שאלות פתוחות: שוויון מספרים מרוכבים - כיתה י"ב 5 יח"ל

שאלות פתוחות על שוויון מספרים מרוכבים לכיתה י"ב, 5 יחידות. יש כאן מציאת פרמטר שעבורו שני מספרים מרוכבים שווים, משוואות עם z ועם הצמוד שלו שפותרים בהשוואת חלק ממשי וחלק מדומה, ומשוואה שבה הנעלמים x ו-y ממשיים. יש גם שאלה שמשלבת מספרים בהצגה קוטבית. רוב השאלות ברמה בינונית, ויש גם קלות וקשות. אפשר לפתוח בהן את פרק המרוכבים בדף עבודה או בבוחן קצר, עם פתרון מלא לכל שאלה וקובץ וורד להדפסה.

15 שאלותקלה: 2בינונית: 9קשה: 4

שאלה 1 · מספרים צמודים וחזקות בדה-מואבר: שלבים מודרכיםשאלה מלאה · קלה

נתונים שני מספרים מרוכבים: z1=(a−3)+(a−1)iz_1=(a-3)+(a-1)iz1​=(a−3)+(a−1)i, z2=(1−a)+(3−2a)iz_2=(1-a)+(3-2a)iz2​=(1−a)+(3−2a)i. aaa הוא פרמטר ממשי.

א.

מצאו את הערך של aaa שבעבורו z1z_1z1​ ו-z2z_2z2​ צמודים זה לזה.

ב.

כתבו את z1z_1z1​ ואת z2z_2z2​ בהצגה קוטבית.

ג.

הציבו a=2a=2a=2. נתונים המספרים w1=(z12)4nw_1=\left(\frac{z_1}{\sqrt2}\right)^{4n}w1​=(2​z1​​)4n ו-w2=(z22)4n+2w_2=\left(\frac{z_2}{\sqrt2}\right)^{4n+2}w2​=(2​z2​​)4n+2, כאשר nnn מספר טבעי.

(1)

הראו כי (z12)4=−1\left(\frac{z_1}{\sqrt2}\right)^4=-1(2​z1​​)4=−1, והסיקו כי w1w_1w1​ הוא מספר ממשי לכל nnn טבעי.

(2)

הראו כי w2w_2w2​ הוא מספר מדומה טהור לכל nnn טבעי.

ד.

מצאו את ppp ואת mmm הממשיים שבעבורם המשוואה ∣z−p∣=m|z-p|=m∣z−p∣=m מתארת מעגל שעליו נמצאים w1w_1w1​ ו-w2w_2w2​ לכל nnn טבעי.

שאלה 2 · משוואה במרוכבים, ריבוע חסום וסיבוב בזוויות שונותשאלה מלאה · בינונית

נתונה המשוואה: z2+zzˉ=z−2zˉ+3−2iz^2+z\bar z=z-2\bar z+3-2iz2+zzˉ=z−2zˉ+3−2i, zzz הוא מספר מרוכב. z1z_1z1​ הוא אחד הפתרונות של המשוואה, והוא מייצג נקודה הנמצאת במישור גאוס ברביע הראשון, על מעגל שמרכזו בראשית הצירים.

א.

מצאו את משוואת המעגל.

ב.

חוסמים במעגל ריבוע שאחד מקודקודיו מיוצג על ידי המספר z1z_1z1​.

חשבו את שטח הריבוע.

ג.

מצאו את השיעורים של שאר קודקודי הריבוע.

ד.

מכפילים ב-r1⋅(cos⁡(α)+isin⁡(α))r_1\cdot(\cos(\alpha)+i\sin(\alpha))r1​⋅(cos(α)+isin(α)) כל אחד מן המספרים המייצגים את שני קודקודי הריבוע שנמצאים ברביעים הראשון והשלישי, ומכפילים ב-r2⋅(cos⁡(α+30∘)+isin⁡(α+30∘))r_2\cdot(\cos(\alpha+30^\circ)+i\sin(\alpha+30^\circ))r2​⋅(cos(α+30∘)+isin(α+30∘)) כל אחד מן המספרים המייצגים את שני קודקודי הריבוע שנמצאים ברביעים השני והרביעי. הנקודות במישור גאוס המייצגות את התוצאות שהתקבלו לאחר ההכפלה יוצרות מרובע קמור חדש במישור גאוס. נתון: r1≠r2r_1\neq r_2r1​=r2​, r1r_1r1​ ו-r2r_2r2​ חיוביים.

מהו סוג המרובע שהתקבל? נמקו את התשובה.

ה.

נתון כי שטח המרובע שהתקבל גדול פי 3 משטח הריבוע בסעיף ב.

חשבו את r1⋅r2r_1\cdot r_2r1​⋅r2​.

