייםשאלה מלאה · קלה

משולש ABC חסום במעגל שמרכזו O ורדיוסו R. הנקודה D היא אמצע הקשת הקטנה BC, כמתואר בסרטוט. נתון: ∠ABC=70∘\angle ABC=70^\circ∠ABC=70∘. נסמן: ∠BAC=α\angle BAC=\alpha∠BAC=α.
OABCDE

א.

הראו כי S△ABC=2R2sin⁡70∘sin⁡αsin⁡(110∘−α)S_{\triangle ABC}=2R^2\sin70^\circ\sin\alpha\sin(110^\circ-\alpha)S△ABC​=2R2sin70∘sinαsin(110∘−α).

ב.

הביעו באמצעות R ו-α\alphaα את שטח המשולש ODC.

ג.

נתון כי היחס בין שטח המשולש ABC ובין שטח המשולש ODC הוא: 4sin⁡270∘4\sin^270^\circ4sin270∘.

מצאו את α\alphaα.

ד.

הנקודה E נמצאת על המשך המיתר DC (מעבר לנקודה C) כך ש-∠CAE=45∘\angle CAE=45^\circ∠CAE=45∘, כמתואר בסרטוט.

(1)

הראו כי המשולש ACE ישר-זווית ושווה-שוקיים.

(2)

הביעו באמצעות R את רדיוס המעגל החסום במשולש ACE.

שאלה 5 · משולש שווה-צלעות ומעגל בעלי אותו היקף: חסימהשאלה קצרה · בינונית

נתון משולש שווה-צלעות שאורך צלעו aaa.

א.

הביעו באמצעות aaa את רדיוס המעגל החוסם את המשולש ואת רדיוס המעגל החסום בו.

ב.

היקף המשולש שווה להיקף של מעגל שרדיוסו ρ\rhoρ. האם אפשר לחסום את המשולש במעגל הזה? האם אפשר לחסום את המעגל במשולש? נמקו.

שאלה 6 · משולש חסום ונקודה על המשך מיתר: מתי הישר משיק, ומתי המשולש חד זוויותשאלה מלאה · קשה

משולש ABC חד זוויות חסום במעגל שמרכזו O ורדיוסו R. הנקודה D היא אמצע הקשת הקטנה BC. נתון: ∠ABC=48∘\angle ABC=48^\circ∠ABC=48∘. נסמן: ∠BAC=α\angle BAC=\alpha∠BAC=α. הנקודה E נמצאת על המשך המיתר DC (מעבר לנקודה C) כך ש-CE=CACE=CACE=CA, כמתואר בסרטוט.
OABCDE

א.

הביעו באמצעות α\alphaα את זוויות המשולש ACE.

ב.

מצאו את α\alphaα שבעבורו הישר AE משיק למעגל.

ג.

עבור הערך של α\alphaα שמצאתם בסעיף ב, הביעו באמצעות R את רדיוס המעגל החסום במשולש ACE.

ד.

מצאו את כל הערכים של α\alphaα שבעבורם המשולש ACE חד זוויות.

שאלה 7 · משולש ישר זווית ומשולש צמוד בנתונים מספריים: משפט הקוסינוסים ומרחק בין מרכזי המעגלים (מודרך)שאלה מלאה · קלה

בסרטוט שלפניכם משולש ישר זווית ABC (∠ABC=90∘\angle ABC=90^\circ∠ABC=90∘), ובו AB=6AB=6AB=6. על הצלע AC בנו משולש ACD כך ש-AC חוצה את הזווית BAD. נסמן ∠CAB=α\angle CAB=\alpha∠CAB=α. נתון: AD=5AD=5AD=5, CD=65CD=\sqrt{65}CD=65​.
BACD

א.

הראו כי AC=6cos⁡αAC=\frac{6}{\cos\alpha}AC=cosα6​.

ב.

היעזרו במשולש ACD ובמשפט הקוסינוסים, ומצאו את cos⁡α\cos\alphacosα ואת α\alphaα.

ג.

מצאו את אורכי הצלעות AC ו-BC, ואת רדיוס המעגל החסום במשולש ABC.

ד.

הנקודה M היא מרכז המעגל החסום במשולש ABC, והנקודה E היא מרכז המעגל החוסם אותו. T היא נקודת ההשקה של המעגל החסום עם הצלע AC. מצאו את האורך ET, וחשבו את המרחק ME.

שאלה 8 · משיק וחותך במעגל: זווית של $13 5^{\circ}$ , יחס שטחים ורדיוס מעגל חסוםשאלה מלאה · בינונית

המשולש ABCABCABC חסום במעגל שהרדיוס שלו הוא RRR. המשיק למעגל בנקודה BBB חותך את המשך הצלע CACACA בנקודה DDD, כמתואר בסרטוט. נסמן: ∠ABD=α\angle ABD=\alpha∠ABD=α. נתון: ∠DBC=135∘\angle DBC=135^\circ∠DBC=135∘.
ABCD

א.

