שאלות פתוחות: מרחק בין נקודה למישור - כיתה י"ב 5 יח"ל

שאלות פתוחות על מרחק בין נקודה למישור לכיתה י"ב, 5 יחידות. השאלות כוללות מציאת פרמטר בנקודה או במשוואת המישור כשהמרחק ידוע, חישוב גובה של פירמידה כמרחק קודקוד ממישור הבסיס ושימוש בו לנפח, ושאלות על תיבה שמוצבת במערכת צירים ועל פירמידה שכל קודקודיה נתונים. רוב השאלות ברמה בינונית, ויש גם קלות וקשות. השיעור מתאים לבניית מבחן או דף עבודה בפרק המרחקים, עם פתרון מלא לכל שאלה וייצוא לוורד.

44 שאלותקלה: 10בינונית: 27קשה: 7

שאלה 1 · מרחק בין נקודה למישורשאלה קצרה · קלה

נתונים המישור π: 2x−y+2z−9=0\pi:\ 2x-y+2z-9=0π: 2x−y+2z−9=0 והנקודה A(1,4,k)A(1,4,k)A(1,4,k), כאשר kkk פרמטר. ידוע כי מרחק הנקודה AAA מהמישור π\piπ הוא 555.

א.

מצאו את כל הערכים האפשריים של kkk.

ב.

סמנו ב-A1A_1A1​ ו-A2A_2A2​ את שתי הנקודות שהתקבלו. הראו כי אמצע הקטע A1A2A_1A_2A1​A2​ נמצא על המישור π\piπ, והסבירו מדוע.

שאלה 2 · מרחק בין נקודה למישורשאלה קצרה · בינונית

נתונים המישור π: x+2y−2z+a=0\pi:\ x+2y-2z+a=0π: x+2y−2z+a=0 והנקודה A(a,1,2)A(a,1,2)A(a,1,2), כאשר aaa פרמטר. ידוע כי מרחק הנקודה AAA מהמישור π\piπ הוא 333.

א.

מצאו את כל הערכים האפשריים של aaa.

ב.

עבור הערך החיובי של aaa, מצאו את שיעורי הנקודה A′A'A′, השיקוף של AAA במישור π\piπ.

שאלה 3 · מרחק בין נקודה למישורשאלה קצרה · קשה

בפירמידה משולשת SABCSABCSABC הבסיס ABCABCABC מוכל במישור π: 2x−y+2z−4=0\pi:\ 2x-y+2z-4=0π: 2x−y+2z−4=0, ושטח הבסיס הוא 151515. קודקוד הפירמידה SSS נמצא על הישר ℓ: x‾=(3,1,−2)+t(1,1,2)\ell:\ \underline{x}=(3,1,-2)+t(1,1,2)ℓ: x​=(3,1,−2)+t(1,1,2), וכל שיעוריו חיוביים. נפח הפירמידה הוא 202020.

מצאו את שיעורי הקודקוד SSS.

שאלה 4 · פירמידה שבסיסה ריבוע במרחב: גובה, קודקוד וזוויתשאלה מלאה · קלה

נתונות הנקודות A(1,0,0)A(1,0,0)A(1,0,0), B(2,2,2)B(2,2,2)B(2,2,2), C(0,1,4)C(0,1,4)C(0,1,4), D(−1,−1,2)D(-1,-1,2)D(−1,−1,2).

א.

הוכיחו כי המרובע ABCD הוא ריבוע.

ב.

מצאו את משוואת המישור ABCD.

ג.

הנקודה S היא קודקוד של פירמידה SABCD שבסיסה ABCD. המקצוע SC מונח על הישר: x‾=(0,1,4)+t(1,0,1)\underline x=(0,1,4)+t(1,0,1)x​=(0,1,4)+t(1,0,1). נתון כי נפח הפירמידה הוא 12.

חשבו את גובה הפירמידה.

ד.

מצאו את שיעורי הנקודה S (שתי אפשרויות).

ה.

מצאו את הזווית בין המקצוע SC ובין בסיס הפירמידה.