שאלה 3 · ריבוע במישור גאוס וסיבוב בזווית פרמטרית: מתי יש מרובע ומה סוגושאלה מלאה · קשה

נתונה המשוואה: z2+zzˉ=3z−zˉ+12+8iz^2+z\bar z=3z-\bar z+12+8iz2+zzˉ=3z−zˉ+12+8i, zzz הוא מספר מרוכב. z1z_1z1​ הוא הפתרון של המשוואה המיוצג על ידי נקודה ברביע הראשון של מישור גאוס. חוסמים במעגל שמרכזו בראשית הצירים ועובר דרך z1z_1z1​ ריבוע שאחד מקודקודיו מיוצג על ידי z1z_1z1​.

א.

מצאו את z1z_1z1​ ואת שאר קודקודי הריבוע.

ב.

מכפילים ב-r1(cos⁡α+isin⁡α)r_1(\cos\alpha+i\sin\alpha)r1​(cosα+isinα) כל אחד מן המספרים המייצגים את שני קודקודי הריבוע שנמצאים ברביעים הראשון והשלישי, ומכפילים ב-r2(cos⁡(α+β)+isin⁡(α+β))r_2(\cos(\alpha+\beta)+i\sin(\alpha+\beta))r2​(cos(α+β)+isin(α+β)) כל אחד מן המספרים המייצגים את שני הקודקודים שנמצאים ברביעים השני והרביעי. r1r_1r1​ ו-r2r_2r2​ חיוביים, 0∘<β<180∘0^\circ<\beta<180^\circ0∘<β<180∘.

(1)

עבור איזה ערך של β\betaβ ארבע הנקודות שהתקבלו אינן יוצרות מרובע? נמקו.

(2)

עבור שאר ערכי β\betaβ, קבעו מהו סוג המרובע שהתקבל, ובאיזה תנאי הוא מלבן. האם הוא יכול להיות מעוין? נמקו.

ג.

נתון: r1⋅r2=2r_1\cdot r_2=2r1​⋅r2​=2, ושטח המרובע שהתקבל שווה לשטח הריבוע.

מצאו את β\betaβ (שתי אפשרויות).

שאלה 4 · שוויון מספרים מרוכבים: שתי משוואות ממשיותשאלה קצרה · קלה

xxx ו-yyy הם מספרים ממשיים.

מצאו את xxx ואת yyy המקיימים (x−3)+(2y+1)i=5−7i(x-3)+(2y+1)i=5-7i(x−3)+(2y+1)i=5−7i.

שאלה 5 · מספרים צמודים, חזקות בדה-מואבר ומעגל במישור גאוסשאלה מלאה · בינונית

נתונים שני מספרים מרוכבים:
z1=(a2−2a+1)3+(a2−3)iz_1=(a^2-2a+1)\sqrt3+(a^2-3)iz1​=(a2−2a+1)3​+(a2−3)i
z2=(3a−5)3+(1−a)iz_2=(3a-5)\sqrt3+(1-a)iz2​=(3a−5)3​+(1−a)i
aaa הוא פרמטר ממשי.

א.

מצאו את הערך של aaa שבעבורו המספרים z1z_1z1​ ו-z2z_2z2​ צמודים זה לזה.

הציבו את הערך של aaa שמצאתם, וענו על הסעיפים ב-ג.
נתונים המספרים: w1=(z12)6nw_1=\left(\frac{z_1}{2}\right)^{6n}w1​=(2z1​​)6n, w2=(z22)6n+3w_2=\left(\frac{z_2}{2}\right)^{6n+3}w2​=(2z2​​)6n+3. nnn הוא מספר טבעי.
הוכיחו כי לכל nnn טבעי:

ב.

(1)

המספר w1w_1w1​ הוא מספר ממשי.

(2)

המספר w2w_2w2​ הוא מספר מדומה טהור.

ג.

נתונה המשוואה: ∣z−p∣=m|z-p|=m∣z−p∣=m. ppp ו-mmm הם פרמטרים ממשיים, zzz הוא מספר מרוכב.
מה הם הערכים של ppp ו-mmm שבעבורם המשוואה הנתונה מתארת מעגל במישור גאוס שעליו נמצאים המספרים w1w_1w1​ ו-w2w_2w2​ לכל nnn טבעי? נמקו.

שאלה 6 · מספרים מרוכבים: שני פרמטרים משני תנאים, חזקות וחקירת חיתוךשאלה מלאה · קשה

נתונים שלושה מספרים מרוכבים: z1=r⋅(cos⁡α+i⋅sin⁡α)z_1=r\cdot(\cos\alpha+i\cdot\sin\alpha)z1​=r⋅(cosα+i⋅sinα), z2=1r⋅(cos⁡(α−90∘)+i⋅sin⁡(α−90∘))z_2=\frac1r\cdot\big(\cos(\alpha-90^\circ)+i\cdot\sin(\alpha-90^\circ)\big)z2​=r1​⋅(cos(α−90∘)+i⋅sin(α−90∘)), w=z1⋅z2+z1z2w=z_1\cdot z_2+\frac{z_1}{z_2}w=z1​⋅z2​+z2​z1​​. r>0r>0r>0, 0∘<α<90∘0^\circ<\alpha<90^\circ0∘<α<90∘. הנקודה A מייצגת את המספר www במישור גאוס.