הביעו את אורכי הצלעות ABABAB ו-BCBCBC באמצעות RRR ו-α\alphaα, אם יש צורך.

ב.

נתון: היחס בין שטח המשולש BDCBDCBDC ובין שטח המשולש BDABDABDA הוא 2.5.

מצאו את α\alphaα.

ג.

נתון כי רדיוס המעגל החסום במשולש BDABDABDA הוא 4.

מצאו את RRR.

שאלה 9 · מרחק בין מרכז המעגל החסום למרכז המעגל החוסם במשולש ישר זווית: מינימום ובעיה הפוכהשאלה מלאה · קשה

במשולש ישר זווית ABC (∠ABC=90∘\angle ABC=90^\circ∠ABC=90∘) אורך היתר הוא AC=dAC=dAC=d. נסמן ∠CAB=α\angle CAB=\alpha∠CAB=α. הנקודה M היא מרכז המעגל החסום במשולש, והנקודה E היא מרכז המעגל החוסם אותו (ראו סרטוט).
BACME

א.

הביעו באמצעות ddd ו-α\alphaα את רדיוס המעגל החסום במשולש.

ב.

הביעו באמצעות ddd ו-α\alphaα את המרחק ME.

ג.

מצאו את הזווית α\alphaα שבעבורה המרחק ME הוא הקטן ביותר, ואת המרחק הזה. היכן נמצאת הנקודה E ביחס למעגל החסום במקרה זה?

ד.

נתון: ME=d23−6ME=\frac d2\sqrt{3-\sqrt6}ME=2d​3−6​​. מצאו את כל הערכים האפשריים של α\alphaα.

שאלה 10 · טרפז שבו הבסיס שווה לשוק: אלכסון ומשפט הקוסינוסים בנתונים מספרייםשאלה מלאה · קלה

בסרטוט שלפניכם טרפז ABCDABCDABCD (AB∥DCAB\parallel DCAB∥DC), שבו AB=BC=6.5AB=BC=6.5AB=BC=6.5. נסמן: ∠ACB=α\angle ACB=\alpha∠ACB=α.
DCAB

א.

הסבירו מדוע ∠ACD=α\angle ACD=\alpha∠ACD=α, והראו כי AC=13cos⁡αAC=13\cos\alphaAC=13cosα. (היעזרו בגובה BMBMBM לצלע ACACAC במשולש ABCABCABC.)

ב.

נתון: DC=13DC=13DC=13, AD=5AD=5AD=5.

מצאו את α\alphaα.

ג.

הראו כי המשולש ACDACDACD ישר-זווית, ומצאו את גודל הזווית ADCADCADC.

ד.

מצאו את הרדיוס של המעגל החסום במשולש ACDACDACD.

עוד 11 שאלות על רדיוס המעגל החוסם ורדיוס המעגל החסום

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

מהמעגל החוסם למעגל החסום: $r = \frac{S}{p}$ (שאלה קצרה · בינונית)
במשולש $EFG$ נתון: $\angle E=35^\circ$ , $\angle F=115^\circ$ . רדיוס המעגל החוסם את המשולש הוא $R$ .
טרפז שווה-שוקיים עם שלוש צלעות שוות: תנאי קיום ומעגל חסום כפונקציה של הזווית (שאלה מלאה · קשה)
$ABCD$ הוא טרפז שווה-שוקיים ( $AB\parallel DC$ , $AD=BC$ ), שבו אורך הבסיס $AB$ שווה לאורך השוק: $AB=BC=AD=k$ . האלכסון $AC$ מסורטט. נסמן:…
משולש שווה-שוקיים ומפגש חוצי הזוויות: חישובי צלעות ורדיוסים (שאלה מלאה · קלה)
במשולש שווה-שוקיים $ABC$ ( $AB=AC$ ) זווית הבסיס $\angle ABC=70^\circ$ ו- $BC=10$ . הנקודה $E$ היא מפגש חוצי הזוויות במשולש. המשך $CE$ חותך את…
משולש חסום במעגל ואמצע קשת: יחס שטחים, פסילת פתרון ורדיוס מעגל חסום (שאלה מלאה · בינונית)
משולש ABC חד זוויות חסום במעגל שמרכזו O ורדיוסו R. הנקודה D היא אמצע הקשת הקטנה BC, כמתואר בסרטוט. נתון: $\angle ABC=45^\circ$ . נסמן:…
משולש שווה-שוקיים: היחס בין רדיוס המעגל החסום לחוסם (שאלה מלאה · קשה)
במשולש שווה-שוקיים $ABC$ ( $AB=AC$ ) זווית הבסיס היא $2\alpha$ . $R$ הוא רדיוס המעגל החוסם את המשולש, $r$ רדיוס המעגל החסום בו ו- $E$ מרכז המעגל…
מרדף זוויות במעגל ורדיוס המעגל החסום במשולש (שאלה קצרה · בינונית)
משולש ABC חסום במעגל שמרכזו O ורדיוסו R. נתון: $\angle BAC=30^\circ$ , $\angle ABC=70^\circ$ . הנקודה D היא אמצע הקשת הקטנה BC. הנקודה E נמצאת…
משולש ישר זווית ומשולש צמוד: משפט הקוסינוסים, מעגל חסום ומרחק בין מרכזי המעגלים (משולש 3-4-5) (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם משולש ישר זווית ABC ( $\angle ABC=90^\circ$ ). על הצלע AC בנו משולש נוסף ACD כך ש-AC הוא חוצה זווית BAD. נסמן:…
טרפז שבו הבסיס שווה לשוק: $D C = 1.6 k$ , $A D = 1.1 k$ ורדיוס מעגל חסום (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם טרפז $ABCD$ ( $AB\parallel DC$ ). נתון כי אורך הבסיס $AB$ שווה לאורך הצלע $BC$ . נסמן: $\angle ACB=\alpha$ , $AB=BC=k$ ,…
רדיוס המעגל החסום במשולש שנוצר מהמשכי שוקי טרפז (שאלה קצרה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם טרפז $ABCD$ ( $AB\parallel DC$ ). המשכי השוקיים $DA$ ו- $CB$ נחתכים בנקודה $E$ . נתון: $DC=10$ , $AB=4$ , $\angle ADC=50^\circ$ ,…
משולש שווה-שוקיים ומפגש חוצי הזוויות: יחס קטעים, יחס רדיוסים ואורך (שאלה מלאה · בינונית)
במשולש שווה-שוקיים $ABC$ ( $AB=AC$ ) זווית הבסיס היא $2\alpha$ . הנקודה $E$ היא מפגש חוצי הזוויות במשולש. המשך $CE$ חותך את הצלע $AB$ בנקודה…
רדיוס המעגל החוסם והחסום במשולש שווה-שוקיים קהה (שאלה קצרה · בינונית)
במשולש שווה-שוקיים $ABC$ ( $AB=AC$ ) זווית הראש $\angle BAC=130^\circ$ והבסיס $BC=8$ .