שאלה 5 · מרחק בין נקודה למישורשאלה קצרה · בינונית

בסרטוט שלפניכם תיבה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D'ABCDA′B′C′D′ שבה AB=3AB=3AB=3, AD=6AD=6AD=6 ו-AA′=6AA'=6AA′=6. מציבים מערכת צירים כך שהקודקוד AAA בראשית, BBB על ציר ה-xxx, DDD על ציר ה-yyy ו-A′A'A′ על ציר ה-zzz. דרך הקודקודים A′A'A′, BBB ו-DDD מעבירים מישור.
ABCDA'B'C'D'

א.

מצאו את משוואת המישור A′BDA'BDA′BD, ואת המרחק בין הקודקוד AAA למישור זה.

ב.

חשבו את נפח הפירמידה AA′BDAA'BDAA′BD, ובעזרתו מצאו את שטח המשולש A′BDA'BDA′BD.

שאלה 6 · ריבוע משלושה קודקודים ופירמידה: איפה נופל היטל הקודקודשאלה מלאה · קשה

הנקודות A(−3,p,−1)A(-3,p,-1)A(−3,p,−1), B(1,1,1)B(1,1,1)B(1,1,1), C(−3,3,5)C(-3,3,5)C(−3,3,5) הן שלושה קודקודים של הריבוע ABCD, ppp הוא פרמטר.

א.

מצאו את ppp.

ב.

מצאו את שיעורי הקודקוד D ואת משוואת המישור ABCD.

ג.

הנקודה S היא קודקוד של פירמידה SABCD שבסיסה ABCD. המקצוע SC מונח על הישר x‾=(−3,3,5)+t(1,−3,1)\underline x=(-3,3,5)+t(1,-3,1)x​=(−3,3,5)+t(1,−3,1), ונפח הפירמידה הוא 72.

מצאו את שיעורי הנקודה S (שתי אפשרויות).

ד.

באחת משתי האפשרויות שמצאתם בסעיף ג, ההיטל של הקודקוד S על מישור הבסיס נמצא בתוך הריבוע ABCD. איזו? נמקו.

שאלה 7 · שני מישורים: אנך, ישר חיתוך ושטח משולש (בלי פרמטר)שאלה מלאה · קלה

נתונים שני מישורים: π1:z−2=0\pi_1: z-2=0π1​:z−2=0, π2:y+z−6=0\pi_2: y+z-6=0π2​:y+z−6=0.

א.

מצאו את הזווית בין המישורים.

ב.

מן הנקודה A(1,−1,7)A(1,-1,7)A(1,−1,7) הורידו אנך למישור π1\pi_1π1​. האנך חותך את π1\pi_1π1​ בנקודה BBB.

הראו כי AAA נמצאת על π2\pi_2π2​, מצאו את שיעורי BBB וחשבו את אורך הקטע ABABAB.

ג.

ℓ\ellℓ הוא ישר החיתוך של המישורים π1\pi_1π1​ ו-π2\pi_2π2​.

מצאו הצגה פרמטרית של ℓ\ellℓ.

ד.

מן הנקודה BBB העבירו אנך לישר ℓ\ellℓ. האנך חותך את ℓ\ellℓ בנקודה CCC.

מצאו את שיעורי CCC, הראו כי המשולש ABCABCABC ישר-זווית ב-BBB, וחשבו את שטחו.

שאלה 8 · מרחק בין נקודה למישורשאלה קצרה · בינונית

נתונה פירמידה ABCDABCDABCD שקודקודיה A(1,1,0)A(1,1,0)A(1,1,0), B(3,3,1)B(3,3,1)B(3,3,1), C(2,−1,2)C(2,-1,2)C(2,−1,2) ו-D(5,0,−3)D(5,0,-3)D(5,0,−3).

א.

הראו כי המשולש ABCABCABC ישר זווית, וחשבו את שטחו.

ב.

מצאו את משוואת המישור ABCABCABC, וחשבו את נפח הפירמידה ABCDABCDABCD.

