שאלות פתוחות: מרחק בין ישר למישור מקביל ובין מישורים מקבילים - כיתה י"ב 5 יח"ל

שאלות פתוחות על מרחק בין ישר למישור מקביל ובין מישורים מקבילים, לכיתה י"ב, 5 יחידות. יש כאן חישוב המרחק בין שני מישורים מקבילים, מציאת מישור מקביל שעובר דרך נקודה נתונה, ישר שמקביל לשני מישורים ומרחקיו מהם, תיבה שמשוואת פאה שלה נתונה, ושיקוף של מישור ביחס לנקודה. רוב השאלות ברמה בינונית, לצד קלות וקשות. אפשר לבחור מהן לבוחן או לדף עבודה, וכל שאלה מגיעה עם פתרון מלא וייצוא לוורד.

17 שאלותקלה: 4בינונית: 10קשה: 3

שאלה 1 · מרחק בין ישר למישור מקביל ובין מישורים מקביליםשאלה קצרה · קלה

נתון המישור π: 2x−y+2z−3=0\pi:\ 2x-y+2z-3=0π: 2x−y+2z−3=0.

מצאו את משוואות כל המישורים המקבילים ל-π\piπ שמרחקם ממנו הוא 222.

שאלה 2 · מרחק בין ישר למישור מקביל ובין מישורים מקביליםשאלה קצרה · בינונית

נתונים המישורים π1: x+2y+2z−1=0\pi_1:\ x+2y+2z-1=0π1​: x+2y+2z−1=0 ו-π2: x+2y+2z−13=0\pi_2:\ x+2y+2z-13=0π2​: x+2y+2z−13=0, והישר ℓ: x‾=(0,1,0)+t(1,1,1)\ell:\ \underline{x}=(0,1,0)+t(1,1,1)ℓ: x​=(0,1,0)+t(1,1,1).

א.

הראו כי המישורים מקבילים, ומצאו את המרחק ביניהם.

ב.

הנקודה MMM נמצאת על הישר ℓ\ellℓ ומרחקיה משני המישורים שווים. מצאו את שיעורי MMM ואת מרחקה מכל אחד מהמישורים.

שאלה 3 · מרחק בין ישר למישור מקביל ובין מישורים מקביליםשאלה קצרה · קשה

π1\pi_1π1​ ו-π2\pi_2π2​ הם שני מישורים מקבילים שונים. הישר ℓ\ellℓ מקביל לשני המישורים. מרחק הישר ℓ\ellℓ מהמישור π1\pi_1π1​ הוא 222, ומרחקו מהמישור π2\pi_2π2​ הוא 333.

מצאו את כל הערכים האפשריים של המרחק בין π1\pi_1π1​ ל-π2\pi_2π2​. נמקו מדוע אין ערכים נוספים.

שאלה 4 · מרחק בין ישר למישור מקביל ובין מישורים מקביליםשאלה קצרה · קלה

נתון המישור π1: x−2y+2z+3=0\pi_1:\ x-2y+2z+3=0π1​: x−2y+2z+3=0. המישור π2\pi_2π2​ מקביל למישור π1\pi_1π1​ ועובר דרך הנקודה A(2,−1,1)A(2,-1,1)A(2,−1,1).

מצאו את משוואת המישור π2\pi_2π2​ ואת המרחק בין שני המישורים.

שאלה 5 · מרחק בין ישר למישור מקביל ובין מישורים מקביליםשאלה קצרה · בינונית

נתונים הישר ℓ: x‾=(3,2,2)+t(1,0,−1)\ell:\ \underline{x}=(3,2,2)+t(1,0,-1)ℓ: x​=(3,2,2)+t(1,0,−1) והמישור π: 2x+y+2z−3=0\pi:\ 2x+y+2z-3=0π: 2x+y+2z−3=0.

א.

הראו כי הישר ℓ\ellℓ מקביל למישור π\piπ, ומצאו את המרחק ביניהם.

ב.

הישר ℓ′\ell'ℓ′ הוא השיקוף של הישר ℓ\ellℓ במישור π\piπ. מצאו הצגה פרמטרית של ℓ′\ell'ℓ′.