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

חוט שנחתך למשולש שווה-צלעות ולמעגל: סכום שטחים מינימלי · בגרות 571 חורף 2022 מועד נבצרים, שאלה 8
חותכים חוט שאורכו $k$ לשני חלקים. מחלק אחד של החוט יוצרים משולש שווה-צלעות ומן החלק האחר יוצרים מעגל. נסמן ב- $x$ את אורך צלע המשולש.
משיק וחותך במעגל: משפט הסינוסים המורחב, יחס שטחים ורדיוס מעגל חסום · בגרות 571 קיץ 2023 מועד מיוחד, שאלה 5
המשולש $ABC$ חסום במעגל שהרדיוס שלו הוא $R$ . המשיק למעגל בנקודה $B$ חותך את המשך הצלע $CA$ בנקודה $D$ , כמתואר בסרטוט. נסמן: $\angle ABD=\alpha$ . נתון:…
משולש חסום במעגל ואמצע קשת: יחס שטחים, משוואה $sin x = sin β$ ורדיוס מעגל חסום · בגרות 571 קיץ 2024 מועד ב', שאלה 5
משולש ABC חד זוויות חסום במעגל שמרכזו O ורדיוסו R. הנקודה D היא אמצע הקשת הקטנה BC, כמתואר בסרטוט. נתון: $\angle ABC=60^\circ$ . נסמן: $\angle BAC=\alpha$ .
משולש ישר זווית ומשולש צמוד: משפט הקוסינוסים, מעגל חסום ומרחק בין מרכזי המעגלים · בגרות 571 קיץ 2025 מועד ב', שאלה 5
בסרטוט שלפניכם משולש ישר זווית ABC ( $\angle ABC=90^\circ$ ). על הצלע AC בנו משולש נוסף ACD כך ש-AC הוא חוצה זווית BAD. נסמן: $\angle CAB=\alpha$ , $AB=k$ .
טרפז שבו הבסיס שווה לשוק: אלכסון, משפט הקוסינוסים ורדיוס מעגל חסום · בגרות 571 קיץ 2026 מועד א', שאלה 5
בסרטוט שלפניכם טרפז $ABCD$ ( $AB\parallel DC$ ). נתון כי אורך הבסיס $AB$ שווה לאורך הצלע $BC$ . נסמן: $\angle ACB=\alpha$ , $AB=BC=k$ , $0^\circ<\alpha<90^\circ$ .
משולש שווה-שוקיים ומפגש חוצי הזוויות: זווית, יחס רדיוסים ואורך · מבחן לדוגמה 1 של משרד החינוך, שאלון 571, שאלה 3
במשולש שווה-שוקיים $ABC$ ( $AC=AB$ ) זווית הבסיס היא $2\alpha$ . הנקודה $E$ היא מפגש חוצי-הזווית במשולש $ABC$ . המשך $CE$ חותך את הצלע $AB$ בנקודה $D$ (ראה ציור).…