א.

הביעו את www בהצגה אלגברית באמצעות rrr ו-α\alphaα.

ב.

נתון: הנקודה A נמצאת על הישר y=xy=xy=x, ו-∣w∣=2|w|=\sqrt2∣w∣=2​.

מצאו את הערכים של α\alphaα ושל rrr.

ג.

מצאו את המספר הטבעי nnn הקטן ביותר שעבורו (z1⋅w)n(z_1\cdot w)^n(z1​⋅w)n הוא מספר ממשי חיובי, ומצאו את ערכו של (z1⋅w)n(z_1\cdot w)^n(z1​⋅w)n עבור nnn זה.

ד.

(1)

פתרו את המשוואה z4=8⋅(z1⋅w)2z^4=8\cdot(z_1\cdot w)^2z4=8⋅(z1​⋅w)2.

הנקודות B ו-C מייצגות את הפתרונות מסעיף ד(1) שנמצאים ברביע הראשון וברביע השני, בהתאמה. bbb הוא מספר ממשי חיובי.

(2)

לאילו ערכים של bbb המקום הגאומטרי של הנקודות המקיימות ∣z∣=b|z|=b∣z∣=b חותך את הקטע BC? בכמה נקודות הוא חותך אותו עבור כל ערך כזה?

שאלה 7 · מספרים מרוכבים בהצגה קוטבית: פרמטרים, שורשים שלישיים ושטח דלתוןשאלה מלאה · בינונית

נתונים שלושה מספרים מרוכבים: z1=r⋅(cos⁡α+i⋅sin⁡α)z_1=r\cdot(\cos\alpha+i\cdot\sin\alpha)z1​=r⋅(cosα+i⋅sinα), z2=1r⋅(cos⁡(α+90∘)+i⋅sin⁡(α+90∘))z_2=\frac1r\cdot\big(\cos(\alpha+90^\circ)+i\cdot\sin(\alpha+90^\circ)\big)z2​=r1​⋅(cos(α+90∘)+i⋅sin(α+90∘)), w=z1⋅z2+z1z2w=z_1\cdot z_2+\frac{z_1}{z_2}w=z1​⋅z2​+z2​z1​​. r>0r>0r>0, 90∘<α<180∘90^\circ<\alpha<180^\circ90∘<α<180∘.

א.

הנקודה A מייצגת את המספר www במישור גאוס. נתון כי שיעור ה-xxx של הנקודה A הוא 111.

מצאו את הערך של α\alphaα.

ב.

נתון כי הנקודה A נמצאת על הישר y=−1y=-1y=−1.

מצאו את הערך של rrr.

ג.

נתונה המשוואה z3=4⋅(z1⋅w)2z^3=4\cdot(z_1\cdot w)^2z3=4⋅(z1​⋅w)2. zzz הוא משתנה מרוכב.

מצאו את שלושת הפתרונות של המשוואה.

ד.

הנקודה O היא ראשית הצירים. כל אחת מן הנקודות B ו-C מייצגת פתרון אחד מבין הפתרונות שמצאתם בסעיף ג. הנקודה B נמצאת ברביע הראשון והנקודה C נמצאת ברביע הרביעי. המקום הגאומטרי של כל הנקודות z=x+i⋅yz=x+i\cdot yz=x+i⋅y במישור גאוס המקיימות ∣z∣=b|z|=b∣z∣=b חותך את החלק החיובי של ציר ה-xxx בנקודה K. bbb הוא מספר ממשי חיובי. נתון כי שטח המרובע CKBO הוא 333\sqrt333​.

מצאו את הערך של bbb.

שאלה 8 · שוויון מספרים מרוכבים: מערכת לא לינאריתשאלה קצרה · קשה

נתונה המשוואה (x2+y2)+xy i=25+12i(x^2+y^2)+xy\,i=25+12i(x2+y2)+xyi=25+12i, שבה הנעלמים xxx ו-yyy הם מספרים ממשיים.

פתרו את המשוואה: מצאו את כל הזוגות של מספרים ממשיים שמקיימים אותה.