שאלה 6 · תיבה במערכת צירים: פרמטר מזווית ומנפח, וקודקודים מהנורמליםשאלה מלאה · קשה

בסרטוט שלפניכם תיבה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D'ABCDA′B′C′D′. נתון כי משוואת המישור A′B′C′D′A'B'C'D'A′B′C′D′ היא 2x+2y−z−12=02x+2y-z-12=02x+2y−z−12=0, וכי B(1,0,2)B(1,0,2)B(1,0,2). הצגה פרמטרית של הישר AB היא x‾=(1,0,2)+t(1,−1,0)\underline{x}=(1,0,2)+t(1,-1,0)x​=(1,0,2)+t(1,−1,0), אורך המקצוע AB הוא 323\sqrt232​, ושיעור ה-xxx של הקודקוד A הוא שלילי.
DCBAD'C'B'A'

א.

מצאו את שיעורי הקודקוד A ואת אורך המקצוע BB′BB'BB′.

ב.

מצאו את משוואת המישור ABB′A′ABB'A'ABB′A′.

ג.

נתונה נקודה M(k,5,4)M(k,5,4)M(k,5,4), kkk הוא פרמטר. גודל הזווית שבין הישר AB ובין הישר AM הוא 60∘60^\circ60∘. נתון גם כי הנקודה M נמצאת על המישור DCC′D′DCC'D'DCC′D′, וכי נפח התיבה הוא 72.

מצאו את הערך של kkk.

ד.

מצאו את שיעורי הקודקוד D.

ה.

מצאו את שיעורי הקודקוד C′C'C′.

שאלה 7 · מרחק בין ישר למישור מקביל ובין מישורים מקביליםשאלה קצרה · קלה

נתונים המישורים π1: x−2y+2z−9=0\pi_1:\ x-2y+2z-9=0π1​: x−2y+2z−9=0 ו-π2: 2x−4y+4z+6=0\pi_2:\ 2x-4y+4z+6=0π2​: 2x−4y+4z+6=0.

א.

הראו כי המישורים מקבילים, וחשבו את המרחק ביניהם.

ב.

מצאו את משוואת המישור π3\pi_3π3​ המקביל ל-π1\pi_1π1​ ול-π2\pi_2π2​ ונמצא במרחקים שווים משניהם.

שאלה 8 · מרחק בין ישר למישור מקביל ובין מישורים מקביליםשאלה קצרה · בינונית

נתונים המישור π: x−2y+2z=3\pi:\ x-2y+2z=3π: x−2y+2z=3 והנקודה P(1,1,1)P(1,1,1)P(1,1,1). לכל נקודה XXX במישור π\piπ מתאימים את הנקודה X′X'X′ הסימטרית לה ביחס ל-PPP (כלומר PPP היא אמצע הקטע XX′XX'XX′). קבוצת כל הנקודות X′X'X′ היא המישור π′\pi'π′.

א.

מצאו את משוואת המישור π′\pi'π′.

ב.

חשבו את המרחק בין המישורים π\piπ ו-π′\pi'π′, והראו כי PPP נמצאת במרחקים שווים משניהם.

שאלה 9 · פאות נגדיות של תיבה: פרמטר מתוך נפח התיבה, וקודקודשאלת ביניים · קשה

בסרטוט שלפניכם תיבה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D'ABCDA′B′C′D′. נתון כי משוואת המישור A′B′C′D′A'B'C'D'A′B′C′D′ היא 2x+2y−z−12=02x+2y-z-12=02x+2y−z−12=0, וכי B(1,0,2)B(1,0,2)B(1,0,2). הצגה פרמטרית של הישר AB היא x‾=(1,0,2)+t(1,−1,0)\underline{x}=(1,0,2)+t(1,-1,0)x​=(1,0,2)+t(1,−1,0), אורך המקצוע AB הוא 323\sqrt232​. נתון גם כי A(−2,3,2)A(-2,3,2)A(−2,3,2) וכי BB′=4BB'=4BB′=4.
DCBAD'C'B'A'

א.

מצאו את משוואת המישור ABB′A′ABB'A'ABB′A′.

ב.

