שאלות פתוחות: שורש ריבועי של מספר מרוכב - כיתה י"ב 5 יח"ל

שאלות פתוחות על שורש ריבועי של מספר מרוכב לכיתה י"ב, 5 יחידות. יש כאן מציאת שני השורשים של מספרים כמו -5+12i, משוואות מהצורה z² שווה למספר מרוכב, משוואות ממעלה רביעית שפותרים בשני שלבים, ומספר עם פרמטר שבו נתון יחס בין החלק המדומה לממשי של השורש. רוב השאלות ברמה בינונית, ויש גם קלות וקשות. מתאים לבוחן או לדף עבודה, עם פתרון מלא לכל שאלה וייצוא לוורד.

13 שאלותקלה: 3בינונית: 8קשה: 2

שאלה 1 · שורש ריבועי של מספר מרוכבשאלה קצרה · קלה

נתון המספר המרוכב w=−5+12iw=-5+12iw=−5+12i.

מצאו את שני השורשים הריבועיים של www בהצגה אלגברית.

שאלה 2 · שורש ריבועי של מספר מרוכבשאלה קצרה · בינונית

נתון המספר המרוכב w=k+8iw=k+8iw=k+8i, כאשר kkk מספר ממשי. לאחד השורשים הריבועיים של www החלק המדומה גדול פי 222 מהחלק הממשי.

א.

מצאו את kkk.

ב.

מצאו את שני השורשים הריבועיים של www.

שאלה 3 · משוואה ממעלה רביעית בעזרת שורשים ריבועייםשאלה קצרה · קשה

zzz הוא מספר מרוכב.

פתרו את המשוואה z4−16z2+100=0z^4-16z^2+100=0z4−16z2+100=0.

שאלה 4 · מספרים מרוכבים: שורש ריבועי, שני מעגלים וחיתוך עם ישרשאלה מלאה · קלה

נתונה המשוואה: z2=−3+4iz^2=-3+4iz2=−3+4i, zzz הוא מספר מרוכב.

א.

פתרו את המשוואה.

ב.

נסמן את החלקים הממשיים של פתרונות המשוואה ב-a1a_1a1​ וב-a2a_2a2​ כך ש-a1<a2a_1<a_2a1​<a2​.
נתונים שני מקומות גאומטריים:
I. ∣z−ia1∣=1|z-ia_1|=1∣z−ia1​∣=1
II. ∣z−ia2∣=1|z-ia_2|=1∣z−ia2​∣=1

מצאו את המרכז ואת הרדיוס של כל אחד מהמקומות הגאומטריים, וסרטטו את שניהם באותה מערכת צירים.

ג.

מצאו את המספרים המרוכבים שמייצגים את נקודות החיתוך של הישר y=xy=xy=x עם כל אחד מהמקומות הגאומטריים.

ד.

נסמן ב-w1w_1w1​ וב-w2w_2w2​ את שני המספרים שמצאתם בסעיף ג ששונים מ-0.

חשבו את w1⋅w1‾w_1\cdot\overline{w_1}w1​⋅w1​​ ואת w2⋅w2‾w_2\cdot\overline{w_2}w2​⋅w2​​, ופתרו את המשוואה z3=w1⋅w1‾⋅w2⋅w2‾z^3=w_1\cdot\overline{w_1}\cdot w_2\cdot\overline{w_2}z3=w1​⋅w1​​⋅w2​⋅w2​​.

שאלה 5 · שורש ריבועי של מספר מרוכבשאלה קצרה · בינונית

נתונה המשוואה z4=28−96iz^4=28-96iz4=28−96i, כאשר zzz מספר מרוכב.

מצאו את כל הפתרונות של המשוואה בהצגה אלגברית.

שאלה 6 · משוואה z⁴=w בשני שלבים של שורש ריבועישאלת ביניים · קשה

נתונה המשוואה z4=−7−24iz^4=-7-24iz4=−7−24i, כאשר zzz מספר מרוכב.

א.

נסמן u=z2u=z^2u=z2. מצאו את שני הערכים האפשריים של uuu.

ב.

פתרו את המשוואה z4=−7−24iz^4=-7-24iz4=−7−24i. רשמו את הפתרונות בהצגה אלגברית.

ג.

היעזרו בתוצאה של סעיף ב ופתרו את המשוואה z4=−7+24iz^4=-7+24iz4=−7+24i.

שאלה 7 · שני השורשים הריבועיים של מספר מרוכבשאלה קצרה · קלה

נתון המספר המרוכב w=15−8iw=15-8iw=15−8i.

מצאו את שני השורשים הריבועיים של www בהצגה אלגברית.

שאלה 8 · שורש ריבועי של מספר מרוכבשאלה קצרה · בינונית

המספרים המרוכבים zzz ו-uuu מקיימים z2=3+4iz^2=3+4iz2=3+4i ו-u2=3−4iu^2=3-4iu2=3−4i.

מצאו את כל הערכים האפשריים של הסכום z+uz+uz+u.

שאלה 9 · מספרים מרוכבים: שורש ריבועי, מקומות גאומטריים מעגליים ושורשים מסדר שלישישאלה מלאה · בינונית

נתונה המשוואה: (z−i)2−3−4i=0(z-i)^2-3-4i=0(z−i)2−3−4i=0, zzz הוא מספר מרוכב.

א.

פתרו את המשוואה.

ב.

נסמן את החלקים הממשיים של פתרונות המשוואה ב-a1a_1a1​ וב-a2a_2a2​ כך ש-a1<a2a_1<a_2a1​<a2​.
נתונים שני מקומות גאומטריים:
I. ∣z−ia1∣=2|z-ia_1|=2∣z−ia1​∣=2
II. ∣z−ia2∣=2|z-ia_2|=2∣z−ia2​∣=2

סרטטו באותה מערכת צירים סקיצה של שני המקומות הגאומטריים.

ג.

הישר y=−xy=-xy=−x נמצא במישור גאוס. ישר זה חותך את המקומות הגאומטריים שסרטטתם בסעיף ב בראשית הצירים ובשתי נקודות אחרות שמיוצגות על ידי שני המספרים המרוכבים w1w_1w1​ ו-w2w_2w2​.

פתרו את המשוואה: z3=w1⋅w1‾⋅w2⋅w2‾z^3=w_1\cdot\overline{w_1}\cdot w_2\cdot\overline{w_2}z3=w1​⋅w1​​⋅w2​⋅w2​​, zzz הוא מספר מרוכב.

שאלה 10 · שורש ריבועי של מספר מרוכבשאלה קצרה · בינונית

zzz הוא מספר מרוכב.

פתרו את המשוואה: (z−2i)2+5−12i=0(z-2i)^2+5-12i=0(z−2i)2+5−12i=0.

עוד 2 שאלות על שורש ריבועי של מספר מרוכב

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

פרמטר שבעבורו לשורש הריבועי יחס נתון בין החלקים (שאלה קצרה · בינונית)
נתון המספר המרוכב $w=k+8i$ , כאשר $k$ מספר ממשי. לאחד השורשים הריבועיים של $w$ החלק המדומה גדול פי $2$ מהחלק הממשי.
חילוק, שורש ריבועי ומשוואה עם צמוד (שאלת ביניים · בינונית)
נתון המספר המרוכב $w=\dfrac{29+2i}{1-2i}$ .

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

מספרים מרוכבים: שורש ריבועי, מקומות גאומטריים מעגליים ושורשים מסדר שלישי · בגרות 572 חורף 2022 מועד נבצרים, שאלה 3
נתונה המשוואה: $(z+i)^2-2-2\sqrt{3}i=0$ , $z$ הוא מספר מרוכב.