שאלות פתוחות: גדילה ודעיכה מעריכית וזמן מחצית חיים - כיתה י"ב 5 יח"ל

שאלות פתוחות על גדילה ודעיכה מעריכית וזמן מחצית חיים, לכיתה י"ב, 5 יחידות. השאלות הן בעיות מילוליות: חומר רדיואקטיבי, שתי אוכלוסיות חיידקים שמכפילות את עצמן בקצב שונה, צמח מים שמכסה בריכה, משתמשים באפליקציה, ותרופה שנלקחת במנות חוזרות. רוב השאלות ברמה קלה, ויש גם בינוניות ומעט קשות. השיעור גדול מאוד ומתאים להרכבת דפי עבודה ובחנים מגוונים, וכל שאלה מגיעה עם פתרון מלא שאפשר לייצא לוורד.

137 שאלותקלה: 115בינונית: 19קשה: 3

שאלה 1 · גדילה ודעיכה מעריכית וזמן מחצית חייםשאלה קצרה · קלה

כמות של חומר רדיואקטיבי קטנה באופן מעריכי. זמן מחצית החיים של החומר הוא 121212 ימים.

לאחר כמה ימים יישארו 12.5%12.5\%12.5% מהכמות ההתחלתית של החומר?

שאלה 2 · גדילה ודעיכה מעריכית וזמן מחצית חייםשאלה קצרה · בינונית

בניסוי עוקבים אחרי שתי אוכלוסיות של חיידקים. אוכלוסייה א' מונה בתחילת הניסוי 500500500 פרטים ומכפילה את עצמה כל 333 שעות. אוכלוסייה ב' מונה בתחילת הניסוי 4,0004{,}0004,000 פרטים וקטנה פי 222 כל 666 שעות. בגרף מתוארים גודלי שתי האוכלוסיות בארבע השעות הראשונות של הניסוי.
א'ב'
01234501000200030004000

א.

כעבור כמה שעות מתחילת הניסוי יהיו שתי האוכלוסיות שוות בגודלן? מה יהיה גודל כל אוכלוסייה באותו רגע?

ב.

כעבור כמה שעות מתחילת הניסוי תהיה אוכלוסייה א' גדולה פי 888 מאוכלוסייה ב'?

שאלה 3 · גדילה ודעיכה מעריכית וזמן מחצית חייםשאלה קצרה · קשה

השטח שמכסה צמח מים מסוים גדל פי 333 כל יומיים. צמח אחד שמניחים בבריכה א' מכסה את כל שטח הבריכה כעבור 303030 ימים. שטחה של בריכה ב' גדול פי 333 משטחה של בריכה א'. בבריכה ב' מניחים 272727 צמחים כאלה, כל אחד בגודל הצמח ההתחלתי ובאותו קצב גידול.

כעבור כמה ימים תתכסה בריכה ב' כולה?

שאלה 4 · מנת גדילה ואחוז ירידה חודשיים בעזרת שורששאלה קצרה · קלה

ביום ההשקה של אפליקציה חדשה היו לה 120 אלף משתמשים. מספר המשתמשים עלה בקצב מעריכי קבוע, וכעבור 6 חודשים היו לאפליקציה 300 אלף משתמשים. ביום שבו הגיע מספר המשתמשים ל-300 אלף, הושקה אפליקציה מתחרה. מאותו יום, ירד מספר המשתמשים באפליקציה בקצב מעריכי קבוע. אחרי 4 חודשים מהשקת האפליקציה המתחרה, היה מספר המשתמשים 30% ממספרם ביום השקת המתחרה.

א.

מיום ההשקה ועד יום השקת האפליקציה המתחרה, פי כמה עלה מספר המשתמשים בכל חודש?

ב.

מצאו את האחוז הקבוע שבו ירד מספר המשתמשים באפליקציה בכל חודש מאז השקת האפליקציה המתחרה.

