מבחן לדוגמה: חזקות ומשוואות מעריכיות - כיתה י"ב 5 יח"ל

פשטו את הביטוי וכתבו אותו כחזקה אחת של $x$.

הראו כי: $f'(x)=\frac{-3(e^x-1)^2}{3-e^x}$.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה $f(x)$.

נתונה הפונקציה $g(x)=f(x)+ax$, שתחום ההגדרה שלה זהה לתחום ההגדרה של הפונקציה $f(x)$. $a$ הוא פרמטר.

היעזרו בגרף פונקציית הנגזרת $f'(x)$, ומצאו עבור אילו ערכים של $a$ יש לפונקציה $g(x)$ שתי נקודות קיצון. נמקו את תשובותיכם.

פתרו את המשוואה.

מצאו את תחום ההגדרה של $f(x)$ ואת האסימפטוטות שלה המאונכות לצירים (הביעו באמצעות $b$ אם יש צורך).

מצאו את כל ערכי $b$ שבעבורם לפונקציה $f(x)$ יש נקודת קיצון. הביעו את שיעורי נקודת הקיצון באמצעות $b$, וקבעו את סוגה בהתאם לערכי $b$.

מצאו את כל ערכי $b$ שבעבורם לגרפים של $f(x)$ ושל $g(x)$ יש נקודת חיתוך אחת בלבד.

הציבו $b=16$.

קבעו אם הערך של $\int_{-2}^{-1}(f(x)-g(x))\,dx$ חיובי או שלילי. נמקו.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה $f(x)$.

נתונה הפונקציה $g(x)=-4x+4\ln(e^x-1)$.

בנקודת הקיצון של הפונקציה $f(x)$ מעבירים אנך לציר ה-$x$.

מצאו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה $f(x)$, על ידי ציר ה-$x$, על ידי האנך ועל ידי הישר $x=\ln(b)$. $b>3$ הוא פרמטר. הביעו את תשובתכם באמצעות $b$.

נתון כי השטח שמצאתם בסעיף ד שווה ל-$b-3+4\ln(1.4)$.

מצאו את הערך של $b$.

הראו כי בהצבה $t=2^x$ אי-השוויון הופך ל-$t^2-2t+a>0$, וכי אפשר לכתוב אותו בצורה $(t-1)^2+a-1>0$.

פתרו את אי-השוויון עבור $a=-8$.

מצאו את כל ערכי $a$ שעבורם אי-השוויון מתקיים לכל $x$.

כעבור 3 שבועות מתחילת המעקב היו באפליקציה א 4,000 משתמשים. כמה משתמשים היו בה בתחילת המעקב?

בתחילת המעקב היו באפליקציה ב 2,500 משתמשים. כעבור שבועיים היה מספר המשתמשים בשתי האפליקציות שווה.

מצאו בכמה אחוזים גדל מספר המשתמשים באפליקציה ב בכל שבוע.

כעבור כמה שבועות שלמים מתחילת המעקב יהיה מספר המשתמשים באפליקציה א, לראשונה, לפחות פי 2 ממספר המשתמשים באפליקציה ב?

כעבור כמה ימים תתכסה בריכה ב' כולה?