שאלה 9 · מנסרה משולשת: מציאת יחס ומציאת גובה מנפחשאלה מלאה · קשה

בסרטוט שלפניכם מנסרה ישרה AOBA′O′B′AOBA'O'B'AOBA′O′B′ שבסיסה AOBAOBAOB הוא משולש ישר-זווית (∠AOB=90∘\angle AOB=90^\circ∠AOB=90∘). הנקודה KKK היא אמצע המקצוע ABABAB. הנקודה EEE נמצאת על הקטע O′BO'BO′B כך ש-O′E→=s⋅O′B→\vec{O'E}=s\cdot\vec{O'B}O′E=s⋅O′B, 0<s<10<s<10<s<1. הנקודה NNN נמצאת על הקטע AEAEAE כך ש-AN→=45⋅AE→\overrightarrow{AN}=\frac45\cdot\overrightarrow{AE}AN=54​⋅AE. נסמן: OA→=u‾\overrightarrow{OA}=\underline uOA=u​, OB→=v‾\overrightarrow{OB}=\underline vOB=v​, OO′→=w‾\vec{OO'}=\underline wOO′=w​.
OABO'A'B'

א.

הביעו את O′N→\vec{O'N}O′N באמצעות u‾\underline uu​, v‾\underline vv​, w‾\underline ww​ ו-sss.

ב.

מצאו את הערך של sss שעבורו הנקודות KKK, NNN, O′O'O′ נמצאות על ישר אחד, ואת היחס בין O′KO'KO′K ובין O′NO'NO′N בעבור ערך זה.

ג.

הציבו s=14s=\frac14s=41​. נתון: O(0,0,0)O(0,0,0)O(0,0,0), A(12,0,0)A(12,0,0)A(12,0,0), B(0,5,0)B(0,5,0)B(0,5,0). הקודקוד O′O'O′ נמצא על החלק החיובי של ציר ה-zzz, וגובה המנסרה אינו ידוע.

מצאו את משוואת המישור A′KB′A'KB'A′KB′. האם היא תלויה בגובה המנסרה? נמקו.

ד.

נתון כי נפח הפירמידה NA′KB′NA'KB'NA′KB′ הוא 48.

מצאו את שיעורי הנקודות O′O'O′ ו-NNN.

שאלה 10 · ישרים נחתכים במרחב: מישור, אנך ונפח פירמידהשאלה מלאה · קלה

נתונים הישרים ℓ1: x‾=t(2,1,0)\ell_1:\ \underline{x}=t(2,1,0)ℓ1​: x​=t(2,1,0) ו-ℓ2: x‾=(4,2,0)+m(0,1,1)\ell_2:\ \underline{x}=(4,2,0)+m(0,1,1)ℓ2​: x​=(4,2,0)+m(0,1,1). הנקודה A היא נקודת החיתוך של הישרים, והנקודה O היא ראשית הצירים.

א.

מצאו את שיעורי הנקודה A.

ב.

מצאו את הזווית בין הישרים ℓ1\ell_1ℓ1​ ו-ℓ2\ell_2ℓ2​.

ג.

הראו כי הווקטור (1,−2,2)(1,-2,2)(1,−2,2) ניצב לשני הישרים, ומצאו את משוואת המישור π\piπ שמכיל את שני הישרים.

ד.

מן הנקודה A מעלים אנך למישור π\piπ ומסמנים עליו את הנקודה S, כך ש-AS=6AS=6AS=6.

(1)

מצאו את שיעורי הנקודה S (את שתי האפשרויות).

הנקודה B(4,3,1)B(4,3,1)B(4,3,1) נמצאת על הישר ℓ2\ell_2ℓ2​.

(2)

חשבו את נפח הפירמידה SAOB.