שאלה 5 · מתי שתי אוכלוסיות מעריכיות שוות - השוואת מעריכיםשאלה קצרה · בינונית

בניסוי עוקבים אחרי שתי אוכלוסיות של חיידקים. אוכלוסייה א' מונה בתחילת הניסוי 500500500 פרטים ומכפילה את עצמה כל 333 שעות. אוכלוסייה ב' מונה בתחילת הניסוי 4,0004{,}0004,000 פרטים וקטנה פי 222 כל 666 שעות. בגרף מתוארים גודלי שתי האוכלוסיות בארבע השעות הראשונות של הניסוי.
א'ב'
01234501000200030004000

כעבור כמה שעות מתחילת הניסוי יהיו שתי האוכלוסיות שוות בגודלן? מה יהיה גודל כל אוכלוסייה באותו רגע?

שאלה 6 · זמן מחצית חיים ומנות חוזרות של תרופהשאלת ביניים · קשה

זמן מחצית החיים של תרופה מסוימת בגוף הוא 666 שעות. מטופל נוטל מנה של 400400400 מ"ג בשעה 8:008{:}008:00, ומאז הוא נוטל מנה נוספת של 400400400 מ"ג בכל 121212 שעות (בשעה 20:0020{:}0020:00, בשעה 8:008{:}008:00 למחרת וכן הלאה). כמות התרופה בגוף קטנה באופן מעריכי, וכל מנה חדשה מתווספת לכמות שנותרה בגוף.

א.

מצאו כמה מ"ג של התרופה יש בגוף רגע לפני נטילת המנה השנייה, וכמה רגע אחריה.

ב.

נסמן ב-AnA_nAn​ את כמות התרופה בגוף (במ"ג) רגע אחרי נטילת המנה ה-nnn. הראו כי An=400(1+14+(14)2+…+(14)n−1)A_n=400\left(1+\frac14+\left(\frac14\right)^2+\ldots+\left(\frac14\right)^{n-1}\right)An​=400(1+41​+(41​)2+…+(41​)n−1), והסיקו כי An=16003(1−(14)n)A_n=\frac{1600}{3}\left(1-\left(\frac14\right)^n\right)An​=31600​(1−(41​)n).

ג.

רגע אחרי איזו מנה תהיה כמות התרופה בגוף לראשונה גדולה מ-530530530 מ"ג? באיזו שעה נלקחת מנה זו?

שאלה 7 · שתי אפליקציות שגדלות באופן מעריכי: כמות התחלתית, מנת גדילה והשוואהשאלת ביניים · בינונית

מספר המשתמשים הרשומים בשתי אפליקציות, אפליקציה א ואפליקציה ב, גדל בצורה מעריכית.
מספר המשתמשים באפליקציה א גדל ב-25% בכל שבוע.
בתשובות שאינן מספר שלם עגלו לעשירית.

א.

כעבור 3 שבועות מתחילת המעקב היו באפליקציה א 4,000 משתמשים. כמה משתמשים היו בה בתחילת המעקב?

ב.

בתחילת המעקב היו באפליקציה ב 2,500 משתמשים. כעבור שבועיים היה מספר המשתמשים בשתי האפליקציות שווה.

מצאו בכמה אחוזים גדל מספר המשתמשים באפליקציה ב בכל שבוע.

ג.

כעבור כמה שבועות שלמים מתחילת המעקב יהיה מספר המשתמשים באפליקציה א, לראשונה, לפחות פי 2 ממספר המשתמשים באפליקציה ב?

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (130)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

