מבחן לדוגמה: מרחקים במרחב - כיתה י"ב 5 יח"ל

מצאו את הזווית בין המישורים.

מן הנקודה $A(1,-1,7)$ הורידו אנך למישור $\pi_1$. האנך חותך את $\pi_1$ בנקודה $B$.

הראו כי $A$ נמצאת על $\pi_2$, מצאו את שיעורי $B$ וחשבו את אורך הקטע $AB$.

$\ell$ הוא ישר החיתוך של המישורים $\pi_1$ ו-$\pi_2$.

מצאו הצגה פרמטרית של $\ell$.

מן הנקודה $B$ העבירו אנך לישר $\ell$. האנך חותך את $\ell$ בנקודה $C$.

מצאו את שיעורי $C$, הראו כי המשולש $ABC$ ישר-זווית ב-$B$, וחשבו את שטחו.

הנקודה $A(5,3,9)$ נמצאת על אחד המישורים הנתונים. מן הנקודה $A$ הורידו אנך למישור האחר.

האנך חותך את המישור האחר בנקודה $B$.

מצאו את אורך הקטע $AB$.

$\ell$ הוא ישר החיתוך בין שני המישורים $\pi_1$ ו-$\pi_2$.

מצאו את ההצגה הפרמטרית של $\ell$.

מן הנקודה $B$ העבירו אנך לישר $\ell$. האנך חותך את הישר $\ell$ בנקודה $C$.

מצאו את שטח המשולש $ABC$.

הוכיחו כי המרובע ABCD הוא ריבוע.

מצאו את משוואת המישור ABCD.

הנקודה S היא קודקוד של פירמידה SABCD שבסיסה ABCD. המקצוע SC מונח על הישר: $\underline x=(0,1,4)+t(1,0,1)$. נתון כי נפח הפירמידה הוא 12.

חשבו את גובה הפירמידה.

מצאו את שיעורי הנקודה S (שתי אפשרויות).

מצאו את הזווית בין המקצוע SC ובין בסיס הפירמידה.

הביעו את $\overrightarrow{BM}$ באמצעות $\underline u$, $\underline v$ ו-$\underline w$.

חשבו את המרחק בין הנקודה $B$ ובין המישור $AEC$.

הנקודה $N$ היא השיקוף של הנקודה $B$ ביחס למישור $AEC$. הביעו את $\overrightarrow{AN}$ באמצעות $\underline u$, $\underline v$ ו-$\underline w$, וקבעו אם $N$ נמצאת בתוך התיבה. נמקו.

מצאו הצגה פרמטרית של הישר $AC$ ושל הישר $DB'$, והראו כי הישרים מצטלבים.

הקטע $PQ$ הוא האנך המשותף לשני הישרים ($P$ על $AC$, $Q$ על $DB'$). מצאו את שיעורי $P$ ו-$Q$, ואת המרחק בין הישרים.

המישור $\pi$ מכיל את הישר $AC$ ומקביל לישר $DB'$. מצאו את משוואת המישור $\pi$, הראו כי המרחק של הקודקוד $D$ מהמישור $\pi$ שווה למרחק שמצאתם בסעיף ב, והסבירו מדוע זה כך.

מצאו את המרחק בין הישרים $\ell_1$ ו-$\ell_2$ לכל ערך של $m$.

מצאו את משוואת המישור $DCC'D'$.

נתון $AB=4$ ו-$BB'=5$. מצאו את נפח התיבה.

מצאו את משוואת המישור $\pi_2$.

קבעו את המצב ההדדי בין $\pi_1$ ל-$\pi_2$ (נחתכים, מקבילים או מתלכדים). אם הם נחתכים מצאו הצגה פרמטרית של ישר החיתוך, ואם הם מקבילים חשבו את המרחק ביניהם.