דילוג לתוכן המרכזי
GuyAI

שאלות פתוחות: חישוב זוויות בעזרת מכפלה סקלרית - כיתה י"ב 5 יח"ל

שאלות פתוחות על חישוב זוויות בעזרת מכפלה סקלרית לכיתה י"ב, 5 יחידות. יש כאן זווית בין וקטורים כשנתונים אורכים בלבד, זווית בין צירופים של וקטורי יחידה, שאלות עם פרמטר, וזוויות בתוך גופים: מנסרה ישרה שבסיסה משולש ישר זווית או מקבילית, ותיבה עם מפגש אלכסוני פאה. רוב השאלות ברמה קלה, לצד שאלות בינוניות ומעט קשות. אפשר לבחור מהן לבוחן או לדף עבודה ולהוסיף פתרון מלא לכל שאלה, עם ייצוא לוורד.

57 שאלותקלה: 41בינונית: 14קשה: 2

שאלה 1 · חישוב זוויות בעזרת מכפלה סקלריתשאלה קצרה · קלה

נתונים הווקטורים u→\vec{u} ו-v→\vec{v} המאונכים זה לזה, ומקיימים ∣u→∣=3|\vec{u}|=\sqrt3 ו-∣v→∣=1|\vec{v}|=1.

חשבו את הזווית בין הווקטור u→+v→\vec{u}+\vec{v} לבין הווקטור u→\vec{u}, ואת הזווית בין הווקטור u→+v→\vec{u}+\vec{v} לבין הווקטור v→\vec{v}.

שאלה 2 · מכפלה סקלרית: הגדרה ותכונותשאלה קצרה · בינונית

נתונים שני וקטורי יחידה a‾\underline{a} ו-b‾\underline{b} (∣a‾∣=∣b‾∣=1|\underline{a}|=|\underline{b}|=1) שהזווית ביניהם היא 60∘60^\circ. לכל מספר ממשי tt מגדירים c‾=a‾+tb‾\underline{c}=\underline{a}+t\underline{b}.

א.

הביעו באמצעות tt את c‾⋅a‾\underline{c}\cdot\underline{a} ואת ∣c‾∣2|\underline{c}|^2.

ב.

מצאו את כל ערכי tt שעבורם הזווית בין c‾\underline{c} ל-a‾\underline{a} היא 30∘30^\circ.

שאלה 3 · חישוב זוויות בעזרת מכפלה סקלריתשאלה קצרה · קשה

נתונים הווקטורים a→\vec{a} ו-b→\vec{b} המקיימים ∣a→∣=2|\vec{a}|=2, ∣b→∣=1|\vec{b}|=1 ו-a→⊥b→\vec{a}\perp\vec{b}. kk הוא פרמטר ממשי.

מצאו את כל ערכי kk שעבורם הזווית בין הווקטור a→+kb→\vec{a}+k\vec{b} לבין הווקטור b→\vec{b} היא 120∘120^\circ.

שאלה 4 · חישוב זוויות בעזרת מכפלה סקלריתשאלה קצרה · בינונית

נתונים הווקטורים u→\vec{u} ו-v→\vec{v} המקיימים ∣u→∣=2|\vec{u}|=2, ∣v→∣=3|\vec{v}|=3 ו-∣u→−v→∣=7|\vec{u}-\vec{v}|=\sqrt7.

חשבו את הזווית בין הווקטורים 2u→−v→2\vec{u}-\vec{v} ו-u→+v→\vec{u}+\vec{v}. עגלו את התשובה למאית המעלה.

שאלה 5 · גובה מנסרה מניצבות וזווית במנסרהשאלת ביניים · קשה

במנסרה ישרה ABCA′B′C′ABCA'B'C' הבסיס ABCABC הוא משולש ישר-זווית שבו ∠BAC=90∘\angle BAC=90^\circ, AB=2AB=2 ו-AC=23AC=2\sqrt3. גובה המנסרה אינו ידוע. הנקודה MM היא אמצע הצלע BCBC, והנקודה NN היא אמצע המקצוע CC′CC'. נסמן: AB→=u‾\overrightarrow{AB}=\underline u, AC→=v‾\overrightarrow{AC}=\underline v, AA′→=w‾\vec{AA'}=\underline w.

נתון: A′M→=12u‾+12v‾−w‾\vec{A'M}=\frac12\underline u+\frac12\underline v-\underline w, MN→=−12u‾+12v‾+12w‾\overrightarrow{MN}=-\frac12\underline u+\frac12\underline v+\frac12\underline w.

ABCA'B'C'MN
א.

נתון: A′M→⊥MN→\vec{A'M}\perp\overrightarrow{MN}. מצאו את גובה המנסרה.

ב.

חשבו את אורך הקטע A′MA'M.

ג.

חשבו את גודל הזווית AMA′AMA'.

שאלה 6 · זווית בין מקצוע לקטע בתוך תיבהשאלה קצרה · בינונית

בסרטוט שלפניכם מתוארת תיבה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D'. הנקודה EE היא מפגש אלכסוני הפאה ABB′A′ABB'A'. נסמן: AB→=u‾\overrightarrow{AB}=\underline u, AD→=v‾\overrightarrow{AD}=\underline v, AA′→=w‾\vec{AA'}=\underline w. הנקודה FF מקיימת: EF→=12v‾\overrightarrow{EF}=\frac12\underline v. נתון: בסיס התיבה ABCDABCD הוא מלבן שבו AB=2AB=2 ו-AD=4AD=4, ואורך המקצוע הצדדי AA′=6AA'=6. נתון גם: DF→=12u‾−12v‾+12w‾\overrightarrow{DF}=\frac12\underline u-\frac12\underline v+\frac12\underline w, ∣DF→∣=14|\overrightarrow{DF}|=\sqrt{14}.

ABCDA'B'C'D'EF

חשבו את גודל הזווית ADFADF.

שאלה 7 · מכפלות, אורכים וזווית במנסרה שבסיסה מקביליתשאלת ביניים · בינונית

נתונה מנסרה ישרה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D'. ABCDABCD מקבילית. נתון: AB=4AB=4, AD=2AD=2, AA′=3AA'=3, ∠BAD=60∘\angle BAD=60^\circ. הנקודה EE היא אמצע המקצוע DCDC. נסמן: AB→=u‾\overrightarrow{AB}=\underline u, AD→=v‾\overrightarrow{AD}=\underline v, AA′→=w‾\vec{AA'}=\underline w. נתון: ED′→=−12u‾+w‾\vec{ED'}=-\frac12\underline u+\underline w, EB→=12u‾−v‾\overrightarrow{EB}=\frac12\underline u-\underline v.

ABCDA'B'C'D'E
א.

חשבו את u‾⋅v‾\underline u\cdot\underline v, u‾⋅w‾\underline u\cdot\underline w, v‾⋅w‾\underline v\cdot\underline w ואת u‾2\underline u^2, v‾2\underline v^2, w‾2\underline w^2. נמקו.

ב.

חשבו את האורכים של EB→\overrightarrow{EB} ושל ED′→\vec{ED'}.

ג.

חשבו את גודל הזווית D′EBD'EB.

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (50)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

כל האתר במבט אחד

קיצורי דרך לכל הכלים, הבגרויות והקורסים

GuyAI הוא המורה הפרטי המתקדם בישראל, המבוסס על מודלי הבינה המלאכותית החזקים בעולם בשילוב הידע הפדגוגי של GOOL. המערכת מספקת פתרונות לכל המקצועות ולכל הרמות - מיסודי ועד אקדמיה, וממתמטיקה ועד היסטוריה.