תהליך מעריכי: שינוי ביחס קבוע או באחוז קבוע (שאלה קצרה · קלה)
מספר החיידקים בתרבית גדל בכל שעה באחוז קבוע. כעבור שעה אחת מתחילת הניסוי היו בתרבית $120$ אלף חיידקים, וכעבור…
מציאת הכמות ההתחלתית (שאלה קצרה · קלה)
דנה הפקידה סכום כסף בתוכנית חיסכון שבה הסכום גדל בכל שנה ב- $10\%$ . כעבור שנה הפקידה דנה באותה תוכנית סכום…
מציאת זמן בעזרת משוואה מעריכית (שאלה קצרה · קלה)
כמות של חומר דועכת באופן מעריכי. ברגע $t=0$ הכמות היא $80$ גרם, וכעבור $4$ שעות היא $45$ גרם.
אי-שוויונות: מתי הכמות תעבור ערך נתון (שאלה קצרה · קלה)
כמות מתוארת על ידי הפונקציה $f(t)=a\cdot q^t$ , כאשר $a>0$ , $q>1$ ו- $t\ge0$ הוא הזמן בשעות. כעבור $4$ שעות…
קביעת יחידת זמן אחידה (שאלה קצרה · קלה)
כמות תרופה בגוף קטנה ב- $30\%$ בכל $4$ שעות, בתהליך מעריכי. חולה נטל מנה של $200$ מ"ג בשעה $8:00$ .
זמן מחצית חיים (שאלה קצרה · קלה)
באתר ארכאולוגי נבדקו שני ממצאים עשויים עץ, ממצא $A$ וממצא $B$ . זמן מחצית החיים של פחמן 14 הוא $5{,}730$ שנים.…
ייצוג גרפי של תהליך גדילה או דעיכה (שאלה קצרה · קלה)
בתחילת ניסוי היו $80$ גרם מחומר רדיואקטיבי $A$ , שזמן מחצית החיים שלו $4$ שעות, ו- $40$ גרם מחומר רדיואקטיבי…
השוואה בין שני תהליכים ותהליך רב-שלבי (שאלה קצרה · קלה)
מספר התושבים בעיר א' הוא $120$ אלף, והוא קטן ב- $2\%$ בכל שנה. מספר התושבים בעיר ב' הוא $80$ אלף, והוא גדל…
מציאת זמן בעזרת משוואה מעריכית (שאלה קצרה · קלה)
שני שירים, A ו-B, הועלו באותו יום לרשת חברתית. ביום ההעלאה היו לשיר A $4{,}000$ האזנות, ומספר ההאזנות שלו גדל…
אי-שוויונות: מתי הכמות תעבור ערך נתון (שאלה קצרה · קלה)
כמות מתוארת על ידי הפונקציה $f(t)=a\cdot1.2^{t}$ , כאשר $t$ הוא הזמן בשנים ו- $a>0$ . הכמות גדולה מ- $1{,}000$ …
קביעת יחידת זמן אחידה (שאלה קצרה · קלה)
הכמות של חומר מתוארת על ידי הפונקציה $f(t)=A\cdot q^{t}$ , כאשר $t$ הוא הזמן בשעות. נתון: $f(2)=360$ …
ייצוג גרפי של תהליך גדילה או דעיכה (שאלה קצרה · קלה)
מספר המנויים לשני שירותי סטרימינג, X ו-Y, גדל בתהליך מעריכי ( $t$ בחודשים). מספר המנויים ל-X גדל ב- $12\%$ בכל…
השוואה בין שני תהליכים ותהליך רב-שלבי (שאלה קצרה · קלה)
ביום מסוים היה מחיר מניה A $50$ שקלים ומחיר מניה B $20$ שקלים. מחיר מניה A עלה ב- $6\%$ בכל חודש, ומחיר מניה B…
אי-שוויונות: מתי הכמות תעבור ערך נתון (שאלה קצרה · קלה)
כמות $A$ גדלה בכל שנה ב- $20\%$ , וכמות $B$ גדלה בכל שנה ב- $50\%$ .
אי-שוויונות: מתי הכמות תעבור ערך נתון (שאלה קצרה · קלה)
קרינה עוברת דרך סדרה של לוחות עופרת זהים. כל לוח בולם $40\%$ מעוצמת הקרינה הפוגעת בו.
הפונקציה f(t)=f(0)·qᵗ: מציאת כמות אחרי זמן נתון (שאלה קצרה · קלה)