עוד 26 שאלות על מרחק בין נקודה למישור

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

מרחק בין נקודה למישור (שאלה קצרה · בינונית)
נתונים המישור $\pi:\ x+y+z=3$ והנקודה $P(3,3,3)$ (ראו סרטוט).
וקטורים בתיבה: מציאת עקב האנך, מרחק ושיקוף במישור (שאלה מלאה · קשה)
בסרטוט שלפניכם תיבה $ABCDA'B'C'D'$ . נסמן: $\overrightarrow{AD}=\underline u$ , $\overrightarrow{AB}=\underline v$ , $\vec{AA'}=\underline w$ . נתון:…
וקטורים במנסרה משולשת: מהבעת וקטורים לנפח (שאלה מלאה · קלה)
בסרטוט שלפניכם מנסרה ישרה $AOBA'O'B'$ שבסיסה $AOB$ הוא משולש ישר-זווית ( $\angle AOB=90^\circ$ ). הנקודה $K$ היא אמצע המקצוע $AB$ . הנקודה $E$ …
מרחק בין נקודה למישור (שאלה קצרה · בינונית)
המישור $\pi$ חותך את החלקים החיוביים של צירי ה- $x$ , ה- $y$ וה- $z$ בנקודות $A$ , $B$ ו- $C$ בהתאמה. מפגש התיכונים של המשולש $ABC$ הוא הנקודה…
וקטורים בפירמידה: מינימום, מישור בפרמטר ומישורים מאונכים (שאלה מלאה · קשה)
בסרטוט שלפניכם פירמידה SABCD שבסיסה ABCD הוא ריבוע. המקצוע AS הוא גובה בפירמידה, ואורכו שווה לאורך צלע הריבוע. הנקודה E היא אמצע המקצוע SD.…
וקטורים בתיבה: נקודה במישור ומרחק ממישור (עם אורכים נתונים) (שאלה מלאה · קלה)
בסרטוט שלפניכם תיבה $ABCDA'B'C'D'$ . נסמן: $\overrightarrow{AB}=\underline u$ , $\overrightarrow{AD}=\underline v$ , $\vec{AA'}=\underline w$ . הנקודה $E$ היא אמצע…
ריבוע במרחב ופירמידה שקודקודה על ישר נתון (שאלה מלאה · בינונית)
נתונות ארבע נקודות הנמצאות באותו המישור: $A(-6,p,3)$ , $B(-2,-2,5)$ , $C(2,0,1)$ , $D(-2,4,-1)$ , $p$ הוא פרמטר.
תיבה במערכת צירים: פרמטר מזווית ומנפח, וקודקודים מהנורמלים (שאלה מלאה · קשה)
בסרטוט שלפניכם תיבה $ABCDA'B'C'D'$ . נתון כי משוואת המישור $A'B'C'D'$ היא $2x+2y-z-12=0$ , וכי $B(1,0,2)$ . הצגה פרמטרית של הישר AB היא…
וקטורים בפירמידה: אורך וקטור, מישור ויחס נפחים (בלי פרמטר) (שאלה מלאה · קלה)
בסרטוט שלפניכם פירמידה SABCD שבסיסה ABCD הוא ריבוע שאורך צלעו 6. המקצוע AS הוא גובה בפירמידה, ו- $AS=6$ . הנקודה E היא אמצע המקצוע SD. הנקודה…
מרחק בין נקודה למישור (שאלה קצרה · בינונית)
הנקודות $A(3,0,0)$ , $B(5,4,0)$ , $C(1,6,5)$ , $D(-1,2,5)$ הן קודקודי המלבן ABCD, הנמצא במישור $2x-y+2z-6=0$ . הנקודה S היא קודקוד של פירמידה…
עקב האנך, מרחק ושיקוף של קודקוד ביחס למישור בתיבה (שאלת ביניים · קשה)
בסרטוט שלפניכם תיבה $ABCDA'B'C'D'$ . נסמן: $\overrightarrow{AD}=\underline u$ , $\overrightarrow{AB}=\underline v$ , $\vec{AA'}=\underline w$ . נתון:…
תיבה במערכת צירים: מקצועות, מישור פאה ונפח (שאלה מלאה · קלה)
בסרטוט שלפניכם תיבה $ABCDA'B'C'D'$ . נתון כי משוואת המישור $A'B'C'D'$ היא $x+2y+2z-22=0$ , וכי $A(-2,3,0)$ ו- $B(2,1,0)$ .
שני מישורים בזווית $4 5^{\circ}$ : אנך, ישר חיתוך ושטח משולש (שאלה מלאה · בינונית)
נתונים שני מישורים: $\pi_1: x-1=0$ , $\pi_2: ax+3y+4z-20=0$ . $a$ הוא פרמטר שונה מ-0. הזווית בין המישורים היא $45^\circ$ .
אורך מקצוע צדדי של תיבה כמרחק של קודקוד ממישור (שאלה קצרה · קלה)
