מבחן לדוגמה: מספרים מרוכבים: הצגה אלגברית ופעולות - כיתה י"ב 5 יח"ל

מצאו את כל ערכי $n$ בתחום $1\le n\le41$ שעבורם $i^{n}+i^{n+1}+i^{n+2}=-1$, וקבעו כמה ערכים כאלה יש.

פתרו את המשוואה: מצאו את כל הזוגות של מספרים ממשיים שמקיימים אותה.

חשבו את $z_1+z_2$ ואת $z_1-z_2$.

חשבו את $(z_1+z_3)-(z_2-z_3)$.

הביעו את המכפלה $z\cdot w$ בהצגה אלגברית באמצעות $a$.

מצאו את $a$ שעבורו $z\cdot w$ הוא מדומה טהור. כתבו עבורו את $z$ ואת $z\cdot w$.

עבור $a$ שמצאתם בסעיף ב, מצאו מספרים ממשיים $p$ ו-$q$ כך ש-$z\cdot(p+qi)=15+15i$.

הראו כי $(x+i)(x+3i)=(x^2-3)+4x\,i$.

הראו כי $P=(x^3-11x)+(6x^2-6)i$.

מצאו את כל ערכי $x$ שעבורם $P$ ממשי, ואת כל ערכי $x$ שעבורם $P$ מדומה טהור. כתבו את $P$ בכל מקרה.

מצאו את $z_2$ ואת פתרונות המשוואה.

נתון מספר מרוכב $z=2(\cos\theta+i\cdot\sin\theta)$, $0^\circ\le\theta<360^\circ$, ו-$n\ge2$ מספר טבעי. נתון כי המספרים $z$ ו-$z^n$ נמצאים על ישר אחד שעובר בראשית הצירים.

הביעו באמצעות $n$ את מספר האפשרויות של $z$.

מצאו את הערך הקטן ביותר של $n$ שבעבורו כל פתרונות המשוואה מסעיף א הם בין המספרים $z$ של סעיף ב.

הציבו את הערך של $n$ שמצאתם בסעיף ג. המספרים $z$ של סעיף ב מייצגים את הקודקודים של מצולע קמור במישור גאוס.

חשבו את שטח המצולע.

מכפילים כל אחד מקודקודי המצולע של סעיף ד במספר המרוכב $u=m(\cos\alpha+i\cdot\sin\alpha)$, $m>0$, $0^\circ\le\alpha<360^\circ$. מתקבל מצולע ששטחו 108, ואחד מקודקודיו הוא המספר $3\sqrt2+3\sqrt2i$.

מצאו את $m$ ואת כל הערכים האפשריים של $\alpha$.

הציגו את $w$ בהצגה אלגברית.

מצאו את שני השורשים הריבועיים של $w$ בהצגה אלגברית.

פתרו את המשוואה $(\bar z+i)^2=w$.

פתרו את המשוואה.

A ו-B הן הנקודות המייצגות את הפתרונות. הראו כי A ו-B הן שני קודקודים סמוכים של ריבוע שמרכזו בראשית הצירים, ומצאו את שני הקודקודים האחרים C ו-D של הריבוע.

הראו כי כל ארבעת קודקודי הריבוע הם פתרונות של המשוואה $z^4=16$.

סובבו את הריבוע סביב ראשית הצירים נגד כיוון השעון בזווית $45^\circ$. מצאו את ארבעת הקודקודים החדשים בהצגה קוטבית, ומצאו מספר ממשי $b$ כך שכל שמונה הנקודות (הקודקודים לפני הסיבוב ואחריו) הן פתרונות של המשוואה $z^8=b$.