מבחן לדוגמה: מכפלה סקלרית - כיתה י"ב 5 יח"ל

נתונים שני וקטורי יחידה $\underline{a}$ ו-$\underline{b}$ ($|\underline{a}|=|\underline{b}|=1$) שהזווית ביניהם היא $60^\circ$. לכל מספר ממשי $t$ מגדירים $\underline{c}=\underline{a}+t\underline{b}$.

במקבילית $ABCD$ נתון: $AB=4$, $AD=3$, $\angle BAD=60^\circ$. הנקודה $E$ נמצאת על הצלע $DC$ כך ש-$\overrightarrow{DE}=t\cdot\overrightarrow{DC}$, כאשר $0\le t\le1$ (ראו סרטוט). נסמן: $\overrightarrow{AB}=\underline{u}$, $\overrightarrow{AD}=\underline{v}$.

נתונים הווקטורים $\underline{u}$ ו-$\underline{v}$ המקיימים $|\underline{u}|=2$, $|\underline{v}|=3$, והזווית ביניהם היא $120^\circ$.

נתונה תיבה $ABCDA'B'C'D'$ שהבסיס שלה, $ABCD$, הוא מלבן (ראו סרטוט). אורכי המקצועות: $AB=8$, $AD=6$, $AA'=10$. הנקודה $E$ היא אמצע המקצוע $DD'$, והנקודה $F$ נמצאת על האלכסון $BD'$ כך ש-$\overrightarrow{BF}=t\cdot\overrightarrow{BD'}$, $0<t<1$. נסמן: $\overrightarrow{AB}=\underline u$, $\overrightarrow{AD}=\underline v$, $\overrightarrow{AA'}=\underline w$.

נתונה מנסרה ישרה $ABCDA'B'C'D'$. $ABCD$ מקבילית. נתון: $AB=4$, $AD=2$, $AA'=3$, $\angle BAD=60^\circ$. הנקודה $E$ היא אמצע המקצוע $DC$. נסמן: $\overrightarrow{AB}=\underline u$, $\overrightarrow{AD}=\underline v$, $\vec{AA'}=\underline w$. נתון: $\vec{ED'}=-\frac12\underline u+\underline w$, $\overrightarrow{EB}=\frac12\underline u-\underline v$.

בסרטוט שלפניכם מתוארת תיבה $ABCDA'B'C'D'$. הנקודה $E$ היא מפגש אלכסוני הפאה $ABB'A'$. נסמן: $\overrightarrow{AB}=\underline u$, $\overrightarrow{AD}=\underline v$, $\vec{AA'}=\underline w$. הנקודה $F$ מקיימת: $\overrightarrow{EF}=\frac12\underline v$. נתון: בסיס התיבה $ABCD$ הוא מלבן שבו $AB=2$ ו-$AD=4$, ואורך המקצוע הצדדי $AA'=6$. נתון גם: $\overrightarrow{DF}=\frac12\underline u-\frac12\underline v+\frac12\underline w$, $|\overrightarrow{DF}|=\sqrt{14}$.

נתונה הפירמידה OABC: $O(0,0,0)$, $A(6,0,0)$, $B(0,6,0)$, $C(0,0,6)$. הנקודה M היא נקודת המפגש של תיכוני הבסיס ABC.

בסרטוט שלפניכם פירמידה SABCD שבסיסה ABCD הוא ריבוע. המקצוע AS הוא גובה בפירמידה, ואורכו שווה לאורך צלע הריבוע. הנקודה E היא אמצע המקצוע SD. הנקודה N נמצאת על המקצוע SC ומקיימת $\overrightarrow{SN}=k\cdot\overrightarrow{SC}$, $0<k<1$. נסמן: $\overrightarrow{AS}=\underline w$, $\overrightarrow{AB}=\underline v$, $\overrightarrow{AD}=\underline u$.