בסרטוט שלפניכם תיבה $ABCDA'B'C'D'$ . נתון כי משוואת המישור $A'B'C'D'$ היא $2x-y+2z-33=0$ , וכי $B(1,2,3)$ .
שני ישרים נחתכים במרחב: זווית, מישור ופירמידה (שאלה מלאה · בינונית)
נתונים שני ישרים $\ell_1$ ו- $\ell_2$ . לפניכם הצגה פרמטרית של כל אחד מן הישרים: $\ell_1:\ \underline{x}=t(1,-2,0)$ ,…
וקטורים במנסרה משולשת: יחס 5:2, מישור ונפח (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם מנסרה ישרה $AOBA'O'B'$ שבסיסה $AOB$ הוא משולש ישר-זווית ( $\angle AOB=90^\circ$ ). הנקודה $K$ היא אמצע המקצוע $AB$ . הנקודה $E$ …
פירמידה ישרה שבסיסה מלבן: נקודות על ישר, מישור, מרחק ונפח (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם פירמידה $SABCD$ שבסיסה $ABCD$ הוא מלבן. $O$ היא נקודת המפגש של אלכסוני הבסיס, ו- $SO$ הוא גובה הפירמידה. הנקודה $E$ נמצאת על…
וקטורים בתיבה: נקודה במישור אלכסוני, אנך ומרחק (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם תיבה $ABCDA'B'C'D'$ . נסמן: $\overrightarrow{AB}=\underline u$ , $\overrightarrow{AD}=\underline v$ , $\vec{AA'}=\underline w$ . הנקודה $E$ נמצאת על…
וקטורים בפירמידה: נקודה במישור, אנך למישור ומרחק הקודקוד מהמישור (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם פירמידה $SABCD$ שבסיסה $ABCD$ הוא מלבן. המקצוע $SA$ מאונך למישור הבסיס. נסמן: $\overrightarrow{AB}=\underline u$ ,…
וקטורים בפירמידה: פרמטר על מקצוע, מישור ויחס נפחים (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם פירמידה SABCD שבסיסה ABCD הוא ריבוע. המקצוע AS הוא גובה בפירמידה. אורך המקצוע AS שווה לאורך צלע הריבוע ABCD. הנקודה E נמצאת…
מרחק בין נקודה למישור (שאלה קצרה · בינונית)
נתונות הנקודות $A(2,0,0)$ , $B(0,4,0)$ , $C(0,0,4)$ , $P(3,3,1)$ ו- $Q(1,1,-3)$ .
וקטורים בתיבה: פרמטר על אלכסון, מישור ויחס נפחים (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם תיבה $ABCDA'B'C'D'$ שבסיסה $ABCD$ הוא ריבוע. אורך המקצוע $AA'$ גדול פי 2 מאורך צלע הריבוע. הנקודה $E$ נמצאת על המקצוע $BB'$ …
תיבה במערכת צירים: מרחקים, מישור פאה, זווית בין ישרים ונפח (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם תיבה $ABCDA'B'C'D'$ . נתון כי משוואת המישור $A'B'C'D'$ היא $2x-y+2z-33=0$ , וכי $B(1,2,3)$ .
מנסרה משולשת ישרה במערכת צירים: מרחקים, מישור פאה, זווית בין ישרים ונפח (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם מנסרה ישרה $ABCA'B'C'$ שבסיסה $ABC$ הוא משולש ישר-זווית ( $\angle ACB=90^\circ$ ). נתון כי משוואת המישור $A'B'C'$ היא…
פרמטר מתוך מרחק של נקודה ממישור (שאלה קצרה · בינונית)
נתונים המישור $\pi:\ x+2y-2z+a=0$ והנקודה $A(a,1,2)$ , כאשר $a$ פרמטר. ידוע כי מרחק הנקודה $A$ מהמישור $\pi$ הוא $3$ .
מרחקים של שני קודקודים ממישור בפירמידה, ויחס נפחים (שאלת ביניים · בינונית)
בסרטוט שלפניכם פירמידה SABCD שבסיסה ABCD הוא ריבוע שאורך צלעו 6. המקצוע AS הוא גובה בפירמידה, ו- $AS=6$ . הנקודה E היא אמצע המקצוע SD. הנקודה…

