מבחן לדוגמה: מישור גאוס וערך מוחלט - כיתה י"ב 5 יח"ל

פתרו את משוואה I, ורשמו את הפתרונות בהצגה אלגברית.

הביעו באמצעות $x$ ו-$y$ את שיעורי הנקודה $B$ ואת רכיבי הווקטור $\overrightarrow{AB}$.

הוכיחו כי הזווית $OAB$ ישרה אם ורק אם $x=1$. תארו את קבוצת כל הנקודות $A$ שעבורן הזווית $OAB$ ישרה.

מצאו את המספרים $z$ שעבורם המשולש $OAB$ הוא ישר-זווית ושווה-שוקיים, שהזווית הישרה שלו בקודקוד $A$, וחשבו את שטחו.

נתון: $\frac{z}{\bar z}=\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i$.

מצאו את $\alpha$.

נתון: $|3iz|-\left|\frac{\bar z}{i}\right|+\left|\frac{z}{\bar z}\right|=5$.

מצאו את $R$.

נתונה המשוואה: $w^9=\frac{z^6}{64}$ ($z$ הוא המספר שמצאתם). הראו כי המספר $\frac{z}{\bar z}$ הוא אחד הפתרונות של המשוואה.

המשולש ABC הוא משולש שווה שוקיים. קודקודי הבסיס B ו-C מתאימים למספרים: $\frac{z}{\bar z}$ ו-$\frac{\bar z}{z}$. קודקוד הראש A מתאים למספר $z+k$, $k$ הוא מספר מדומה טהור.

מצאו את המספר המרוכב המייצג את $M$, ואת המספר המרוכב המייצג את הווקטור $\overrightarrow{MA}$.

מצאו את המספרים המרוכבים המייצגים את הקודקודים $B$ ו-$D$.

הנקודה $E$ נמצאת על המשך האלכסון $AC$, כך ש-$C$ היא אמצע הקטע $AE$. מצאו את המספר המרוכב המייצג את $E$, וחשבו את שטח המשולש $BDE$.

מצאו את $|z|$ בלי לחשב את $z$ עצמו.

מצאו את משוואת המקום הגאומטרי של כל הנקודות במישור גאוס המקיימות $|z^2-2i|=|z^2+6i|$.

מצאו את המספרים המרוכבים שעל המקום הגאומטרי ושהערך המוחלט שלהם הוא $\sqrt2$.

כתבו את $-729$ בהצגה קוטבית, ומצאו את ששת הפתרונות של המשוואה.

מצאו את הפתרונות של המשוואה שהם מספרים מדומים טהורים, והראו שהם הפתרונות של המשוואה $z^2=-9$.

ארבעת הפתרונות האחרים של המשוואה מייצגים קודקודים של מלבן במישור גאוס.

מצאו את שטח המלבן.

חשבו את מכפלת ארבעת המספרים המייצגים את קודקודי המלבן.

מסובבים את המלבן סביב הראשית בזווית $45^\circ$ נגד כיוון השעון. כל קודקוד מוכפל ב-$cis45^\circ$.

מצאו את מכפלת ארבעת המספרים המייצגים את קודקודי המלבן לאחר הסיבוב.

תארו את המקום הגאומטרי של $z$ ואת המקום הגאומטרי של $w$ במישור גאוס, והראו כי אין מספר המקיים את שני התנאים.

מצאו את המרחק הקטן ביותר האפשרי בין הנקודות המייצגות את $z$ ואת $w$, ואת המספרים $z$ ו-$w$ שבהם הוא מתקבל.