נתונה נקודה M(k,5,4)M(k,5,4)M(k,5,4), kkk הוא פרמטר. גודל הזווית שבין הישר AB ובין הישר AM הוא 60∘60^\circ60∘. נתון גם כי הנקודה M נמצאת על המישור DCC′D′DCC'D'DCC′D′, וכי נפח התיבה הוא 72.

מצאו את הערך של kkk.

ג.

מצאו את שיעורי הקודקוד D.

שאלה 10 · תיבה במערכת צירים: מקצועות, מישור פאה ונפחשאלה מלאה · קלה

בסרטוט שלפניכם תיבה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D'ABCDA′B′C′D′. נתון כי משוואת המישור A′B′C′D′A'B'C'D'A′B′C′D′ היא x+2y+2z−22=0x+2y+2z-22=0x+2y+2z−22=0, וכי A(−2,3,0)A(-2,3,0)A(−2,3,0) ו-B(2,1,0)B(2,1,0)B(2,1,0).
DCBAD'C'B'A'

א.

מצאו את אורך המקצוע BB′BB'BB′.

ב.

הראו כי הישר AB מקביל למישור A′B′C′D′A'B'C'D'A′B′C′D′, ומצאו את אורך המקצוע AB.

ג.

המקצוע BB′BB'BB′ ניצב למישור A′B′C′D′A'B'C'D'A′B′C′D′, ולכן הנורמל של המישור הזה הוא וקטור כיוון של הישר BB′BB'BB′. מצאו את משוואת המישור ABB′A′ABB'A'ABB′A′.

ד.

הנקודה M(7,6,−3)M(7,6,-3)M(7,6,−3) נמצאת על המישור DCC′D′DCC'D'DCC′D′. הסבירו מדוע אורך המקצוע AD שווה למרחק של M מהמישור ABB′A′ABB'A'ABB′A′, ומצאו את נפח התיבה.

עוד 6 שאלות על מרחק בין ישר למישור מקביל ובין מישורים מקבילים

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

מרחק בין ישר למישור מקביל ובין מישורים מקבילים (שאלה קצרה · בינונית)
המישור $\pi_2$ מכיל את הישר $\ell:\ \underline{x}=(1,0,0)+t(1,-1,0)$ ואת הנקודה $P(0,0,2)$ (ראו סרטוט). נתון גם המישור $\pi_1:\ 4x+4y+2z=7$ .
תיבה במערכת צירים: מרחקים, מישור פאה, זווית בין ישרים ונפח (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם תיבה $ABCDA'B'C'D'$ . נתון כי משוואת המישור $A'B'C'D'$ היא $2x-y+2z-33=0$ , וכי $B(1,2,3)$ .
מרחק בין ישר למישור מקביל ובין מישורים מקבילים (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה תיבה $ABCDA'B'C'D'$ . הפאה $ABB'A'$ נמצאת במישור $2x-y+2z+4=0$ , והנקודה $M(3,0,4)$ נמצאת על הפאה $DCC'D'$ .
מנסרה משולשת ישרה במערכת צירים: מרחקים, מישור פאה, זווית בין ישרים ונפח (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם מנסרה ישרה $ABCA'B'C'$ שבסיסה $ABC$ הוא משולש ישר-זווית ( $\angle ACB=90^\circ$ ). נתון כי משוואת המישור $A'B'C'$ היא…
ישר המקביל למישור והמרחק ביניהם (שאלה קצרה · בינונית)
נתונים הישר $\ell:\ \underline{x}=(3,2,2)+t(1,0,-1)$ והמישור $\pi:\ 2x+y+2z-3=0$ .
משפחת ישרים המקבילים למישור, והמרחק בין שניים מהם (שאלת ביניים · בינונית)
נתונים המישור $\pi:\ 2x+2y+z-6=0$ ומשפחת הישרים $\ell_k:\ \underline{x}=(k,0,1)+t(1,-1,0)$ , כאשר $k$ פרמטר.

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

תיבה במערכת צירים: מרחקים, מישור פאה, זווית בין ישרים ונפח · בגרות 572 חורף 2026, שאלה 2
בסרטוט שלפניכם תיבה $ABCDA'B'C'D'$ . נתון כי משוואת המישור $A'B'C'D'$ היא $x+4y-8z-126=0$ , וכי $B(0,7,8)$ .