חולה קיבל זריקה של $400$ מ"ג תרופה. כמות התרופה בדם קטנה בכל שעה ב- $25\%$ . שעתיים אחרי הזריקה הראשונה קיבל…
הפונקציה f(t)=f(0)·qᵗ: מציאת כמות אחרי זמן נתון (שאלה קצרה · קלה)
אמיר קנה באותו יום גלגל ים ומזרן ים. ביום הקנייה נפח הגלגל היה $4{,}900$ סמ"ק ונפח המזרן היה $9{,}800$ סמ"ק.…
מציאת מנת הגדילה או הדעיכה ואחוז השינוי (שאלה קצרה · קלה)
אוכלוסיית עיר מנתה $100{,}000$ תושבים, והיא גדלה בכל שנה באחוז קבוע. כעבור $10$ שנים מנתה האוכלוסייה…
מציאת זמן בעזרת משוואה מעריכית (שאלה קצרה · קלה)
במאגר א' היו $5{,}000$ מ"ק מים ובמאגר ב' היו $15{,}000$ מ"ק מים. כמות המים בכל מאגר קטנה בכל יום באחוז קבוע…
מציאת מנת הגדילה או הדעיכה ואחוז השינוי (שאלה קצרה · קלה)
מחיר מוצר עלה במשך שנתיים ב- $p\%$ בכל שנה, ואחר כך ירד במשך שנתיים ב- $p\%$ בכל שנה. בסוף ארבע השנים היה מחיר…
מציאת זמן בעזרת משוואה מעריכית (שאלה קצרה · קלה)
ברגע $t=0$ הכמויות $A$ ו- $B$ שוות. הכמות $A$ גדלה בכל שנה ב- $p\%$ , והכמות $B$ קטנה בכל שנה באותו אחוז, $p\%$ .…
אי-שוויונות: מתי הכמות תעבור ערך נתון (שאלה קצרה · קלה)
ערכו של רכב יורד בכל שנה באחוז קבוע. לאחר שנתיים ערך הרכב היה $64\%$ מערכו ההתחלתי.
מציאת זמן בעזרת משוואה מעריכית (שאלה קצרה · קלה)
אוכלוסיית עיר א' גדלה בכל שנה ב- $5\%$ , ואוכלוסיית עיר ב' גדלה בכל שנה ב- $8\%$ . בתחילת המעקב היו בשתי הערים יחד…
מציאת הכמות ההתחלתית (שאלה קצרה · קלה)
כמות תרופה בגוף קטנה בכל שעה ב- $10\%$ . מטופל נוטל מנה של $D$ מ"ג ברגע $t=0$ , ומנה נוספת של $D$ מ"ג כעבור $4$ …
מציאת הכמות ההתחלתית (שאלה קצרה · קלה)
שתי מכוניות, מכונית א' ומכונית ב', נקנו באותו יום. מכונית א' הייתה יקרה ב- $34{,}000$ שקלים ממכונית ב'. ערך…
משוואות עם ln (שאלה קצרה · קלה)
מספר הפרטים באוכלוסייה גדל לפי $N(t)=N_0e^{kt}$ , כאשר $k>0$ ו- $t$ בשנים. נתון כי האוכלוסייה גדלה פי $3$ בכל…
מציאת זמן בעזרת משוואה מעריכית (שאלה קצרה · קלה)
חולה קיבל מנה של $100$ מיליגרם תרופה. כמות התרופה בגופו קטנה בכל שעה ב- $20\%$ . כעבור $3$ שעות קיבל החולה מנה…
מציאת זמן בעזרת משוואה מעריכית (שאלה קצרה · קלה)
כמות מסוימת גדלה בכל שנה באותו אחוז, כך שבכל $5$ שנים היא גדלה פי $3$ .
אי-שוויונות: מתי הכמות תעבור ערך נתון (שאלה קצרה · קלה)
בחשבון A היו $12{,}000$ שקלים, והסכום בו קטן בכל שנה ב- $3\%$ . בחשבון B היו $8{,}000$ שקלים, והסכום בו משתנה…
אי-שוויונות: מתי הכמות תעבור ערך נתון (שאלה קצרה · קלה)
כמות של חומר קטנה בכל שנה ב- $p\%$ (אחוז קבוע). יש שתי דרישות: דרישה I: כעבור $5$ שנים יישאר יותר מ- $70\%$ …
אי-שוויונות: מתי הכמות תעבור ערך נתון (שאלה קצרה · קלה)