שאלה 9 · מספרים מרוכבים בהצגה קוטבית: פרמטרים, שורשים מסדר 6 ושטח מרובע במישור גאוסשאלה מלאה · בינונית

נתונים שלושה מספרים מרוכבים: z1=r⋅(cos⁡α+i⋅sin⁡α)z_1=r\cdot(\cos\alpha+i\cdot\sin\alpha)z1​=r⋅(cosα+i⋅sinα), z2=2r⋅(cos⁡α+i⋅sin⁡α)z_2=\frac2r\cdot(\cos\alpha+i\cdot\sin\alpha)z2​=r2​⋅(cosα+i⋅sinα), w=z1⋅z2+z1z2w=z_1\cdot z_2+\frac{z_1}{z_2}w=z1​⋅z2​+z2​z1​​. r>0r>0r>0, 45∘<α<90∘45^\circ<\alpha<90^\circ45∘<α<90∘.

א.

הנקודה A מייצגת את המספר www במישור גאוס. נתון כי שיעור ה-yyy של הנקודה A הוא 3\sqrt33​.

מצאו את הערך של α\alphaα.

ב.

נתון כי הנקודה A נמצאת על הישר x=1x=1x=1.

מצאו את הערך של rrr.

ג.

נתונה המשוואה z6=(z1⋅w)3z^6=(z_1\cdot w)^3z6=(z1​⋅w)3. zzz הוא משתנה מרוכב.

מצאו את ששת הפתרונות של המשוואה.

ד.

כל אחת מן הנקודות B ו-C מייצגת פתרון אחד מבין הפתרונות שמצאתם בסעיף ג. הנקודה B נמצאת ברביע הראשון והנקודה C נמצאת ברביע השני. המקום הגאומטרי של כל הנקודות z=x+i⋅yz=x+i\cdot yz=x+i⋅y במישור גאוס המקיימות ∣z∣=b|z|=b∣z∣=b חותך את החלק החיובי של ציר ה-xxx בנקודה K ואת החלק השלילי של ציר ה-xxx בנקודה L. bbb הוא מספר ממשי חיובי. נתון כי שטח המרובע KBCL הוא 434\sqrt343​.

מצאו את הערך של bbb.

שאלה 10 · שוויון מספרים מרוכבים עם פרמטרשאלת ביניים · קשה

xxx ו-yyy הם מספרים ממשיים, ו-kkk הוא פרמטר ממשי. נתונה המשוואה:
(x2+k)+(x−y)i=6x+(y−4)i(x^2+k)+(x-y)i=6x+(y-4)i(x2+k)+(x−y)i=6x+(y−4)i

א.

עבור k=5k=5k=5, מצאו את כל הזוגות (x,y)(x,y)(x,y) המקיימים את המשוואה.

ב.

מצאו את הערך של kkk שעבורו יש למשוואה זוג פתרונות אחד בלבד, ומצאו את הזוג.

ג.

מצאו את הערך של kkk שעבורו לאחד הזוגות הפותרים מתקיים x=yx=yx=y. מצאו עבור kkk זה את שני הזוגות.

עוד 2 שאלות על שוויון מספרים מרוכבים

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

שוויון מספרים מרוכבים: משוואה ריבועית בחלק הממשי (שאלה קצרה · בינונית)
$x$ ו- $y$ הם מספרים ממשיים.
שוויון מספרים מרוכבים בשלבים (שאלת ביניים · בינונית)
$a$ , $b$ , $x$ , $y$ הם מספרים ממשיים, ומתקיים $(a+b)+(a-b)i=6+2i$ . (מספר מדומה טהור הוא מספר שחלקו הממשי $0$ וחלקו המדומה שונה מ- $0$ ).

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

משוואה במספרים מרוכבים, ריבוע חסום וסיבוב קודקודים · בגרות 572 קיץ 2022 מועד א', שאלה 3
נתונה המשוואה: $z^2+z\bar z=z+2\bar z+9+7i$ , $z$ הוא מספר מרוכב. $z_1$ הוא אחד הפתרונות של המשוואה, והוא מייצג נקודה הנמצאת במישור גאוס ברביע הראשון, על מעגל…
מספרים צמודים, חזקות בדה-מואבר ומעגל במישור גאוס · בגרות 572 חורף 2022, שאלה 3
נתונים שני מספרים מרוכבים: $z_1=(2a^2+5a+4)+(2a^2+3a+2)i$ $z_2=(a^2+8a+8)+(2-a^2+2a)i$ $a$ הוא פרמטר ממשי.
מספרים מרוכבים בהצגה קוטבית: מציאת פרמטרים, שורשים ושטח מרובע במישור גאוס · בגרות 572 קיץ 2026 מועד ב', שאלה 3
נתונים שלושה מספרים מרוכבים: $z_1=r\cdot(\cos\alpha+i\cdot\sin\alpha)$ , $z_2=\frac1r\cdot\big(\cos(\alpha+90^\circ)+i\cdot\sin(\alpha+90^\circ)\big)$ ,…