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

ריבוע במרחב ופירמידה: משוואת מישור, קודקוד על ישר וזווית בין מישורים · בגרות 572 קיץ 2022 מועד א', שאלה 2
נתונות ארבע נקודות הנמצאות באותו המישור: $A(4,p,-1)$ , $B(7,5,5)$ , $C(1,-1,2)$ , $D(-2,5,-4)$ , $p$ הוא פרמטר.
שני מישורים בזווית $4 5^{\circ}$ : אנכים, ישר חיתוך ושטח משולש · בגרות 572 חורף 2022, שאלה 2
נתונים שני מישורים: $\pi_1: z-3=0$ , $\pi_2: ay+z-8=0$ . $a$ הוא פרמטר שונה מ-0. הזווית בין המישורים היא $45^\circ$ .
שני ישרים נחתכים במרחב: זווית, מישור ופירמידה · בגרות 572 קיץ 2024 מועד א', שאלה 2
נתונים שני ישרים $\ell_1$ ו- $\ell_2$ . לפניכם הצגה פרמטרית של כל אחד מן הישרים: $\ell_1:\ \underline{x}=t(-1,3,0)$ , $\ell_2:\ \underline{x}=(1,-3,0)+m(0,k,1)$ .…
וקטורים במנסרה משולשת: נקודות על ישר, מישור, מרחק ונפח פירמידה · בגרות 572 קיץ 2025 מועד ב', שאלה 2
בסרטוט שלפניכם מנסרה ישרה $AOBA'O'B'$ שבסיסה $AOB$ הוא משולש ישר-זווית ( $\angle AOB=90^\circ$ ). הנקודה $K$ היא אמצע המקצוע $AB$ . הנקודה $E$ נמצאת על הקטע $O'B$ …
וקטורים בתיבה: נקודה במישור, אנך למישור ומרחק נקודה ממישור · בגרות 572 קיץ 2026 מועד א', שאלה 2
בסרטוט שלפניכם תיבה $ABCDA'B'C'D'$ . נסמן: $\overrightarrow{AD}=\underline u$ , $\overrightarrow{AB}=\underline v$ , $\vec{AA'}=\underline w$ . הנקודה $E$ היא אמצע המקצוע $BB'$ .
וקטורים בפירמידה: נקודה על מקצוע לפי פרמטר, משוואת מישור והשוואת נפחים · בגרות 572 קיץ 2026 מועד ב', שאלה 2
בסרטוט שלפניכם פירמידה SABCD שבסיסה ABCD הוא ריבוע. המקצוע AS הוא גובה בפירמידה. אורך המקצוע AS שווה לאורך צלע הריבוע ABCD. הנקודה E נמצאת על המקצוע SD כך…
תיבה במערכת צירים: מרחקים, מישור פאה, זווית בין ישרים ונפח · בגרות 572 חורף 2026, שאלה 2
בסרטוט שלפניכם תיבה $ABCDA'B'C'D'$ . נתון כי משוואת המישור $A'B'C'D'$ היא $x+4y-8z-126=0$ , וכי $B(0,7,8)$ .

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (1)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

וקטורים בפירמידה: מציאת עקב האנך מקודקוד למישור (שאלה מלאה · קלה)
בפירמידה המשולשת $ABCD$ המקצועות $AD$ , $BD$ ו- $CD$ מאונכים זה לזה, ונתון: $DA=DB=2$ , $DC=1$ (ראו סרטוט).…