בתרבית חיידקים נמדדו בשעה $9:00$ $2{,}000$ חיידקים, ובשעה $12:00$ $6{,}750$ חיידקים. מספר החיידקים גדל בכל שעה…
קביעת יחידת זמן אחידה (שאלה קצרה · קלה)
באוכלוסייה א' היו בתחילה $50{,}000$ פרטים, ומספרם גדל ב- $1.5\%$ בכל חודש. באוכלוסייה ב' היו בתחילה $40{,}000$ …
קביעת יחידת זמן אחידה (שאלה קצרה · קשה)
בתוכנית חיסכון א' הסכום גדל בכל חודש ב- $p\%$ , ובתוכנית חיסכון ב' הסכום גדל בכל שנה ב- $10\%$ .
זמן מחצית חיים (שאלה קצרה · קלה)
לחומר א' זמן מחצית חיים של $4$ ימים, ולחומר ב' זמן מחצית חיים של $12$ ימים. בתחילה יש $800$ גרם מחומר א'…
זמן מחצית חיים (שאלה קצרה · קלה)
תערובת מכילה $50$ גרם מחומר א', שזמן מחצית החיים שלו הוא יומיים, ו- $50$ גרם מחומר ב', שזמן מחצית החיים שלו הוא…
זמן מחצית חיים (שאלה קצרה · בינונית)
לחומר A זמן מחצית חיים של $2$ ימים. בתחילה היו כמויות שוות מחומר A ומחומר B. כעבור $12$ ימים הייתה כמות חומר A…
ייצוג גרפי של תהליך גדילה או דעיכה (שאלה קצרה · קלה)
שני שירים, שיר A ושיר B, הועלו באותו יום לרשת חברתית. ביום ההעלאה היו לשיר A $6000$ האזנות ולשיר B $3000$ …
ייצוג גרפי של תהליך גדילה או דעיכה (שאלה קצרה · קלה)
הפונקציות $f(t)=100\cdot1.1^t$ ו- $g(t)=200\cdot1.1^t$ מתארות את הסכומים (באלפי שקלים) בשתי תוכניות חיסכון,…
ייצוג גרפי של תהליך גדילה או דעיכה (שאלה קצרה · בינונית)
חוקר מדד כמות שגדלה בתהליך מעריכי $f(t)=f(0)\cdot q^t$ , כאשר $t$ בשנים. הוא שרטט את הגרף של $y=\log f(t)$ …
ייצוג גרפי של תהליך גדילה או דעיכה (שאלה קצרה · קלה)
הפונקציה $f(t)=f(0)\cdot q^t$ מתארת את מספר העצים ביער נטוע, כאשר $t$ בשנים. הגרף של הפונקציה עובר דרך הנקודות…
השוואה בין שני תהליכים ותהליך רב-שלבי (שאלה קצרה · קלה)
שני חומרים רדיואקטיביים, חומר א' וחומר ב', מתפרקים בקצב מעריכי. ברגע מסוים ( $t=0$ ) הייתה כמות שני החומרים זהה.…
בעיות מחיי היום-יום בסדרה הנדסית (שאלה קצרה · קלה)
חולה מקבל תרופה במנה של $100$ מיליגרם כל $6$ שעות. זמן מחצית החיים של התרופה בגוף הוא $6$ שעות.
השוואה בין שני תהליכים ותהליך רב-שלבי (שאלה קצרה · קלה)
שתי מכוניות, מכונית א' ומכונית ב', נקנו באותו יום ובאותו מחיר. ערכה של מכונית א' ירד ב- $20\%$ בשנה הראשונה,…
גדילה ודעיכה: נדבקים בשלושה יישובים (שאלה מלאה · בינונית)
לפניכם גרפים של שלוש פונקציות מעריכיות המתארות את מספר הנדבקים בנגיף הקורונה לפי ימים בשלושה יישובים. הפונקציה…
גדילה ודעיכה: עצים נגועים בשלושה מטעים (שאלה מלאה · קלה)
לפניכם גרפים של שלוש פונקציות מעריכיות המתארות את מספר העצים הנגועים במזיק לפי ימים בשלושה מטעים. הפונקציה…
גדילה ודעיכה: משתמשים בשלוש אפליקציות (שאלה מלאה · קלה)
לפניכם גרפים של שלוש פונקציות מעריכיות המתארות את מספר המשתמשים בשלוש אפליקציות לפי ימים. מספר המשתמשים…
גדילה ודעיכה: שלושה יישובים שנפגשים ברגע אחד (שאלה מלאה · קלה)
לפניכם גרפים של שלוש פונקציות מעריכיות המתארות את מספר הנדבקים בנגיף לפי ימים בשלושה יישובים. ביישוב א' מספר…
השוואה בין שני תהליכים ותהליך רב-שלבי (שאלה קצרה · קלה)
מספר התושבים בשכונה א' גדל לפי $A(t)=600\cdot(1.03)^t$ , ומספר התושבים בשכונה ב' גדל לפי…
מציאת מנת הגדילה או הדעיכה ואחוז השינוי (שאלה קצרה · קלה)
מספר התושבים בעיר א' גדל לפי $P(t)=2000\cdot(1.05)^t$ , כאשר $t$ הוא מספר השנים. בתחילת התקופה ( $t=0$ ) מספר…
אי-שוויונות: מתי הכמות תעבור ערך נתון (שאלה קצרה · קלה)
במעבדה גדלות שלוש תרביות. מספר החיידקים (באלפים) לאחר $t$ שעות הוא: בתרבית א' $A(t)=50\cdot(1.25)^t$ , בתרבית…
גדילה ודעיכה: התפשטות נגיף ומתן חיסון (שאלה מלאה · בינונית)
בתחילת שנת 2020 התגלה נגיף ביישוב מסוים. מספר החולים ביישוב עלה בקצב מעריכי קבוע. כשהתגלה הנגיף היו ביישוב 104…
גדילה ודעיכה: משתמשי אפליקציה ואפליקציה מתחרה (שאלה מלאה · קלה)
ביום ההשקה של אפליקציה חדשה היו לה 120 אלף משתמשים. מספר המשתמשים עלה בקצב מעריכי קבוע, וכעבור 6 חודשים היו…
גדילה ודעיכה: מגפה ומבצע חיסונים (שאלה מלאה · קלה)
בתחילת חודש ינואר התגלתה מגפה בעיר מסוימת, ובאותו יום היו בעיר 625 חולים. במשך 4 חודשים עלה מספר החולים בכל…
גדילה ודעיכה: מתי התחיל החיסון (שאלה מלאה · קלה)
ביישוב מסוים התגלה נגיף, וביום הגילוי היו ביישוב 80 חולים. מספר החולים עלה בקצב מעריכי קבוע, וכעבור 4 חודשים…
השוואה בין שני תהליכים ותהליך רב-שלבי (שאלה קצרה · קלה)
בבריכה מסוימת גדל שטח האצות פי 1.5 בכל שבוע, במשך 3 שבועות. בסוף השבוע השלישי הוסף לבריכה חומר ניקוי, ומאותו…
הפונקציה f(t)=f(0)·qᵗ: מציאת כמות אחרי זמן נתון (שאלה קצרה · קלה)
במושבה מסוימת היו בתחילת ניסוי 200 חיידקים. מספר החיידקים עלה בקצב מעריכי קבוע, וכעבור 3 שעות היו במושבה 500…
גדילה מעריכית: פיקדון והלוואה בבנק (שאלה מלאה · בינונית)
בבנק מסחרי יש שני סוגים של חוב: חוב של הבנק ללקוח (כאשר הלקוח מפקיד כסף בבנק) וחוב של הלקוח לבנק (כאשר הבנק…
גדילה מעריכית: מספר התושבים בשתי ערים (שאלה מלאה · קלה)
בתחילת שנת 2024 גרו בעיר א' 120,000 תושבים. מספר התושבים בעיר א' גדל ב-2% בכל שנה. בסרטוט שלפניכם (ציר אופקי:…
גדילה מעריכית: מתי החוב יעבור את הפיקדון (שאלה מלאה · קלה)
יוסי הפקיד בבנק 5,000 ₪, והסכום בפיקדון גדל ב-2% בכל שנה. באותו יום לווה רון מהבנק 2,000 ₪, והחוב שלו גדל…
גדילה מעריכית: מציאת אחוז הריבית מתוך החוב (שאלה מלאה · קלה)
בתחילת שנת 2024 הפקידה דנה 8,000 ₪ בתוכנית חיסכון שבה הסכום גדל ב-3% בכל שנה. באותו יום לווה עומר 2,000 ₪,…

ועוד 70 שאלות במחולל המבחנים.